九年级数学竞赛提优练习1(无答案) 浙教版 试题

九年级数学竞赛提优练习1
1.（2012浙江衢州4分）如图，已知函数y=2x和函数
k
y=
x
的图象交于A、B两点，过点A 作AE ⊥x轴于点E，若△
AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是．
2. （2012浙江绍兴5分）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为▲ （用含n的代数式表示）
3. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

4 （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．
（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
5.（2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
6. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为2
y ax bx3a(b0)
=+-<，若抛物线C1经过
点(0,3)
-，方程2
ax bx3a0
+-=的两根为
1
x，
2
x，且
12
x x4
-=。

（1）求抛物线C1的顶点坐标.
（2）已知实数x0
>，请证明：
1
x
x
+≥2,并说明x为何值时才会有
1
x2
x
+=.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设
1
A(m,y)，
2
B(n,y)
是C2上的两个不同点，且满足：00
AOB9
∠=，m0
>，n0
<.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。

（参考公式：在平面直角坐标系中，若
11
P(x,y)，
22
Q(x,y)，则P，Q两点间的距离22
2121
(x x)(y y)
-+-）
7. （2012湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：2
1
y=x2
2
-的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a
交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；
(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴
于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）。

【答案】
145n(n 1)+或6
5n(n 1)
+。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设反比例函数解析式为k
y x
=
，则 ①与BC ，AB 平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6和反比例函数关于y x =对
称的性质，得
与AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），代入k y x =
，得1.42k =，解得14
5
k =。

∴反比例函数解析式为14
5y x
=。

则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：
141414
5n 5(n 1)5n(n 1)
-=++。

②与OC ，AB 平移后的对应边相交时，由0.62k k -=得65
k =。

∴反比例函数解析式为6
5y x
=。

则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：
6665n 5(n 1)5n(n 1)
-=++。

综上所述，第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值
为
145n(n 1)+或6
5n(n 1)
+。

【答案】解：（1）当k =﹣2时，A （1，﹣2），
∵A 在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：m
y x
=。

将A （1，﹣2）代入得： m
21-=
，解得：m =﹣2。

∴反比例函数的解析式为：2
y x
=-。

（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，∴k ＜0。

∵二次函数y =k （x 2
+x ﹣1）=2
1
5k x k 24+-（），∴它的对称轴为：直线x =﹣
12。

要使二次函数y =k （x 2
+x ﹣1）满足上述
条件，在k ＜0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即x ＜﹣
1
2
时，才能使得y 随着x 的增大而增大。

∴综上所述，k ＜0且x ＜﹣1
2。

（3）由（2）可得：Q 15k 24⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，。

∵△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形，A 点与B 点关于原点对称，（如图是其中的一种情况） ∴原点O 平分AB ，∴OQ =OA =OB 。

作AD ⊥OC ，QC ⊥OC ，垂足分别为点C ，D 。

∴222
125OQ CQ +OC +k 416
==。

∵222OA AD +OD 1+k ==，∴
22125+k 1+k 416=，解得：k =±233。

【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm 。

则（40－2x ）2
=484，解得1x 31=（不合题意，舍去），29x =。

∴剪掉的正方形的边长为9cm 。

②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm ，盒子的侧面积为ycm 2
，
则y 与x 的函数关系为：22
y 4(402x)x 8x 160x 8(x 10)800=-=-+=--+， ∴x =10时，y 最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为800cm 2。

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm 。

则2(402)(20)2(20)2(402)550x x x x x x --+-+-= ， 解得：135x =-（不合题意，舍去），215x =。

∴剪掉的正方形的边长为15cm 。

此时长方体盒子的长为15cm ，宽为10cm ，高为5cm 。

【答案】解：（1）当k =1时，函数为一次函数y =﹣2x +3，其图象与x 轴有一个交点。

当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点，
令y =0得（k ﹣1）x 2
﹣2kx +k +2=0．
△=（﹣2k ）2
﹣4（k ﹣1）（k +2）≥0，解得k ≤2．即k ≤2且k ≠1。

综上所述，k 的取值范围是k ≤2。

（2）①∵x 1≠x 2，由（1）知k ＜2且k ≠1。

由题意得（k ﹣1）x 12
+（k +2）=2kx 1（*），
将（*）代入（k ﹣1）x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2中得：2k （x 1+x 2）=4x 1x 2。

又∵x 1+x 2=
2k k 1-，x 1x 2=k+2k 1-，∴2k •2k k 1-=4•k+2
k 1
-， 解得：k 1=﹣1，k 2=2（不合题意，舍去）。

∴所求k 值为﹣1。

②如图，∵k 1=﹣1，y =﹣2x 2
+2x +1=﹣2（x ﹣
12）2+3
2，且﹣1≤x ≤1， 由图象知：当x =﹣1时，y 最小=﹣3；当x =12时，y 最大=3
2。

∴y 的最大值为3
2
，最小值为﹣3。

【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a ＝－３。

∴a ＝１ 。

∴ｙ＝x 2
＋bx －３
∵x 2
＋bx －３=０的两根为x 1，x 2且12x x 4-=，
∴22
121212x x (x x )4x x =b +12-=+-＝４且b ＜０。

∴b ＝－２。

∴()2
2x x x ----ｙ＝２３＝１４。

∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。

（2）∵x ＞０，∴11
x 2(x )0x x
+
-=-≥ ∴1
x 2x +
≥。

当1x =0x
-
时，即当x ＝１时，有1
x 2x +=。

（3）由平移的性质，得C 2的解析式为：y ＝x 2。

∴Ａ(m ，m 2
)，B （n ，n 2
）。

∵ΔAOB 为直角三角形，∴OA 2
＋OB 2
=AB 2。

∴m 2
＋m 4
＋n 2
＋n 4
＝（m －n ）2
＋（m 2
－n 2
）2
， 化简得：m n ＝－１。

∵ＳΔAOB =24241
1
m m n n 22
⋅+⋅+O A O B=
，m n ＝－１， ∴ＳΔAOB ＝
22221112m n 2m 22m
++=++＝211111
(m )m 212m 2m 2⎛⎫+=+≥⋅= ⎪⎝⎭。

∴ＳΔAOB 的最小值为１，此时m ＝１,Ａ(１,１)。

∴直线OA 的一次函数解析式为ｙ＝x 。

图1 图2
【答案】解：（1）∵当x =0时，y ＝－2。

∴A （0，－2）。

设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则b=2k+b=0-⎧⎨⎩，解得k=2
b=2⎧⎨-⎩。

∴直线AB 的解析式为y=2x 2-。

∵点C 是直线AB 与抛物线C 1的交点，
∴2y=2x 2
1y=x 22
-⎧⎪
⎨-⎪⎩，解得1212x =4x =0y =6y =2⎧⎧⎨⎨-⎩⎩ ，（舍去）。

∴C （4，6）。

（2）∵直线x ＝3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ， ∴D E 5
y =4y =2，，∴DE =D E 53y y =422
--=。

∵FG ：DE ＝4∶3，∴FG =2。

∵直线x ＝a 交直线AB 于点F ，交抛物线C 1于点G ，
∴2F 1
y =2a 2y =a 22
G --，。

∴FG =2F 1
y y =2a a =22
G --。

解得123a =2a =2+22a =222-，，。

（3）设直线MN 交y 轴于点T ，过点N 作NH ⊥y 轴于点H 。

设点M 的坐标为（t ,0），抛物线C 2的解析式为21
y=x 2m 2
--。

∴210=t 2m 2--。

∴212m=t 2---。

∴2211y=x t 22-。

∴P （0，21
t 2
-）。

∵点N 是直线AB 与抛物线C 2的交点，
∴22y=2x 2
11y=x t 2
2-⎧⎪
⎨-⎪⎩，解得1212x =2t x =2+t y =22t y =2+2t -⎧⎧⎨⎨-⎩⎩ ，（舍去）。

∴N （2t 22t -- ，）。

∴NQ =22t -，MQ =22t -。

∴NQ =MQ 。

∴∠NMQ =450。

∴△MOT ，△NHT 都是等腰直角三角形。

∴MO =TO ，HT =HN 。

∴OT =－t ，()21
NT 2NH=22t PT=t+t 2
=--，。

∵PN 平分∠MNQ ，∴PT =NT 。

∴()21t+t 22t 2
-=-，解得12t =22t =2-，（舍去）。

∴()
2
21
1
2m=t =22=422
----
--。

∴m=2。