角平分和弧中点的使用方法

无切线基本图形（1）
【角平分和弧中点的使用方法】角平分线、弧线中点和等腰之一得二；全等模型． 1、已知AB 为⊙O 的直径，Ｃ为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点Ｄ，CE 平分∠OCD 交⊙O 于Ｅ. （1）如图1，求证：AE ︵＝BE ︵；
（2）如图2，若CE ＝4，求四边形ACBE 的面积.
A
B
E
E
B
A
2、如图，过O 、M （1，1））的动圆⊙O 1交y 轴、x 轴于A 、B ，求OA ＋OB 的值.
）
8、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝90°， （1）求证：PA ︵＝PB ︵
； （2）求证：AC －BC ＝2PC .
11、如图，(4,0)A ，(0,4)B ，⊙'O 经过A 、B 、O 三点，点P 为OA ︵上一动点(异于O 、A )，求PB －P A PO
的值.
A
B
14、（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB＋PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PC＋2PB；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
（15年9上华一寄期中模拟）如图，已知AB、AC是⊙O的弦，D为弧BC的中点，弦DF⊥AB 于E，AC＝2，AB＝3，则BE的长为（）
A．1 B．1
2
C．
2
3
D．
1
4
16、（15年9上华一寄期中模拟）如图，已知：⊙O中，C为优弧AE的中点．
（1）如图1，求证：OC⊥AE；
（2）如图2，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于D，若BD＝1，AE＝4，求⊙O的半径．
7、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F，
（1）求证：EB＝EC；
（2）①求式子AB ＋AC BF 的值；②求式子AB －AC
AF
的值.
E
13、（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题，如图1，在⊙O 中，C 是AB ︵
的中点，
直线CD ⊥AB 于点E ，则AE ＝BE ，请证明此结论；
（2）从圆上任一点出发的两条弦组成折线，称为该圆的一条折弦，如图2，PB 、P A 组
成的⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，则AE ＝PE ＋PB ，请证明你的结论；
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于
点E ，则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论．
3、如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两点，且点D 是AC ︵
的中点，过点D 作DE 垂直于AB ，E 为垂足.
（1）求证：DE ＝1
2
AC ；（2）若AE ＝2，AC ＝8
，记AC 与DE 交点为F ，求EF 的长度.
4、如图，M 在x 轴上，⊙M 交x 轴于A 、B ，交y 轴于D 、F ，
D 为AC ︵
的中点，AC 交OD
图
1
图2
图3
于E ，交BD 于N ，
（1）求证：AE ＝DE ；
（2）若AC ＝4，求点D 的坐标；
（3）探究：EM 与BN 之间的数量关系和位置关系．
5、（2013年内江）如图，半圆O 的直径AB ＝
10cm ，弦AC ＝6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为_________.
6、（2014年武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB ＝13，AC ＝5.
（1）如图（1），若点P 是的中点，求
P A 的长； （2）如图（2），若点P 是
的中点，求P A 的长.
12、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC ＞BC ，点D 为ACB ︵
的中点. 求证：AD 2
＝AC ·BC ＋CD 2
.
1、如图，以AB＝8的半圆弧上有一点C，沿CB把半圆弧折叠，折叠后的弧线与直径AB
交于P点，且AP:PB＝1:3，则折叠BC的长为________.
A
B
【内心、外心，垂心】
2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，求OI的长．Array
7、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD平分∠ACB，AI平分∠CAB，⊙O的半径为1，则DI的长为（）
A． 3 B．2 C． 2 D．1
42，CF⊥AD于F，交AB于G，且OG＝1，则⊙O的半径为__________．
1、(2014年武汉模拟)已知点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，AD 、BC 交于F ．
(1)如图1，求证：DE ＝DB ；
(2)如图2，若AD 是△ABC 的外接圆的直径，G 为AB 上一点，且∠ADG ＝1
2∠C ，若BG ＝3，
AG ＝5，求DE 的长.
C
D
2、如图，AB 为⊙O 的一条直径，D 为AB ︵
中点，点C 在直径AB 的另一半圆弧上，弦CD
交∠BAC 的角平分线于O 1．
（1）求证：①DA ＝DO 1；②O 1D ＝2OA ；
（2）过O 1作O 1M ⊥AB 于M ，若AB ＝10，CD ＝72，求O 1M 的长．
3、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，点M 为△ABC 的内心．
(1)求证:BC ＝2DM ；
(2)若DM ＝52，AB ＝8．求OM 的长．
B
C
4、如图，AB 为⊙O 的直径，点M 为半圆的中点，点P 为另一半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，IN ⊥BP 于N ，下列结论：①∠APM ＝45°；②AB ＝2IM ；③∠BIM ＝∠BAP ；④IN ＋OB PM ＝22
．其中正确的有_______________．
5、如图，BC 是⊙O 的直径，半径为R ，A 为半圆上一点，I 为△ABC 的内心，延长AI 交BC 于D 点，交⊙0于点E ，作IF ⊥BC ，连接AO ，BI ．下列结论：①AB ＋AC ＝BC ＋2IF ；②4∠AIB ﹣∠BOA ＝360°；③EB ＝EI ；④IF ＋R
AE
为定值，其中正确的结论有（
）
4、已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆上一点，D 为半圆的中点，AH ⊥CD 于H ． （1）如图1，求证：OH 平分∠AHC ；
（2）如图2，连AC 、BC ，若AC ＝6，BO ＝4，求OH 的长．
5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，点M 为△ABC
A
B
C
D
H O
图2 A
B C D
H O
图1
的内心．
(1)求证:BC ＝2DM ；
(2)若DM ＝52，AB ＝8．求OM 的长．
17、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，过C 点作CG ∥AD 交AB 的延长线于点G ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ． （1）试问：CG 是⊙O 的切线吗？说明理由； （2）求证：E 为OB 的中点； （3）若AB =10，求CD 的长．
9、如图，在平面之间坐标系中，⊙D 与坐标轴分别交于A （32-，0）、B （32，0）、C （0，6）
（1）求D 点的坐标；
（2）如图，P 为弧BC 上一点，E 为⊙D 与x 轴的交点，连PC 、PE ，I 是△PCE 的内心，延长PI 交⊙D 于F ，过C 作CQ ⊥PF ，垂足为Q ，连DQ ，则∠FQD 的度数为 ； （3）在（2）的条件下，过I 作IM ⊥PE ，垂足为M ，求
PF
DE
IM +的值.
C
【旋转思想】、
1、（2015•武汉模拟）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ； （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD ＝BE ； （2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2
，OF ＝3，求⊙O 的直径．
2、如图，△ABC 为⊙O 内接三角形，∠ACB ＝60°. （1
）求证：AB ；
（2）P 为AB 中点，AP ＝AD ，BP ＝BE ，且PD ＝2，PE ＝3，求AB 的长.
图1
图2
3、（2015•武汉模拟）如图，△ABC 为等边三角形．O 为BC 的中垂线AH 上的动点，⊙O 经过B ，C 两点，D 为弧上一点，D ，A 两点在BC 边异侧，连接AD ，BD ，CD ． （1）如图1，若⊙O 经过点A ，求证：BD ＋CD ＝AD ； （2）如图2，圆心O 在BD 上，若∠BAD ＝45°；求∠ADB 的度数； （3）如图3，若
AH ＝OH ，求证：BD 2＋CD 2＝AD 2．旋转
1、（2016年秋汉阳区期中第16题）平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，,0），点B 的坐
标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边三角形∆PBM，则线段AM的长的最大值为．。