高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.3演绎推理6.1.4合情推理与演绎推理的关系

3．合情推理与演绎推理的关系 ①合情推理包括归纳推理和类比推理；而演绎推理的主要形 式是“三段论式推理”． ②从推理形式上看，归纳是由部分到整体、特殊到一般的推 理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特 殊的推理． ③从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有 待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正 确的前提下，得到的结论一定正确．
典例剖析
题型一 用三段论的形式表示演绎推理
【例1】把下列推理写成三段论的形式 (1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以，铀能够导电； (2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1) 不能被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，所以y＝ta n α是周期函数．
解 (1)所有的金属都能导电——大前提(一般原理) 铀是金属——小前提(特殊情况) 所以铀能够导电——结论(对特殊情况的判断)． (2)一切奇数都不能被2整除——大前提． (2100＋1)是奇数——小前提． 所以(2100＋1)不能被2整除——结论． (3)大前提：三角函数都是周期函数， 小前提：y＝tan α是三角函数， 结论：y＝tan α是周期函数．
()
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平
行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由
此得高三所有班人数均超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝
1 2
an－1＋an1－1
2．三段论常用格式为：①M是P，② S是M ，③S是P；其中 ①是 大前提 ，它提供了一个一般性原理；②是 小前提 ， 它指出了一个特殊对象；③是结论 ，它根据一般原理，对 特殊情况作出的判断．
3．在演绎推理中，只要大前提、小前提都是真实的，推理 的形式是正确的，那么结论必是 真实 的．
4．数学成果的发现往往是由 合情推理 给出的，再由 演绎推理 给予证明．
题型二 演绎推理的运用
点评 用三段论写推理过程中，关键是明确大前提、小前 提，有些推理有时省略了大前提，寻找大前提时，可找一个 使结论成立的充分条件作为大前提．
1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”写成三段论的 形式． 解 二次函数的图象是一条抛物线，(大前提) 函数y＝x2＋x＋1是二次函数，(小前提) 所以，y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线．(结论)
2．三段论的含义 我们在解答题和证明题中所用到的推理，一般都是演绎推 理，它的基本模式是三段论． (1)大前提：已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、 性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确 的都可以当作大前提． (2)小前提：所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一 特殊情形． (3)结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
6．1.3 演绎推理
6．1.4 合情推理与演绎推理的关系
【课标要求】 1．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式． 2．并能运用演绎推理进行一些简单推理． 3．掌握合情推理和演绎推理的联系和差异． 4．了解合情推理和演绎推理在数学发现中的作用．
自学导引
1．演绎推理：是由一般到特殊，按照严格的逻辑法则得到的 一种必然性结论的推理过程，它的主要形式是 三段论 ．
(n≥2)，由此归
纳出{an}的通项公式
解析 两条直线平行，同旁内角互补(大前提) ∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提) ∠A＋∠B＝180°(结论)． 答案 A
3．用演绎推理证明“y＝x2(x＞0)是增函数”时的大前提为______． 答案 增函数的定义
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝11＋ －aann(n∈N＋)，则a3的值 为________，a1·a2·a3·…·a2 010的值为________．
注意：①三段论推理的根据，用集合的观点来讲就是：若集 合M中所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有 元素都具有性质P. ②演绎推理是一个必然性推理，演绎推理的前提与结论之间 有蕴涵关系，因而，只要大前提、小前提都是真实的，推理 的形式是正确的，那么结论必是真实的．但错误的前提可能 导致错误的结论．
预习测评
1．下面说法正确的有
( )．
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论
一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④
演绎推理的结论的正误与2个
C．3个
D．4个
解析 ②错，①③④正确，故选C.
答案 C
2．下列几种推理过程是演绎推理的是
自主探究
1．三段论的基本格式是什么？ 提示 M—P(M是P)(大前提) S—M(S是M)(小前提)S—P(S 是P)(结论)
2．三段论推理的依据，用集合的观点怎样来理解？ 提示 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子 集，那么S中所有元素也都具有性质P.
3．合情推理与演绎推理有什么联系？ 提示 从合情推理与演绎推理在认识事物的过程中所发挥的 作用的角度考虑，二者是紧密联系的，合情推理的结论需要 演绎推理的论证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获 得的．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要 靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．
解析
a2＝－3，a3＝－
1 2
，a4＝
1 3
，a5＝2，a6＝－3……呈现
周期性，周期性为4，且a1·a2·a3·a4＝1
2010÷4＝502×4＋2
∴原式＝a1·a2＝－6.
答案 －12 －6
要点阐释
1．演绎推理的含义 数学理论都是用演绎推理组织起来的，每一个数学理论都 是一个演绎体系，演绎推理是由一般到特殊的推理，是 一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关 系，即演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围．只 要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必是 真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．