5.1高斯消去法

转化为等价的（同解）的三角形方程组。 转化为等价的 (同解)的三角方程组. b x b x b x g 12 2 1n n 1 11 1 b 2 n x n g b 22 x 2 2 b nn x n g n
称消元过程，逐次计算出 x n , x n 1 , , x1 称回代过程。
x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 22 66 x3 5 5
高斯（Gauss）消去法
元法 目标 一般方程组 消 三角形方程组
上三角方程组的一般形式是：
a11 x1 a12 x 2 .............................. a1n x n b1 a 22 x 2 ............................. a 2 n x n b2 ....................................... .. a n 1n 1 x n 1 a n 1n x n bn1 a nn x n bn 其中a ii 0 ( i 1,2,......, n)
线性方程组的概念（续）
如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0，则该方程组有唯一解。 求解Ax = b，曾经学过高斯（Gauss）消元法， 克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。
Gauss 消去法计算过程分析
Gauss 消去法计算过程分析
统一记号：
若
a
(1) 11
a
ij
→
a
(1) ij
,
(1)
b→ b
i
(1) i
0:
(1) 11
a (第 三 行 ) ( 第 一 行 ) a a
(1) 31
(第二行) （第一行） a 21
( 新第二行 )
(1) 11
→ ( 新第三行)
例1（续） 再消一次元得：
二次消元后将方程化为 倒三角形式，然后进行
回代容易解出： x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1。 上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将 方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过 程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原 方程组的解，此过程称为回代过程。 我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程 组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方 程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。
高斯（Gauss）消去法
为求解上面的上三角方程组，从最后一个 方程开始，先解出 xn bn / ann , 然后按方程从后 向前的顺序，用已求出的xk 值，从方程中依次 解出xn 1 , xn 2 ,...., x1。
这个过程的计算公式为：
x n bn / a nn , x i ( bi
高斯（Gauss）消去法
这里 a
(3) ij
a
(2) ij
a a
(2) i2 (2) 22
a
(2) 2j
a mi2 a
(2) i2 (2) 22
这里 b
a b
(3) i
b
(2) i
a a
(2) i2 (2) 22
b
(2) 2j
(2) 2
(3) ij
a b
(2) ij
mi2 a
知识结构框图
迭代法
列主元 消去法 否
全主元 消去法
AX=b
a
(k ) ii
?
0
是
Gauss 消去法
直接法
Ai 0
是 LU分解法
高斯（Gauss）消元法
第1节
高斯（Gauss）消去法
高斯（Gauss）消去法
一、高斯消去法
高斯消元法是一个古老的直接法, 由它改进得到的选主元的消元法,是目 前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方 程组的有效方法,其特点就是通过消元 将一般线性方程组的求解问题转化为 三角方程组的求解问题
(3) i
(2) i
mi2 b
(2) 2
高斯（Gauss）消去法
得到同解方程组
A
(3)
xb
(3)
(1) (1) (1) (1) (1) a 13 x 3 a 1n b1 a a 11 x 1 12 x 2 (2) (2) (2) (2) a 23 x 3 a 2 n b 2 a 22 x 2 (3) (3) (3) a 33 x 3 a 3n b 3 (3 ) (3) (3) a nn b n a x n 3 3
高斯（Gauss）消去法
这里 a
(k 1) ij
a
(k) ij
a a a
(k) kj
(k) ik (k) kk
这里 b
(k 1) i
b
(k) i
a b a
(k) k
(k) ik (k) kk
(k) kj
a m ik a
(k) ik (k) kk
这里 a
(k 1) ij
a mik a
(k) ij
这里 b
(k 1) i
b mik b
(k) i
(k) k
高斯（Gauss）消去法
消去过程算法
a
(1) 11

a

(1) 1n
b b
(1) 1

(k ) kn (k ) k
a
(k ) kk
a
(k ) kk 1

a
0 0
a
( k 1) ij
b
( k 1) j
k 1 i,j n
若
a
(3) 33
0 ，则 此 消 去 过 程 可 依 次 进 行下去。
高斯（Gauss）消去法
第n-1 第 步消去过程后，得到等价三角方程组。 n 1 步消去过程后， 得到等价三角方程组。
A
(n)
x b
(n)
(1) (1) (1) (1) (1) a 13 x 3 a 1n x n b1 a a 11 x 1 12 x 2 (2) (2) (2) (2) a 22 x 2 a 23 x 3 a 2n x n b 2 (3) (3) (3) a 33 x 3 a 3n x n b 3 (n) (n) a b nn x n n
k i 1
a
n
ik
x k ) / a ii
高斯（Gauss）消去法
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 对 nn 阶线性方程组 对 阶线性方程组： a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n

(第 n 行 ) （第一行） a n1
(1)
a
(1) 11
→ ( 新第n行 )
相当于第i个方程减第一个方程×数→新的第i方 程—同解！第一方程不动！
高斯（Gauss）消去法
上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数 和常数项全得到新值：
(1) (1) (1) (1) (1) b1 a a a a 11 x 1 12 x 2 13 x 3 1n x n (2) (2) (2) (2) a 23 x 3 a 2 n x n b 2 a 22 x 2 (2) (2) (2) (2) a 32 x 2 a 33 x 3 a 3n x n b 3 (2) (2) (2) (2) a a a b n2 x 2 n3 x 3 nn x n n
，下例说明其基本思想:
举 例
x1 x2 x3 6 例1 解线性方程组：
12 x1 3 x2 3 x3 15 18 x 3 x x 15 1 2 3
解：消去x1，进行第一次消元：首先找乘数，以 -12乘第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个 方程加到第三个方程上可得同解方程组： x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 21x 17 x 93 3 2
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 设n阶线性方程组：
a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (5-1) a x an 2 x2 ann xn bn 其矩阵形式为： n1 1
Ax=b (5-2)
第五章
线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
第五章 线性方程组的直接解法
1 高斯消去法 3
2 矩阵三角分解法
3 向量范数和矩阵范数 4 误差分析
在科学研究和工程技术中所提出的计算问题中，线性 方程组的求解问题是基本的，常见的，很多问题如插值函 数，最小二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等 线性方程组的概念 ，都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法 在数值计算中占有较重要的地位。
三高斯消去法实现的条件1111的充要条件是矩阵的顺序主子式daxbn阶矩阵的所有顺序主子式均不为零则可通过高斯消去法求解方程组四主元素法4141引入主元素的必要性引入主元素的必要性对线性方程组对线性方程组axaxbb若其系数行列式若其系数行列式detdetaa00则该方程组有唯一则该方程组有唯一解但是这一条件解但是这一条件不能保证所有主元素都不等于零只要某一主元不能保证所有主元素都不等于零只要某一主元素等于零就不能用素等于零就不能用gaussgauss消元法求解该方程组消元法求解该方程组即使所有主元素不等于零但即使所有主元素不等于零但某一主元素的绝对某一主元素的绝对值很小时值很小时gaussgauss消元法也是不适用的
高斯（Gauss）消去法
回代过程算法
(1) (1) (1) (1) a1i x i a1n x n b1 a 11 x1 (i ) (i ) (i ) a a b ii x i in x n i ( n 1) ( n 1) ( n 1) a n1n1 x n1 a n1n x n b n1 (n) (n) a nn x n b n
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有 限步四则运算可求得方程组准确解的方法。 2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某 种算法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。 这一章介绍计算机上常用的直接法，它们都是以Gauss 消元法为基本方法，即先将线性方程组化为等价的三角形 方程组，然后求解。 请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小 数，即不可避免地存在着舍入误差的影响，因 而即使是准确解法，也只能求到近似解。 直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
a b
(1) ij
mi1 a
(1) 1
(1) 1j
(2) i
(1) i
mi1 b
高斯（Gauss）消去法
第二步消元：若
a
a a a a
( 2) 22
≠0 ， 对除第一行第一列外
的子阵作上计算：
(1) a11 0 ( 3) A 0 0
a a
(1) 12 ( 2) 22
(1) 13 ( 2) 23 ( 3) 33 ( 3) n3

0 0
a a a a
(1) 1n ( 2) 2n ( 3) 3n ( 3) nn


(3) ，b
(1) b1 ( 2) b(23 ) b3 ( 3) bn
高斯（Gauss）消去法
第 一 步 消 元 ：若
a
(1) ij
(1) 11
≠0 ，
(1) i1 (1) 11
这里 a
(2) ij
a
b
a a
a a
a
(1) 1
(1) 1j
这里 b
(2) i
(1) i
(1) i1 (1) 11
b
a m i1 a
(1) i1 (1) 11
a b

(2) ij
a11 a12 a1n x1 b1 其中： a21 a22 a2 n x2 b2 A ，x ，b ： ∶ x b a a a nn n n n1 n 2