人教版 初中数学 八年级下册《勾股定理》教学课件(1)

C
A的面 积(单 位面积
)
B的面积 (单位面
积)
C的面 积(单 位面积
)
A
图1
9
9 18
8
B C
图1
A
B
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图2
A，B，C 面积关
系
直角三 角形三 边关系
44
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的
正方形的面积
天闻数媒
如果他们是“文明人”，也必定认识这种图
形.
天闻数媒
那么这到底是一种什 么样的图形呢？它真的有 那么大的魅力吗？
下面就让我们通过时光隧道，和 古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研 究这种图形吧。
天闻数媒
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系， 进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
B
图1-3
C A
B
图1-4
分“割” 成几个直角边为整数的三角形
天闻数媒
做一做
你是怎样得
C
到表中的结
A
果的？与同
伴交流交流。
B
C
（1）观察图 1-3、图1-4， 并填写右表：
图1-3
A
B
图1-4
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
图1-3
16
9
1 = (a2+2ab+b2)
2 又∵ S梯形 ABCD=S AED+S EBC+S CED
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
2 2 22
为“总统证法” 比较上面二式得 c2=a2+b2
．
天闻数媒
验证勾股定理的正确性
b
a
a
c
cb
bc a
ca b
a a
b ca
bc a
b b
天闻数媒
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°, A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A 2, B 1, C 2, D 3C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
那么它的宽是（ B）
A 2 5㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5 ㎝
天闻数媒
2
2
勾 股
国外又叫毕达哥拉斯定理 天闻数媒
直角三角形中 较短的直角边称为勾 ，
较长的直角边称为 股 ， 斜边称为弦 。
勾
弦
股 勾2 + 股 = 天闻数2媒 弦2
勾股定理的各种表达式：
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
4米
3米
3、求下列直角三角形中未知边的长.
6
10
x
x
12
13
天闻数媒
一 填空题：
1) 在直角三角形中，两条直角边 分别为a,b, 斜边为c，则c2=_a_2+_b_2 2) 在RT△ABC中∠C=90°,
⑴若a=4,b=3,则c=__5__
⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_
⑶ 若 c=17,a天闻=数8媒,则b=__1_5_
问题2:式子SA+SB=SC能用直角
三角形的三边a、b、c来表示吗?
a2 + b2 = c2
B
C
A aa cc
问题3:去掉正方形结论会改变吗？ C Bbb A
问题4:那么直角三角形三边a、
b、c之间的关系式是:
a2 + b2 = c2
天闻数媒
我们猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分 别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割” 成几个直角边为整数的三角
形
天闻数媒
C A
S正方形c
B C
图1-1
A
B 图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
1 62 2
18（单位面积）
还可以把C“补” 成边长为6的正方形面积的一
半
天闻数媒
2、回顾填填你能发现图1图2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
（2）得出结论： 三个正方形A， A B，C的面积之 间有的关系？
SA+SB=SC
C
B
图1-3
C A
B
图1-4
即：两条直角边上的正方形面积之和等 于 斜边上的正方形的面积
天闻数媒
至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的
正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC
问题1:去掉网格结论会改变吗？
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
天闻数媒
这是2002年国际数学家大会会标
cb a
赵爽弦图
∵
1 2
ab×4+(b-a)²=c²
2ab+（b²-2ab+a²）=c²
∴a²+b²=c²
天闻数媒
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
ab 4 C2
2
c a
b
c a
b
c a
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是
B
C
9 个单位面积。
图1-1
A
正方形C的面积是
B 图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
天闻数媒
123
（2）（3）
C A
S正方形c
B C
图1-1
A
4 1 33 18 2
B
（单位面积）
用四个全等三角形拼图证明。
天闻数媒
勾股定理的证明
问题： 你会用四个全等的直角三角形拼成哪些图形？
b
c
a
b
cb
cb
c
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的 介绍面积证法。
天闻数媒
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab
a2+b2=c2
天闻数媒
勾股定理的证法（二）
C
∵4× ab= c2 －(b－a)2
c
b
朱实
c
朱实 黄实 朱实
a
ba
图1
朱实
图2
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，
将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.
天闻数媒
剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b
朱实 黄实朱实
ba
ab2
c
b
2
〓
bc 2
朱实
a
a
a M
P天闻数媒bb
N
“赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
天闻数媒
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当 2002年第 24届国际数学家大会在北京召开时， “赵爽弦图”被 选作大会会徽。
∵x>0
∵y>0
∴X=10
∴ y=12
方法总结：利用勾天闻股数媒定理建立方程.
看谁算得快
练习1：图中已知数据表示面积，求表示边 的未知数x、y的值.
9 16
144 169
①
②
天闻数媒
议一议：
24m 9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下
，十分危急。接警后 “119”迅速赶到现场， 并决定从断裂处将旗杆折 断。现在需要划出一个安 全警戒区域，那么你能确 定这个安全区域的半径至
天闻数媒
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数 学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所 以命题1在我国叫做勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角
边长分别为a、b,斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
天闻数媒
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。三千多年前，周朝数学家商高就提
勾股定理
天闻数媒
一、创设情境
除地球外，别的星球上有没有生命呢？
自古以来，人类就不断发出这样的疑问， 特别是近年来不断出现的UFO事件，更让人们 相信有外星人的说法，如果真的有，那我们 怎么和他们交流呢？
我国著名数学家华罗庚在多年前曾提
出这样的设想：向太空发射一种图形，因为
这种图形在几千年前就已经被人类所认识，
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 4 ab C2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2
天闻数媒
证明3：
C
你能只用这两个 D
直角三角形说明 a c
b c
a2+b2=c2吗？
▪ 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来 ，人们为了纪念 他对勾股定理直 观、简捷、易懂 、明了的证明， 就把这一证法称
探究二：SA+SB=SC 在图2中还成立吗？
A的面积是 16 个单位面积．
B的面积是 9 个单位面积．
C的面积是 25 个单位面
积．
A
C
你是怎样得到正
方形C的面积的？ 与同伴交流交流．
B
图2
结论：仍然成立。
（图中每个小方格是1个单位面积）
天闻数媒
S正方形c
A
C
4 1 431 2
25
（面积单位）
天闻数媒
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
其他证明方法
勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅 力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著 名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的 老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有 资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种。
c a
b
天闻数媒
三、拼图证明
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？ 光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。
这就需要我们对一般的直角三角形进行证 明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家 赵爽是怎样证明这个命题的．
天闻数媒
赵爽拼图证明法：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方 形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它 拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。
四、实践应用
例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.
A
x
C
y
B
6
5
13
C8
B
解：（1）在Rt△ABC中,由勾
股定理得：AB2=AC2+BC2
A
（2）在Rt△ABC中,由勾股
定理得:AC2+BC2=AB2 y2+52=132
x2=62+82 X2 =36+64 x2 =100
y2=132-52 y2=144
少是多少米吗？
天闻数媒
看谁算得快
练习2：已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
求S5 、S6 、S7的值.
s3
S4
S2
S6
S1 S5
S7
天闻数媒
五、反馈评价
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积.
A =625
225
400
81
B=144
225
天闻数媒
2、如图，受台风影响，一棵树在离地面4米 处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这 棵树折断前有多高？
（3 ） 等边三角形的边长为12， 则它的高为__6__3__
（4) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4,那么另一边为___5_或___7__
天闻数媒
二 选择题：
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1， 3 B 1 ，3 C 1， 5 D 1 ,5
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
天闻数每媒块砖都是等腰直角三角形哦
二、实验探究
探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有 什么数量关系吗？
C A
B 图1 （图中每个小方格 是1个单位面积）
天闻数媒
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
出了“勾三股四弦五”的说法。
天闻数媒
为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国
古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”， 下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角 形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三 边的关系，所以叫做勾股定理。
a2+b2=c2
天闻数媒
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab
2
c a
b
∵ c2= (b a)2 4 1 ab 2
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2