认识分式 第一课时-八年级数学下册课件(北师大版)

a＝2， b＝4.
所以3a－b＝3×2－4＝2.
题型2 分式的值为1或－1
6
当x 为何值时，分式
4 x＋3 x－5
的值为1？当x 为何值时，
4 x＋3
分式 x－5 的值为－1?
解：因为分式
4 x＋3 x－5
的值为1，
所以4x＋3＝x－5，解得x＝－
8
.
当x＝－ 8 时，x－5＝－8－5＝3 － 23 ≠0，
对于分式 A ： B
A
(1)若 B ＝0，则A＝0且B≠0；
(2)若
A B
＝1，则A＝B≠0；
(3)若 A ＝－1，则A＋B＝0且B≠0；
B
(4)若 A 为正数，则 B
A＞0，或 A＜0， B＞0 B＜0；
(拓展)
(5)若 A 为负数，则 或 B
A＞0，或 A＜0， B＜0 B＞0；
(拓展)
a＋1
.
解：
8 x＋y
，x 2 x
，3 a
是分式；
－m2n，－ a ，－ 5 a2b，a 是整式． 2 3π
题型1 分式的值为0
5
若a，b
为实数，且
（a－2）2＋| b2－16 b＋4
|＝0，
求3a－b 的值． （a－2）2＝0，
解：由已知得 | b2－16 |＝0，
b＋4 0，
a－2＝0，
即
b2－16＝0，解得 b －4，
整式有
－3a2，x＋2 2
，a＋2b π＋2
，3.
总结
判断一个式子是否是分式的方法：
首先要具有 A 的形式，其次A，B 是整式，最后看分母
B 是不是含有字母，分母含有字母是判定分式的关键条件．
1 下列各式中，是分式的是( C )
A. x2 3
C. x2 x
B.
5x π－1
D. 2 x2 y＋4 3
子先化简从而错判，或对特殊常数认识不清造成
误判，或易混淆含分式的式子与分式的区别而错
判．
1
使分式
2－x x＋2
无意义的x
满足的条件是(
B
)
A．x ＝2
B．x ＝－2
C．x ≠2
D．x ≠－2
2 下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是( D )
1 A. 2x＋1 C. 3x＋1
x2 1
x B. 2x＋1
例3 当x 取何值时，下列分式无意义？
(1) 2x－1； 3x
(2)
5 x＋1 3x2－27
.
导引：由分式无意义可得分母的值为0，从而利用方程求解．
解：(1)当3x＝0，即x＝0时，分式 2x－1 无意义；
3x
(2)当3x 2－27＝0，即x＝±3时，
5 x＋1 分式 3x2－27 无意义．
总结
D.
x2 2 x 2＋1
x＋a
3 分式 3x－1 中，当x＝－a 时，下列结论正确的是( C )
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠－ 1 ，分式的值为零
3
D．若a≠ 1 ，分式的值为零
3
4 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
8 x＋y
，－m
2
n，－
a 2
，x 2 x
，3 a
，－
5 3
a
2b，a π
知识点 2 分式有无意义的条件
1.在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义；当分母的值 为0时，分式无意义． 要点精析： (1)分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分 母的整式的值不能为0. (2)分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分 式的分子的值是否为0无关．
2.条件的求法： (1)当分式有意义时，根据分式分母值不为0的条件转化为不等式求解． (2)当分式无意义时，根据分式分母值为0的条件转化为方程求解． 3.易错警示：当分母出现含字母的式子是平方形式时，容易出现考虑不 周的错误．
当x＝4时，分式 x＋a 的值为0，
则4－b＝0，即b＝4.
∴a＋b＝1＋4＝5.
题型4 分式的值为整数(分类讨论思想)
8
若分式
2 x＋1
的值为整数，求整数 x 的值．
解：∵分式
2 x＋1
的值为整数，且x
为整数，
∴x＋1＝－2或－1或1或2，
∴x 的值为－3或－2或0或1.
9 自学下面材料后，解答问题． 分2x母中3 含有未知数的不等式叫分式不等式．如：xx＋12 ＞0； x 1 －1＜0等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，
1.认识分式
第1课时
回忆：什么叫整式？请你举例说明. 单项式：数与字母或字母与字母的积
整式 多项式：几个单项式的和
知识点 1 分式的定义
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 hm2, 实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2，结果提前完
成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x hm2，那么
元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？
议一议
上面问题中出现了代数式
2400 x
,
2400 x＋30
,
35a＋45b a＋b
和b, ax
它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同?
相同点 都具有分数的形式 不同点 （观察分母） 分母中有字母
定义 一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中
外，分式都有意义.
由分母2a
－1＝0，得a＝
1 2
.
所以，当a ≠
1 2
时，分式
a＋1 2a－1
有意义.
例5
若分式
x2 1 x－1
的值为零，则x
的值为(
C
)
A．0
B．1
C．－1 D．±1
导引：分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，由
此条件解出x 即可． 由x 2－1＝0，得x＝±1. 当x＝1时，x－1＝0，故x＝1不合题意； 当x＝－1时，x－1＝－2≠0， 所以x＝－1时分式的值为0.
1
x
地返回A地的时间为 y h.
所以这辆汽车往返A，B两地的平均速度为
2 11
2xy (km/h)． xy
例4 (1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 2a－1 的值.
(2)当a 取何值时，分式
a＋1 2a－1
有意义？
解：
(1)当a＝1时，
a＋1 ＝ 2a 1
2
1＋1 1
＝2； 1
当a＝2时，
a＋1 ＝ 2a 1
2
2＋1 2
＝1； 1
当a＝－1时，
a＋1 ＝ 2a 1
2
1＋1 ＝0； 11
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
x2 根据上述规律，求不等式 x＋1 ＞0的解集．
解：由题中规律可知
或
x－2＜0， x＋1＜0，
∴x＞2或x＜－1.
x－2＞0， x＋1＞0，
10 (1)某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分收费a 元，之后的每一分收费b 元．如果某人打该长途电话付费8元 (a＜8)，则此人打长途电话的时间是( C )
含有字母，那么式子
A B
叫做分式.
分式
A B
中，A 叫做分子，B 叫做分母.
例1
下列各式：－3a2，x＋2 2
，2 x x
，a＋2b π＋2
，3，x2＋xy
中，哪些是分式？
哪些是整式？
导引：按分式和整式的定义知分母中含有字母的式子是分式，
分母中不含有字母的式子是整式．
解：分式有
2x ，2x ； x x＋y
3
3
3
故因当为x分＝式－483x＋时3，的分值式为4－xx－＋ 1，53 所的以值这为个1.分式的分子、分母互
x－5
为相反数，即(4x＋3)＋(x－5)＝0，解得x＝25.当x＝
2
时，
x－5＝ 2 －5＝－ 23 ≠0，故当x＝ 2 时，
5
5
5
5
分式
4 x＋3 x－5
的值为－1.
方法总结： 若分式
f g
＝1，则f
与g 相等；若分式
f g
＝
－1，则f 与g 互为相反数．同时也需要检验分
式是否有意义．
题型3 分式无意义及值为0
7
已知当x＝－1时，分式
x－b x＋a
的值为0，求a＋b
x－b x＋a
无意义，当x＝4时，分式
的值．
解：∵当x＝－1时，分式
x－b x＋a 无意义，
则－1＋a＝0，即a＝1. x－b
当x＝－2时，
2 x－1 ＝ 3 x＋2
2 3
(－2)－1＝5 ； (－2)＋2 4
当x＝ 1
2
时， 2x－1＝ 2 3x＋2 3
1 －1 12＋2＝0.
2
2 若分式 x －1 的值为零，则x 的值是( A )
x＋1
A．1
B．－1
C．±1
D．2
a 3 若a2－ab＝0(b≠0)，则 a＋b ＝( C )
A. 8 a min b
8 B. a b min
C. 8 a b min b
D. 8 a b min b
(2)一辆汽车从A地到B地，速度是x km/h，从B地返回A地， 速度是y km/h.求这辆汽车往返A，B两地的平均速度．
解：(2)假设A，B两地的路程为1 km，则往返A，B两地的
总路程为2 km，从A地到B地的时间为 1 h，从B
(1)原计划完成造林任务需要多少个月？ (2)实际完成造林任务用了多少个月？
做一做 (1)2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统
计结果显示，前a 天日均参观人数35万，后b 天日均参观人数45 万，这（a＋b）天日均参观人数为多少万？ (2)文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a 元，现每 册降价x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b
异号得负．其字母表达式为：
(1)若a＞0，b＞0，则 a ＞0；若a＜0，b＜0，则 a ＞0.
b
b
a (2)若a＞0，b＜0，则 b
＜0；若a＜0，b＞0，则
a b
＜0.
a
a＞0， a＜0，
反之：(1)若
＞0，则 b
b＞0， 或
b＜0.
a＞0，
a＜0，
(2)若
a b
＜0，则___b_＜__0_;___或____b＞___0___．
本题运用方程思想求解．利用分式无意义时需分母等于0 这一条件，构造方程求解．
1 当x 取什么值时，下列分式有意义？
(1) 8 ; x1
1
(2) x2
. 9
解：(1)由x－1≠0，得x≠1.
所以，当 x≠1时，分式
8 x1
有意义．
(2)由x 2－9≠0，得x≠±3.
1
所以，当x≠±3时，分式 x2 9 有意义．
A．0
B. 1
2
1 C．0或 2
D．1或2
4 下列关于分式的判断，正确的是( D )
A．当x＝2时，xx－＋12 的值为零
B．当x≠3时， x－3 有意义
x
C．无论x为何值，
3 x＋1
不可能得整数值
3
D．无论x为何值， x2＋1 的值总为正数
下列说法正确的是( D ) x2
A. 是整式，不是分式 x 11
2
例2 分式 x 1 有意义，则x 的取值范围是 ( A )
A．x ≠1
B．x＝1
C．x ≠－1
D．x＝－1
导引：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求
解．根据题意得：x－1≠0，解得：x ≠1.
总结
求分式有意义时字母的取值范围，一般是根据分母不等于 0构造不等式，求使分式的分母不等于0的字母的取值范围．
2 若代数式 x 有意义，则实数x 的取值范围是( D )
x4
A．x ＝0
B．x ＝4
C．x ≠0
D．x ≠4
3 当x＝－1时，下列分式中有意义的是( C )
A. 1 x＋1
C. x x－1
B. 2 x －1
D. 4 x 2－1
知识点 3 分式的值为零的条件
分式值为零的条件及求法： (1)条件：分子为0，分母不为0. (2)求法：①利用分子等于0，构建方程．②解方程求出所含字 母的值．③代入验证：将所求的值代入分母，验证是否使分母 为0，若分母不为0，所求的值使分式值为0；否则，应舍去．
总结
求使分式的值为0的字母的值的方法： 首先求出使分子的值等于0的字母的值，再检验这个字母的值
是否使分母的值等于0，只有当它使分母的值不为0时，才是我们 所要求的字母的值．
1 当x＝0，－2， 1 时，分别求 2x 1 分式的值.
2
3x 2
解：当x＝0时，
2x－1＝ 0－1＝－1 ； 3x＋2 0＋2 2
4 下列各式：
1 x
，x＋y，π 3
，x－y π
，2mn m
，a2－b2 a－b
，1 2
a－
1 3
b，2 x
(
x
2－2
x
)
x＋y，π，x－y ，1 a－ 1 b 中，整式有________3____π____2_____3_____；
分式有___1x_，__2_mm__n_，_a_a_2－－__bb__2 _，_2x__(_x_2－___2_x_)__．
C. x y 是分式
3a B. π 是分式
n D. 5m 是分式
易错点：对分式的定义理解不透导致判断出错
判断一个式子是不是分式要看它的原始状态
的分母中是否含有字母，不能将原式化简、整理
x2
3a
后去判断，所以 是分式， 不是分式，
1Leabharlann 1xπ是含分式的式子，不是分式，
n
是分
xy
5m
式．本题易因对分式的定义理解不透而将原始式
2 在3，a 2－1，5a 中任选两个构成一个分式，则构成的分式
3 ， 5a ，3 ，a2－1； 有__a_2－__1___a_2_－__1__5_a____5_a___，共__4__个．
A
3 设A，B 都是整式，若 B 表示分式，则( C ) A．A，B 中都必须含有字母 B．A 中必须含有字母 C．B 中必须含有字母 D．A，B 中都不含字母