江苏高二高中数学期中考试带答案解析

江苏高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.设集合，,,则．
2.已知复数满足（为虚数单位），则 .
3.命题“若，则（R）”否命题的真假性为（从“真”、“假”中选填一个）．
4.已知集合 ,
若,,则的值等于.
5.若是纯虚数，则实数的值是
6.“”，“”，若是的充分不必要条件，则的取值范围是．
7.函数的单调减区间为___________.
8.曲线在点处的切线方程是．
9.若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是
10.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，
则实数的值为
11.已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为
________．
12.已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值
为1，则不等式的解为
13.求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所
以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解为．
14.已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是．
二、解答题
1.已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
2.设：，：关于的不等式的解集是空集，试确定实数的取值范围，使得或
为真命题，且为假命题。

3.复数＝且，对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值．
4.（1）用综合法证明：()
（2）用反证法证明：若均为实数，且，，求证：中至
少有一个大于0
5.已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．
6.已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．
江苏高二高中数学期中考试答案及解析
一、填空题
1.设集合，,,则．
【答案】
【解析】因为，所以,因此.
【考点】集合的运算
2.已知复数满足（为虚数单位），则 .
【答案】
【解析】因为，所以，也可利用复数模的性质求解：
【考点】复数的模
3.命题“若，则（R）”否命题的真假性为（从“真”、“假”中选填一个）．
【答案】真
【解析】命题“若，则（R）”否命题“若，则（R）”，为真命题.
【考点】否命题
4.已知集合 ,
若,,则的值等于.
【答案】-7
【解析】因为而,,所以
，即是方程的根，因此
【考点】不等式解集与方程根的关系
5.若是纯虚数，则实数的值是
【答案】2
【解析】因为是纯虚数，所以，解得
【考点】纯虚数概念
6.“”，“”，若是的充分不必要条件，则的取值范围是．【答案】
【解析】，所以，因为是的充分不必要条件，所以，即.
【考点】充要关系
7.函数的单调减区间为___________.
【答案】
【解析】因为，解得，因此函数的单调减区间为.
【考点】导数求单调区间
8.曲线在点处的切线方程是．
【答案】
【解析】因为，所以切线斜率为切线方程是.
【考点】利用导数求切线方程
9.若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为命题“，使”的否定是假命题，所以命题“，使”是真命题，即从而实数的取值范围是.
【考点】命题的真假
10.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，
则实数的值为
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以又因为当时，，所以
【考点】偶函数性质
11.已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为
________．
【答案】∪
【解析】由导函数几何意义知，当时当时而不等式等价于或，所以等式的解集为∪.
【考点】导函数与原函数图像关系
12.已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值
为1，则不等式的解为
【答案】
【解析】对任意实数，恒有就是指函数为增函数，因为在上的最
大值为1，所以.因此
【考点】函数性质
13.求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所
以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解为．
【答案】
【解析】类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，
由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=-1或x=2．
所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{-1，2}．故答案为：{-1，2}．
【考点】类比
14.已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是．【答案】
【解析】由题意得函数不为单调函数，所以对称轴必在区间内，即
【考点】函数单调性
二、解答题
1.已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）本题就是解简单分式不等式及一元二次不等式.，当时，
,∴.（2）根据集合B的解集情况，讨论满足的实数的取值范围. 因为,所以①当时，不成立；②当即时，，解得③当即时，
解得综上，当，实数的取值范围是.
法一：
解：（1）,------2分
当时，,------4分
∴. ------6分
（2）,------7分
①当时，不成立；------9分
②当即时，
，解得 ------11分
③当即时，
解得 ------13分
综上，当，实数的取值范围是.------14分（缺等号扣2分）
法二：
解：（1）,------2分
当时，,------4分
∴. ------6分
（2）记
即：------10分
整理得：解得
实数的取值范围是.------14分（缺等号扣2分）
【考点】解不等式
2.设：，：关于的不等式的解集是空集，试确定实数的取值范围，使得或
为真命题，且为假命题。

【答案】(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．
【解析】解不等式得0≤m<3，∵不等式x2－4x＋m2≤0的解集为∅，∴Δ＝16－4m2<0，∴m<－2或m>2. 因为或为真命题，且为假命题，所以p与q有且仅有一真．当p成立而q不成立时，0≤m≤2. 当p 不成立而q成立时，m<－2或m≥3. 综上所述，m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．
解：化为，∴0≤m<3. ------4分
∵不等式x2－4x＋m2≤0的解集为∅，∴Δ＝16－4m2<0，∴m<－2或m>2. ------8分
∵p或q真，p且q假，∴p与q有且仅有一真．------9分
当p成立而q不成立时，0≤m≤2. ------11分
当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3. ------13分
综上所述，m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．------14分
【考点】复合命题真假
3.复数＝且，对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求
实数的值．
【答案】a＝－，b＝－1.
【解析】先化简＝ (a＋bi)＝2i·i(a＋bi)得－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4，∵复数0，z，对应的点构成正三角形，且对应的点在第一象限，所以对应的点横坐标为，纵坐标为，即
解：z＝ (a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. ------5分
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1. ------10分
又∵Z点在第一象限，∴a＜0，b＜0.由①②得 ------14分
故所求值为a＝－，b＝－1. ------15分
【考点】复数运算
4.（1）用综合法证明：()
（2）用反证法证明：若均为实数，且，，求证：中至
少有一个大于0
【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.
【解析】（1）综合法证明，实质先按分析法分析，再按综合法的写法.
（2）反证法证明,关键在于正确假设:假设都不大于0，则，又
,两者矛盾，故假设错误。

从而中至少有一个大于0.
解：(1) ------1分
------3分
即
------5分
当且仅当时取等号
------7分
(2)证明：假设都不大于0------8分
即，，同时成立
则 11分
矛盾 14分
假设不成立
原命题成立。

15分
【考点】综合法，反证法
5.已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．
【答案】（1），（2）．
【解析】（1）利用导数研究函数单调性，在上是增函数就是≥0在上恒成立，
恒成立问题一般利用变量分离转化为最值问题，即≤在上恒成立．令，则≤
．∵在上是增函数，∴．∴≤1．所以实数的取值范
围为．（2）利用导数研究函数最值，实际还是研究函数单调性. ①若，,
，解得（舍去）．②若，当时，，当时，，，解得（舍去）．③若，则,
，所以．
解：（1）∵，∴． 2分
∵在上是增函数，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立． 4分
令，则≤．
∵在上是增函数，∴．
∴≤1．所以实数的取值范围为． 7分
（2）由（1）得，．
①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．
所以，解得（舍去）． 10分
②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当
时，，所以在上是增函数．
所以，解得（舍去）． 13分
③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．
所以，所以．------16分
【考点】利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值.
6.已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．
【答案】（1）－，（2）{a|a>1或a＝－2－2}
【解析】（1）根据偶函数性质列等量关系：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)
＋kx，即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.（2）先将方程转化为一元二次方程.由得log4(4x＋1)－
x＝log4 (a·2x－a)，即令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去．②有一正一负根，，a>1. ③有两根相等，a
＝－2(＋1)．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－. 6分
(2)依题意令log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，
即 8分
令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．
①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去． 9分
②上式有一正一负根t1，t2，
即，得a>1.
此时，a·2x－a=>0，∴a>1. ------11分
③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a＝±2－2，此时t＝，
若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，
故a＝2(－1)舍去； 13分
若a＝－2(＋1)，则有t＝>0，且a· 2x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)． 15分
综上所述，a的取值范围为{a|a>1或a＝－2－2}． 16分
【考点】偶函数，二次方程根与系数关系。