高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲测评2 新人教A版选修41

第二讲 直线与圆的位置关系
本讲知识结构
本讲测试
1如图2-1，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD⊥AB 于D ，若BC=3，AC=4，则AD∶CD∶BD 等于( )
图2-1
A.4∶6∶3
B.6∶4∶3
C.4∶4∶3
D.16∶12∶9
思路解析:由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC 2
=AD·AB，于是AD=
516.同理，BD=59，CD=5
12，据此即得三条线段的比值.
答案:D
2如图2-2，在半圆O 中，AB 为直径，CD⊥AB，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有( )
图2-2
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
思路解析:由题设，△ABC 是直角三角形，CD⊥AB，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对.又AF 平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似. 答案:C
3如图2-3，在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦,过B 点的切线与AD 的延长线交于C,且AD=DC,则sin∠ACO 等于( ) A.
1010 B.102 C.55 D.4
2
图2-3
思路解析:连结BD、DO，过O作OE⊥AC于E，由AB为直径，有BD⊥AC，由△ABC是直角三角形，AD=CD，得△ABC是等腰直角三角形，然后设AE=x，用x表示出CE，进一步表示出OC，利用三角函数定义即可得到所求的值.
答案:A
4如图2-4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度.如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14，结果精确到0.01米）.
图2-4
思路解析:计算出内外跑道的长度差即可.
答案:3.83
5如图2-5，已知△ABC中，∠ABC的平分线交AC于F，交△ABC的外接圆于E，ED切圆于E，交BC的延长线于D.求证：AE2=AF·DE.
思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形，所以利用平行将AE换成EC，根据△AFE∽△ECD，得到比例式，再换回线段即可.
证明:连结EC.∵四边形ABCE内接于⊙O，
∴∠7=∠3＋∠5.
又∵∠5=∠2，∠2=∠1，
∴∠7=∠3＋∠1.
∵∠4=∠3＋∠1，∴∠7=∠4.
∵DE切⊙O于E，EC为弦，
∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD.
∴
EC
AF
DE AE
,即AE·EC=DE·AF. ∵∠1=∠2，∴
=
.
∴AE=EC.∴AE 2
=DE·AF.
6如图2-6所示，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且=
，
过D 作DE⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.
图2-6
思路分析:要证DE 是⊙O 的切线，根据切线的判定定理，连结OD ，只需证明OD⊥DE 即可，即“作半径，证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法.
证明:连结OD 、AD. ∵
=
，∴∠1=∠2.
∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE∥OD. ∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∴DE 是⊙O 的切线.
7如图2-7，已知在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E.
图2-7
求证：（1）DE⊥AC；
（2）BD 2
=CE·CA.
思路分析:本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线作法是解题关键，即连结圆心和切点的半径，根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线.
证明:(1)连结OD 、AD.
∵DE 是⊙O 的切线，D 为切点，
∴OD⊥DE.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AD⊥BC.∴AB=AC，BD=DC. ∴OD∥AC，DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC，DE⊥AC， ∴△CDE∽△CAD. ∴
CD
CE CA CD =
.∴CD 2
=CE·CA. ∴BD=DC.∴BD 2
=CE·CA.
8如图2-8，已知⊙O 和⊙O′都经过A 、B 两点，AC 是⊙O′的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O
的切线，交⊙O′于点D.求证：AB 2
=BC·BD.
图2-8
思路分析:欲证AB 2
=BC·BD，即要证
AB
BD
BC AB =
，于是只要证△ABD∽△ABC 即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证. 证明:∵AC 是⊙O′的切线，轻轻告诉你 AD 是⊙O 的切线，∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D. ∴△ABD∽△CBA. ∴
AB
BD BC AB =
，即AB 2
=BC·BD. 9如图2-9，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下水面宽度AB 为7.2米，桥的最高点处点C 高出水面2.4米.现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由.
图2-9
思路分析:求出图中NF 的长，只要NF 的长超过2米即可. 解:由垂径定理可知OP=1.5米，OC=1.5+2.4=3.9米,
由OQ NQ
PQ QF =可得25
.225.29.35.122++-=-PQ PQ PQ PQ ，
解得PQ=
85，所以QF=8
7
.因为PQ QF PO NF =,所以NF=2.1＞2, 即这艘船能顺利通过这座拱桥.。