频域仿真建模方法学

第四章 频域仿真建模方法学
我们知道，一个连续系统的模型，除了状态方程外，传递函数也是描述形式之一。

如果直接面向S 域的传递函数G （S ），根据相似原理，得到与它相匹配的Z 域传递函数G (z )，称作频域仿真建模方法。

这里的所谓“匹配”既包括动态性能也包括稳态性能。

也就是说，G (s )的零点、极点要与相应G (z )的零、极点匹配，而且对于同一个输入函数，由G (s )及G (z )所求出的输出函数应具有相同稳态特征，比如说终值相同等。

4.1替换法
从G (s )直接导出与它相匹配的G (z )有两种方法，一种是替换法，即设法找到s 与z 的一个对应公式，然后将G (s )中的s 转换成z ，由此求得G (z )；另一种是4.2节将要介绍的根匹配法，即设法找到一个G (z )，它具有与G (s )相同的零极点。

已知z 与s 的关系为sT
e z =，这是一个超越函数，在进行仿真模型变换时，不能直接用它来替换。

下面介绍s 与z 之间的两种替换方法，即，欧拉替换和双线性替换(图士汀替换)法。

1、欧拉替换
今假定要求出能满足
)(t u dt
dx
=这个微分方程x (t )，根据欧拉积分公式，可得： k k k k k x T x Tu x x +=+=+1 (4.1) 所以可得 ()x
T x z =-1 即： 1-=z T
x
x 因为
s x
x 1
= ，故有： 1
1-=
-z T
s ，即T z s 1-= （4.2）
(4.2)式称为欧拉替换，公式虽然很简单，但是并不实用。

因为若用(4.2)式的关系代入
G (s )，由此获得的G (z )，在T 较大的情况下，将会使G (z )不稳定。

为了说明这一点，让我们
来看一下(4.2)式所表示的S 平面与Z 平面之间的映射关系。

已知，若G (z )的所有极点全部都在Z 平面的单位圆内，则它所表示的系统就是稳定的。

若将Z 平面的单位圆按照(4.2)式映射到S 平面上，设
Ω+=j s σ 根据(4.2)式，有 z=Ts +1 则有： ()222
2
1T T z Ω++=σ (4.3)
对于Z 平面上的单位圆，有12=z
，故
()11222
=+σ+T T Ω
即： 022
222=+σ+σT T T Ω (4.4) 也就是： 022
2
=Ω++T T σσ 222)1
()1(T
T =++
σΩ (4.5) (4.5)式说明，在S 平面上所表示的图形正好是以（－1/T ，0）为圆心，以1/T 为半径的一个圆，如图4.1所示。

这就是说，Z 平面上的单位圆按(4.2)式映射到S 平面上，将是一个以（－1/T ，0）为圆心，以1/T 为半径的圆。

假定G(s)的极点如图(4.1)所示（图中的×），显然，该系统是稳定
的，其中有三个极点在S 左半平面的单位圆内，而有两个虽在S 左半平面，但位于单位圆外。

若用(4.2)式来替换G (s )中的s ，所得的G (z )将有三个点在单位圆内，而两个在单位圆外，因此G (z )是不稳定的。

一个原来稳定的系统G (s )，通过(4.2)式的替换得到的仿真模型G (z )却是不稳定的。

显然，这种仿真模型是不能采用的。

由图4.1可知，为使G (z )稳定，要求加大1/T ，也即减少T 。

为保证在G （S ）稳定的条件下替换得到的G （Z ）也能稳定，只有当T->0时才有可能，因此，这种替换具有很大的局限性。

2、双线性替换
比较简单而且实用的公式是双线性替换公式（或称“图士汀”公式），它可以从梯形积分公式中直接推导出来。

按这种替换公式进行替换，可以保证G (z )的稳定性，而且，具有一定的仿真精度。

已知梯形积分公式为：
()112
++++=k k k k x x T
x x 即： ()()x
z T
x z 12
1+=- 则有： 1
1
21
-+=
-z z T s
即： 1
1
2+-=
z z T s （4.6）
(4.6)式称为双线性替换公式，也可写成为 2
/12
/1sT sT z -+=
图4.1 S 域到Z 域的映射关系
2
22
22221221⎪
⎭⎫ ⎝⎛Ω+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T T T T z σσ (4.7)
由（4.7）式可知，若σ<0，则z <1；若σ＝0，则z ＝1，而若σ>0，则z >1。

这就是说，若采用(4.6)式的替换公式，Z 平面上的单位圆，映射到S 平面上将是整个左半平面，其逆也真，如图4.2所示。

因此，利用(4.6)式的替换公式，如果原来G (s )稳定，那么G (z )也是稳定的。

例如，假定传递函数
()()()()
s U s Y s s
s G =
+=
2
1 (4.8) 则根据(4.6)式进行替换，得：
()()
()()[]
22
22212)11
1
2(112T z T z T z z T z z T z G --+-=++-+-=＝()()222)]22([122T T z z T T +---+ (4.9) 将(4.9)式写成差分方程式，得：
()()22
22
12222222--=-++⎪⎭
⎫
⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k k k u u T T y T T y T T y (4.10) 为了说明利用双线性替换公式（4.6）式所得的仿真模型具有一定的精度，我们用频率分析法来分析一下G(s)与G(z)两者之间的误差。

根据(4.8)式的G(s)，用ωj s =代入，可得：
()()(
)()2
23
22
121ωωωωωω
ω+-+=
+=
j j j j G （4.11）
它的幅度与相频的具体数据如表4.1所示。

对于(4.9)式所示的G (z )，同样可以用
T j e z ω=代入，可得：
()(
)
()()
]
22[122
2T T e
e T j G jwT
T j --+-=ωω （4.12）
用T j T e
T
j ωωωsin cos +=代入，同样可以求出它的幅频特性与相频特性。

当T ＝1s
时，它们的具体数值也列于表4.1中。

比较表4.1中的两组数据可知：当T ＝1s 时，由G (s )与G (z )所获得的频率特性在1=ω rad/s 之内二者是十分接近的 (幅频的误差仅1.5%，相频的误差在5°之内)。

这说明，用双
图4.2 线性化替换的映射关系
线性替换公式所获得的仿真模型不仅稳定，而且有一定的仿真精度。

表4.1 用双线性替换法所获得的仿真模型与实际连续系统的比较
双线性替换不仅可以获得精度较高的仿真模型，而且能利用计算机程序来实现这种替换。

下面来介绍一种程序替换算法。

设线性系统的传递函数为
()()()n
1n 1n 1n 0n
1n 1n 1n 0b s b s b s b a s a s a s a s E s U s G ++++++++=
=---- （4.13） 在双线性替换下得到的Z 传递函数为：
()()()n
n n n n
n n n e z e z e z e d z d z d z d z E z U z G ++++++++=
=----111011100 (4.14) 现需要由a i ，b i (i =0，1，…，n)确定d i ，e i (i =0，1，…，n)，若直接将双线性替换公式代入()s G 0，可得：
()n
n n n n n n n n n n n b z z T b z z T b z z T b a z z T a z z T a z z T a z G +⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=------11211211211211211211
1101
1
1100 将其分子、分母同乘以()n
z 1+，可得：
()()()()()
()()()()n
n n n n n
n n n n n n z b z z T b z T b z a z z T a z T a z G 11121211121211
1011
100++++-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---- =()()z B z A 将()z A ，()z B 写成向量形式
()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n T T T T a a a a z A n n n 20212021
011
,,,, ()()()()⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-n
n n z z z z 11111
()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n T T T T b b b b z B n n n 2022021
1
0011
,,,, ()()()()⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-n
n n z z z z 11111 由于()n
1z +，()
()1z 1z 1
n -+－，…，()n 1z －均为n 阶多项式，可得到：
()()()()()()⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++---1z z z x x x x x x x x x x x x 1z 1z 1z 1z 1z 1z 1n n nn 1n 0n in 1i 0i n 11110n 00100
n
i i n 1n n
矩阵{}
ij x 为（n +1）×(n +1)阶；其中第一行诸元素为()n
1z +的展开式的各系数，第一列诸元素为1，阶次n 确定后，这些元素均为已知，并可以证明，其余n ×n 个元素可由下式求得：
1,11,,1,------=j i j i j i j i x x x x i ，j =1，2,…，n (4.15)
从而可得：
()()01
1a a a a z A n n
-= diag []j i n
x T T ,221⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ [
]
T
n n z z z 11 -
()()01
1b b b b z B n n
-= diag []j i n x T T ,221⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ [
]
T
n n z z z 1
1 -
这样就得到了()z G 0分子分母的各系数的表达式：
()()H a a a a d d d n n n *=-01
110 (4.16)
()()H b b b b e e e n n
n *=-01110
(4.17)
其中 []
j i n
x T T diag H ,221⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫
⎝⎛= (4.18) 例如，若 ()2
34321
23232
45623450++++++++++=s s s s s s s s s s s G
当取T =1时，其Z 传递函数()z G 0很易于由计算机程序计算得到为：
()52
2046001112125266820863
33450510044740215323456234560+-+----+-++-=z z z z z z z z z z z z z G
4.2 根匹配法
假定被仿真的连续系统的传递函数如(4.19)式所示：
()()()()()()()
n m p s p s p s q s q s q s K s G ------=
2121 (n ≥m ) (4.19) 众所周知，一个连续系统动态特性决定于描述该系统的传递函数()s G ，具体地说，决定于()s G 的增益及零极点分布，即(4.19)式中的n m p p q q k ,,,,,,11 。

为了对该系统进
行仿真，应设法找到一个()z G ，作为频域仿真建模方法之一的“根匹配法”的基本做法就是由sT
e z =的转换关系，在Z 平面上也一一对应地确定出零、极点的位置，然后根据其它特点(比如，终值点)来确定K z ，则可得如(4.20)式所示的脉冲传递函数()z G ：
()(
)(
)()
(
)(
)(
)
'
'2'1'
'2'1n
m
z p z p z p z q z q z q z K z G ------= （4.20） 若()s G 是稳定的，即它的全部极点都位于S 平面的左半平面上，也就是说
n p p p ,,,21 都具有负实部，那么由(4.20)所得的()z G 也必定稳定。

这是因为，Z 平面上
的极点T p T
p T p n e e e ,,,21 都在单位圆内。

因此，当采用根匹配法建模时，只要原系统是稳
定的，则不论T 取多大，都能保证仿真模型也是稳定的。

根匹配法的一般步骤如下： （1） 由()s G 计算出,,,,1m q q K n p p ,,1 。

（2） 把S 平面上的零极点映射到Z 平面上，即：T
p i i e p ='，T
q i i e
q ='
（3） 初步构造一个具有上述零极点的()z G 。

（4） 在典型输入下，根据终值定理求出连续系统()s G 的终值及离散系统G （Z ）的终值。

（5） 根据终值相等的原则确定z K 。

（6） 确定Z 平面上的附加零点。

因为m ≤n ，故在S 平面上有n －m 个零点在负无穷远处，不妨
假设均在－∞处，由此可见，在Z 平面上尚有n －m 个零点在0=-∞T
e 处，即尚有n －m
个零点在Z 平面的原点。

下面通过一个例子，根匹配建模方法作进一步分析。

设 ()1
22
++=s s s
s G 试利用根匹配法
（1）()()
2
1+=s s
s G ，故11-=p ,12-=p , 01=q ，n =2，m =1
（2）T
e
p -='
1，T
e
p -='
2，1'
=q
（3）()()
()
2
1T z e z z K z G ---=
（4）加斜坡函数u (t )=t ，()s G 具有非零且有限的稳态值： ()()()[]s U s sG y s 0
lim →=∞()
111lim 22
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+=→s s s
s
s 由()z G 可得： ()()()⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=∞→z U z G z z y z 11
lim
2
221
)1()1()()1(1lim
T z z T z e T
K z T e z z K z z -=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----=
→ （5）故： T
e K T z 2
)1(-=
（6）附加一个零点，为简单起见，令0'
2=q ，即零点配在Z 平面的原点。

故：
()()()
()
2
2
11T T e z z z T
e z G -----=
附加这个零点不影响z K 。

G （S ）的幅频特性与相频特性如表2.4中第一行所示。

若选T ＝1，则z K ＝0.4，G （Z ）
的幅频特性与相频特性如表4.2中第二行所示。

比较表2.4中G （S ）与零点配在原点的G （Z 〕的特性可知，G （Z 〕在相位上领前较大，如1=s ω时，G （S ）相位为0°，但G （Z 〕却为19°左右。

另一种方法是将(n －m )个零点配置在z =-1处。

即在()z G 的分子上乘上()
m
n z -+1。

这样
就可得：
()()()
()
(
)()
2
22
1
11T z T z e z z K e z z z K z G ----=
-+-=
用前述相同的方法可得： ()T
e K T z
212
--=
若T ＝0，则z K ＝0.2，该G （Z ）的幅频特性与相频特性也列于表4.2中。

由表4.2可知，此时相位有一些滞后，如1=s ω时，G （S ）相位应为0°，但G （Z ）却为－6°左右。

为了使相位既不领先也不滞后，可以将一个附加零点设置在(0，－1)之间，即在()
z G 的分子上乘上m
n z -δ+)
(，其中δ为(0，1)之间的一个数。

即：
()()()
()
2
1T z e z z z K z G --+-=
δ
现在有两个待定常数：z K 与δ，它可以通过频率特性来确定。

即先由()s G 求出
()ωj G ，当ω＝1时，可得：幅频()2
1=
ωA ，相频()0
0=ωϕ。

同时，由()z G 也可以求出()ωj G 。

对一定的采样间隔T ，()ωj G 也仅仅是ω的函数。

为了使两者匹配，应使ω＝1，()ωA 也为1/2，()ωϕ也为0°，由此可以定出z K 及δ。

设例中z K ＝0.2828，δ＝0.5272，由此得： ()()()()
2
3679.05272.012828
.0-+-=
z z z z G
它的频率特性也列在表4.2中。

从表4.2中可知不仅幅频误差很小，相频误差也很小。

表4.2 几种不同的根匹配法的比较
4.3 频域离散相似法
将离散相似法用于传递函数以得到系统离散传递函数（或脉冲传递函数），称作频域离散相似方法。

4.3.1
频域离散相似法基本原理
假定有一个连续系统如图4.3(a)所示。

在连续的输入信号u(t)后面再加一个以T 为周期的采样开关，得一离散信号u*(t )，然后再加一个信号重构器，它的传递函数为G k (s)，使离
散信号u*(t )再恢复为连续信号；最后将)(~t u
加到原来的连续系统上，其输出为)(~t y 。

上述过程如图4.3(b)所示。

显然，只要)(~t u
能足够精确地表示u(t)，那么)(~t y 也就能足够精 确地表示y (t ),故图4.3(b)所示的离散模型也就能足够精确地表示图4.3(a)所示的连续模
型。

由Z 变换的理论可知，从u*(t )到)(*~
t y 之间离散传递函数G (z )可以用下式来表示： {})()()(s G s G Z z G h = (4.21)
其中Z 表示对括号中的传递函数求Z 变换。

比如，若：
)
(1
)()(a s s s G s G h +=
则 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=a s s Z z G 1(
)
(
)(
)
1
11
1111--------=z
e z z e a aT aT 为了便于读者参考，表4.2列出了常用的Z 变换表。

表4.2 Z 变换表
离散相似方法具有物理意义明确；程序简单；计算量小的特点，是一种恒稳的计算方法。

由于离散相似模型中引入了虚拟采样开关和虚拟信号重构器，所以连续信号离散化为离散信，号然后经重构器恢复成连续信号。

从理论上讲，信号重构器应能无失真地将离散信号重新恢复该连续信号，实际上这是非常困难的。

如何保证离散模型达到规定精度要求的相似性，是这类方法的基本问题。

4.3.2 信号重构器的频谱特性分析
本节我们将从频域角度讨论对虚拟采样器的采样周期T 及信号重构器（也称保持器）的要求。

1. 采样周期T
假定有一连续信号()t e ，若将它通过一只采样周期为T 的采样开关，得离散()t e *。

已
知：
()()t jn n s e t e T t e ω∑∞
-∞
=*
=1 (4.22)
其中，T s /2πω=，称为采样频率。

对（4.24）式两边取拉氏变换，可得：
()()[]
∑∞-∞
=*
=n t
jn s e t e L T s E ω1
根据拉氏变换的平移原理，上式可变为：
()[]∑∞
-∞=*
-=n s jn s E T s E ω1 用ωj 代替s ，可得：
()[]∑∞
-∞
=*
-=n s n j E T j E )(1ωωω (4.23)
若)(ωj E 为()t e 之频谱，如图4.5(a)所示，则离散信号()t e *的频谱()ωj E *为一周期性频 谱，其周期为s ω，如图4.5(b)所示。

由图4.5可知，m s ωω≥2/，那么离散信号的频谱中的基本部分（n =0）将与原连续信号的频谱相同（只是幅度上差1/T ），也即若m s ωω≥2/，离散信号将全部包含原连续信 号之信息。

若m s ωω<2/，那么n =0的部分将和n =1及n =-1之部分重叠，因而使离散频谱 的基本部分不再与原连续信号的频谱相同，这种现象称为混迭。

此时，离散信号将不再包含原连续信号的全部信息。

总之，为使离散相似模型与连续模型相似，首先要求采样开关的频率T s /2πω=大于信号最大频率m ω之两倍。

换句话说，采样周期T 不能过大。

这就是著名的香农采样定理：对于一个具有有限频谱的连续信号（-m m ωωω<<）进行 采样，只要选择m s ωω≥2/通过理想的低通滤波器，就能把原来信号清楚地提取出来， 其中m ω是信号频谱的最大频率，T s /2πω=，T 是采样周期。

采样定理规定的采样频率
m s ωω≥2/这个条件，也就是相邻两频谱互不重叠的条件。

2. 理想的信号重构器与实际的信号重构器
根据图4.5，若
m s
ωω≥2
，则离散信号的频谱没有重叠现象，要求用一个信号重构器完
全恢复连续信号，故要求该信号重构器的频率特性如图4.6所示（图中只画出了幅频，相频要求为零度），即要求它有一个锐截止的频率特性。

显然，这种理想的信号重构器是无法实现的，实际上能实现的只是各种近似于图4.6特
图4.5 连续信号与离散信号的频谱
性的信号重构器。

下面介绍几种实际的信号重构器。

1) 零阶信号重构器
它是将离散信号在两个采样点之间保持不变，因而使离散信号恢复为一个阶梯状的连 续信号。

如图4.7所示。

这个零阶信号重构器的脉冲过渡函数如图4.8所示，故可计算出它 的传递函数为(4.24)式：
()()[]s
e t g L s G Ts
h h --==1 (4.24)
根据(4.24)式，可画出它的频率特性为图4.9。

由图4.9可知，它与理想的信号重构器相比（见图4.6），在幅频上略有误差，而相频上则略有所延迟。

由图4.7也可以看出,将 ()t f h 光
图4.7 通过零阶信号重构器后的信号
图4.9
零阶信号重构器的频谱特性
t
图4.8 零阶信号重构器
的脉冲过渡函数
滑一下，它大约比()t f 延迟T /2。

需要指出的是，若输入信号为阶跃信号，那么零阶信号重构器能无失真地加以恢复。

2) 一阶信号重构器
一阶信号重构器是以当前时刻和前一时刻两个采样值为基础进行外推，也即要求()t f h 满足(4.25)式：
()()()()[]()
()T
k t kT kT t T
T k f kT f kT f t f h 11+≤≤---+= (4.25) 它的脉冲过渡函数及频率特性如图4.10(a)及4.10(b)所示，传递函数为(4.26)式。

()()[]()2
11⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+==-Ts
e Ts T t g L s G Ts
h h (4.26) 由图4.10(b)可知，它的幅度也有误差，相频也有延迟。

这种信号重构器只能无失真地恢
复斜坡信号。

对于一般信号，它恢复的情况如图4.11所示。

3) 三角信号重构器
图4.10(b) 一阶信号重构器频率特性
图4.11 一阶信号重构器恢复特性
上述两种信号重构器对一般信号都有较大的误差，为了减少误差，可以采用三角形信号重构器，它满足(4.27)式：
()()()[]()
()T
k t kT T
kT f T k f kT f t f h 11+≤≤-++= (4.27) 它的脉冲过渡函数如图4.12所示，由于其形状为三角形，因而得此名。

它的传递函数 为：
()()[]t g L s G h h =2
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
-Ts
e T e sT
Ts
(4.28）
它的频率特性如图 4.13所示。

由于它相对横轴左右对称，故只画了右半面；另外，由于相
频保持为零度，故图中未画出来。

由图4.13可知，三角形信号重构器高频部分失真很小，且无相位滞后，所以可以获得比较满意 的结果，它恢复的
()t f h 如图4.14 所示。

虽然三角形信号重构器有较好的特性，但是这种信号重构器要求在计算()T k 1+的
()t f h 时已知()[]T k f 1+，有时
这是不可能的，所以还
有一种滞后一拍的三角形信号重构器可以被采用，它满足以下式子：
()()[]()()[]()
()T
1k t kT kT t T
T 1k f kT f T 1k f t f h +≤≤---+-= (4.29) 它的()t g h 及()ωj G h 如图4.15所示。

它的数学表达式为：
()2
2
1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-Ts e s G sT
h (4.30)
图 4.13三角形信号重构器频率特性
图4.14三角形信号重构器恢复特性
由以上分析可见，这三种信号重构器都不是理想的低通滤波器，即幅度随频率提高而减少，截止频率是n 个，即除了允许主要频率分量通过外，还允许高频频谱分量通过。

因 此，被重构的信号会失真。

与其它高阶信号重构器相比较，零阶信号重构器简单且容易实现具有较小相位滞后，所以在闭环系统中经常被采用。

4.3.3
可调整积分法
由上一节的讨论我们知道频域离散相似仿真方法是在连续系统中加上虚拟采样开关和信号重构器。

若选择m s ωω2≥，则离散信号包含原连续信号的全部信息，因而有可能重构连续信 号。

然而，由于实际信号往往具有较宽的频谱，采样频率难以完全满足采样定理的要求，又加上实际信号重构器不可能无失真地重构信号，因此 必 然 引入仿真误差，具体体现在信号的相位延迟和幅度衰减。

为了减少离散相似模型的误差，有时需要校正，也就是在模型中加入一个补偿器，适当调整其相位、幅度，以便尽可能接近原连续信号。

补偿方法有两种：
1) 连续补偿
在信号重构器后加一个连续型补偿器，如图4.16所示。

连续型补偿器可以采用如下型式： G 补(s)=λ
e γ
T s
（4.31）
其中λ称为幅度补偿因子，用来进行幅度上的 补偿，γ则用来进行相位 上的补偿，称为相位补偿因子。

适当调整λ和γ使离散模型尽可能接近原型。

（4.31）式是超越函数，为方便实际使用，往往将其用有理式近似。

常用的连续补偿器形式如下表所示。

常用的三种连续型补偿器的形式
图4.15 滞后一拍的三角信号重构器
2) 离散补偿
在信号重构器前加一个离散型补偿器，如图4.17所示。

这一般用于实际的采样控制系统中，因为重构器前的采样开关是实际的，譬如说是计算机，这样补偿器往往就放在计算机里，在逻辑上相当于放在重构器的前面。

下面通过一个例子来说明如何选择补偿器的参数。

已知原系统的框图为图4.18(a)，它的等价离散系统如图4.18(b)所示。

图中，对输入信号u 及反馈信号均进行了离散化，然后加零阶信号重构器。

为补偿信号重构器的误差，加一个连续型补偿器：TS
e
γγ。

至于反馈回路中的TS
e -，是考虑到在计算反馈回路
之前，必须先计算正向回路，因此将反馈回路延迟了一拍。

不难看出，原系统模型为：
()()K S S u S x +=1
（4.32）
若选择单零点补偿方式，则 ()TS e
T S
λλλλ+≈1
对图4.19(b)进行Z 变换，可得：
()()()[]()()
γλγλγγλ-+-+-+=1112
T K z KT z z Tz z u z x
(4.33)
它的特征根为：
()()
[]
2
1
21
412
121γλγλγλ---±-=KT KT KT Z 极点
为了使(b)与(a)等价，首先系统阶次要相同，选γ与λ使Z 平面上的两个Z 极点变成一个，同
图4.18(a)补偿器参数选择
时使它与原连续系统的极点K S -=极点相匹配。

由(4.33)式可知，可选择γ＝1，有：
()()()
1-+=
T K z Tz
z U z X λλ (4.34) 此时它只有一个极点： T K Z λ-=1极点，为使它与K S -=极点相匹配，即要求： Z 极点=e -KT T K λ-=1
由此可得：KT e KT --=1λ，将γ＝1及KT
e
KT
--=1λ代入(4.34)式则可得：
()()()()
KT
KT
e
z K e z z U z X ----=1 (4.35) 一般来说，在确定λ、γ 后，应按照根匹配法的要求，对整个系统的稳态增益系数进行调整，即选择一作用函数，使离散系统与原连续系统具有相同的有限但不为零的稳态值。

原系统为“0”型，可选单位阶跃作用函数，其稳态增益为：
x s s s s k k ∞
→+==lim 0
111
(4.36) 则离散化后的系统稳态增益为：
x z k z z z k e z e z k kT
kT
∞→---=-=--lim ()1
11
11
1 (4.37)
其中k z 称为稳态增益调整因子。

本系统恰好为1。

它所对应的差分方程为：
()()()
()111
1+-+
=+--k u e K
k x e
k x KT KT
(4.38) 这就是经过校正后的离散模型。

显然，选择不同的λ和γ可以得到不同精度的差分模型，这种方法也称“可调整积分法”。

习 题
1. 试求
1
+s s
的差分方程（采用虚拟采样开关及零阶保持器）。

2. 用根匹配法器求G(s)＝)
2)(1(1
++s s 的差分模型（加单位阶跃输入）。

3. 试用C 语言编制一段程序实现双线性替换法。

4. 试比较Ｇ(s)＝
s
K
在ｕ(t)＝Rt 的作用下（R 为常数），下列方法所得差分模型： a. 欧拉法 b. 二阶龙格－库塔法
c. 一阶保持器加虚拟采样开关
d. 三角保持器加虚拟采样开关 5. 用s ＝
Tz
z 1
-的关系对G(s)进行替换，试问 (1) 若G(s)是稳定的，G(z)也是稳定的吗？
(2) 若G(z)是稳定的，G(s)也一定稳定吗？ 6. 确定下列两个模型等价的：
参考文献
[1] 熊光楞等编著，连续系统仿真与离散事件系统仿真。

北京：清华大学出版社，1991 [2] 刘植桢等编著，计算机控制，北京：清华大学出版社，1981
[3] “The SCS Continuous System Simulation Language (CSSL)” ，Simulation ，1968 [4] [美] J.M.史密斯著，“数字模型与数字仿真”，原子能出版社，1982
图4.16 习题6系统模型和离散化后的等价模型
模型1:
)(s x
模型2:。