数列求和经典题型总结

三、数列求和 数列求和的方法.
（1）公式法：等差数列的前n 项求和公式
n S =__________________=_______________________.
等
比
数
列
的
前
n
项
和
求
和
公
式
⎩⎨
⎧≠===)1(___________________)1(__________q q S n
（2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.
（4）1
n n n
C a b =
⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

适用于形如()()n f a n
n 1-=的类型。

举例如下：
()()()
5050
12979899100129798991002
22222=++⋅⋅⋅++++=-+⋅⋅⋅+-+-= n S
常见的裂项公式： （
1
）
111)1(1+-=+n n n n ;(2)=+-)12)(12(1n n ____________________;(3)1
1
++n n =_____
_____________
题型一 数列求解通项公式
1. 若数列{a n }的前n 项的和1232
+-=n n S n ，则{a n }的通项公式是
n a =_________________。

2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+⋅⋅⋅++n n a a a ，则2
2221n a a a +⋅⋅⋅++等
于_____________。

3. 数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列1
{
}1
n a +是等差数列，则11a =
________________。

4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且
3
1
111+=+n n a a ，则=10a ____________。

5. 已知数列{a n }满足)2(1
1≥-=
-n a n
n a n n ，则n a =_____________.。

6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。

7. 若数列{a n }的前n 项的和,3
1
32+=
n n a S 则{a n }的通项公式是n a =_________________。

8. 已知数列{a n }的前n 项的和为n S ，且12n -=n a S ，则5a =________________。

9. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ⋅S n －1 (n ≥2)，则S n ＝ ．
10. 数列{} n a 满足：112,43n n a a a +==-，则10a 等于________________。

11. 数数列{} n a 满足：112,4+3n
n n a a a +==，则10a 等于________________。

12. 数列{} n a 满足：n+1
112,324n n a a a +==-⋅，则10a 等于________________。

13. 数列{} n a 满足：112,52n n a a a +==-，则10a 等于________________。

14. 数列{} n a 满足：n
112,3+3n n a a a +==，则10a 等于________________。

15. 数列{} n a 满足：n+1
112,434n n a a a +==-⋅，则10a 等于________________。

16. 数列20,2,,2101+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+a k a a k 共有10项，且其和为240，则
1021a a a +⋅⋅⋅++=_____________.。

17. 已知数列{a n }的通项公式为()
()3411
-⋅-=-n a n n ，则它的前100项之和
100S =____________。

18. 数列()11-=
n n a n ，其前n 项之和为10
9
，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）
x+y+n=0，在y 轴上的截距为________________。

题型二 分组转化求和
1. 已知数列{a n }是⋅⋅⋅-++++
,1212,1-29,1-26,1-234
3
2
， （1）写出数列{a n }的通项公式； （2）求其前n 项和n S 。

2. 求和⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+
+=-1214
1
211412112111n n S 。

3. 数列{a n }的前n 项的和为n S ，t a =1，点()1,+n n a S 在直线13+=x y 上， （1）当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；
（2）在（1）的结论下，设n n n n n n T b a c a b ,,log 14+==+是数列{}n c 的前n 项和，求n T 。

题型三 错位相减法求和
1. 已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()()+-∈≠-=N n q q a b n n n ,041
，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

2. 已知数列{a n }的首项为411=
a ，公比为4
1
=q 的等比数列，设n n a b 4
1log 32=+()+∈N n ，数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=
（1）数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S 。

3. 在数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足.212
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=n n n S a S （1）求n S 的表达式；
（2）设1
2+=n S b n
n ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

4. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()+∈+=N n a a S n n n ,2
1。

（1）求证：数列{a n }是等差数列；
（2）设n n n
n b b b T S b +⋅⋅⋅++==
21,21
，求n T 。

题型四 裂项求和
1. 设数列{a n }满足111
11,011=---=+n
n a a a
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设n
a b n n 1
1+-=
，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明n S <1.
2. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 109,1011+==+n n S a a ，
（1）求证：}{lg n a 是等差数列；（2）设n T 是数列})
a )(lg (lga 1
{
1n n +的前n 项和，求n T ；
（3）求使)5(4
12
n m m T +>对所有的正整数n 恒成立的整数m 的取值集合。

3. 若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列。

（1）求等比数列421,,S S S 的公比； （2）若42=S ，求数列{}n a 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设n n n n T a a b ,31+=
是等差数列{}n b 的前n 项和，求使得20
m
T n <对所有的正整数n 都成立的最小正整数m 。

4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n 2n +1，n N*．
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求{a n }的前n 项和为S n
（3）设b n = log 2
S n n ，n T 是数列⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧+11
n n
b
b 的前n 项和，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n >k
12恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明
理由．。