江苏省泰兴市第三高级中学高三数学上学期期中调研测试

泰兴市第三高级中学2013-2014学年度期中调研测试 高三数学（理）试题 2013.10.29
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上） 1、已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且5)21(=+z i ，则=+y x ▲ 2、已知集合{
}*
523M x x N
=--∈，则M 的所有非空真子集的个数是 ▲
3、已知数列}{n a 是等差数列，且1713a a a π++=-，则7sin a ＝ ▲
4、给出下列几个命题：①||||a b =r r
是a b =r r 的必要不充分条件；②若A 、B 、C 、D 是不共线
的四点，则AB DC =u u u r u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b a c ⋅=⋅r r r r 则b c
=r r
④a b =r r 的充要条件是//||||a b
a b ⎧⎪⎨=⎪⎩r r
r r ；⑤若
,i j r r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，则,a b r r 的夹角为锐角的充要条件是1,2λ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭
其中，正确命题的序号是 ▲
5、设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x
f x =+，若()3f a =，则实数
a 的值为 ▲
6、已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .
7、若命题“x R ∃∈，使2
10x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲
8、方程lg(2)1x x +=有 ▲ 个不同的实数根
9、已知)2sin ,2(),sin ,1(2
x x ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅r r r r
，
则tan x = ▲
10、已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有
()()02
121>--x x x f x f ，且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2<x f
的解集为 ▲
11、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , =,
12AE EB =u u u r u u u r , 若1
2
BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则⋅= ▲
12、将函数()2sin()3
f x x π
ω=-
（0ω>）
的图象向左平移3π
ω
个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4
π
上为增函数，则ω的最大值为 ▲
13、设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数．．．
，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2013a = ▲
14、已知函数ln ,
1()1(2)(),1x x f x x x a x e
≥⎧⎪
=⎨+-<⎪⎩（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在
点(,1)A e 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ▲
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
15.（本小题满分14分）
已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =r
（1
）若||c =r
//c a r r ，求：c r 的坐标
（2
）若||b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角
16. （本小题满分14分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=2
22.
（Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -=
+⋅，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =u r ，(3,cos 2)n A =r
，试求⋅的最大值.
x
x
θ
Q P N M
B A
O
17、（本小题满分15分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+．
（1）求角C 的大小；
（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．
18、（本小题满分15分）
如图,
、圆心角为60°的扇形的AB 弧上任取一点P , 作扇形的内接矩形PNMQ ,使点Q 在OA 上,点,M N 在OB 上, 设矩形PNMQ 的面积为y .
(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：
① 设PN x =,将y 表示成x 的函数关系式；
② 设POB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式.
(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求y 的最大值.
19、（本小题满分16分）
已知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数). （1）求证：函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点； （2）设函数在3
x π=处有极值，
①对于一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，不等式()sin cos f x x x >+恒成立，求b 的取值范围； ②若函数f (x )在区间()
121ππ33m m --，上是单调增函数，求实数m 的取值范围.
20、（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{}n a 前
n 项和为n S ，且满足34354,2S a a a a =+=+
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前2k 项和2k S ；
（3）在数列{}n a 中，是否存在连续的三项12,,m m m a a a ++，按原来的顺序成等差数列？若存
在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由
泰兴市第三高级中学2013-2014学年度期中调研测试
高三数学（理）试题参考答案 2013.10.29
1、1-；
2、2；
3、
4、(1),(2)；
5、1a =±；
6、2-；
7、22a a ><-或
8、2；9、1；10、(0,4)；11、43-
；12、2；13、4026；14、2(,3(3)3
-∞---+U
15、解：设(,)c x y =r 由
//||c a c =r r r 及 22
12022
,4420
y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或 所以，(2,4)(2,4)c c ==--r r
或------------------------------------7分
（2）∵2a b +r r 与2a b -r r 垂直，∴(2)(2)0a b a b +⋅-=r r r r
即222320a a b b +⋅-=r r r r ；∴52
a b ⋅=-r r
∴cos 1||||
a b
a b θ⋅==-r r r r ，∵[0,]θπ∈∴θπ=--------------14分
16、解：∵ab b a c -+=2
2
2
；∴1cos 2C =
，∵(0,)C π∈∴3
C π=
（1）∵tan tan tan tan )3
A B A B -=
+⋅
∴tan()3A B -=
∵22(),33A B ππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
∴56
6A B A B π
π-=-=-
或，又23
A B π
+= ∴4
B π
=
或34B π=
（舍去）∴4
B π
=------------7分 （2）2
3sin cos 23sin 12sin m n A A A A ⋅=+=+-u r r 令2sin 03
A t A π=<<Q ∴01t <≤
2
23172312()48m n t t t ⋅=-++=--+u r r ∴34t =时，m n ⋅u r r 的最大值为178
--------14分
17、解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．
即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分
(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333
A B α<<<<知-．
因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22
A B a b A B --+=+=+
=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦
ααα． …………………12分
ππ2π2π,2,3333
αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．…………15分
18、解：(Ⅰ) ① 因为QM PN x ==,所以
0tan 60QM OM =
=,
又ON =所以
MN ON OM =-=……2分
故y MN PN x =⋅=(3
02
x <<)…………………4分
② 当POB θ∠=时, QM PN θ==,则0
sin tan 60
QM
OM θ==,又
ON θ=,所以sin MN ON OM θθ=-=-…6分
故
23sin cos y MN PN θθθ
=⋅=(
03
π
θ<<
)…8分
(Ⅱ)由②得3sin 2cos 2)2y θθ=-)6πθ+…………12分
故当6
π
θ=时,y 取得最大值为………………………15分
19、（1）证明：(0)0f b =>Q ，()sin()[sin()1]0f a b a a b a b b a a b +=+--+=+-≤
(0)()0f f a b ∴+≤
所以，函数()f x 在(]0,a b +内至少有一个零点-------------4分
（2）()cos 1f x a x '=-由已知得：()03
f π
'=所以a =2，
所以f （x ）=2sin x ﹣
x +b---------------------------------------------------------5分 ①不等式()sin cos f x x x >+恒成立可化为：sinx ﹣cosx ﹣x ＞﹣b 记函数g （x ）=sinx ﹣cosx ﹣x ，[0,
]2
x π
∈
3
()cos sin 1)1,[0,][,sin()1
424444g x x x x x x x ππππππ
'=+-=+-∈+∈≤+≤
1)4x π≤+≤()0g x '>在[0,]2
π
恒成立--------------------8分
函数()g x 在[0,
]2
π上是增函数，最小值为g （0）=﹣1
所以b ＞1， 所以b 的取值范围是（1，+∞）-------------------------------------10
分 ②由121(
,)33m m ππ--得：121
33
m m ππ--<，所以m ＞0------------------11分 令f′（x ）=2cosx ﹣1＞0，可得22,3
3
k x k k Z π
π
ππ-<<+
∈-----------------13分
∵函数f （x ）在区间（
121
,33
m m ππ--）上是单调增函数， ∴121223333
m m k k ππ
ππππ--≥-≤+且-------------------------------------14分
∴6k≤m≤3k+1
∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0＜m≤1---------------------------16分
20、解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，
则123451,2,1,2,12a a a d a q a d ===+==+
34,12(1)2,42S a d q d q =∴++=+=Q 即
又3542a a a +=+，(1)(12)22,32d d q d q ++=+=即，解得2,3d q ==
∴对于k N *
∈，有12121(1)221,23k k k a k k a --=+-⋅=-=⋅
故12,21,23,2n
n n n k a k N n k
*-=-⎧⎪
=∈⎨⎪⋅=⎩----------------------5分 （2）22(121)2(13)13213
k k k
k k S k +--=+=-+------------------8分
（3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面
说明理由
-----------------------------------------------10分 若2m k a a =，则由212m m m a a a +++=，得1
23232(21)k k k -⋅+⋅=+
化简得1
43
21k k -⋅=+，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立-----12分
若21m k a a -=，则由212m m m a a a +++=，得1
(21)(21)223k k k --++=⋅⋅
化
简
得
13k k -=------------------------------------------------------------14分
令1,()3k k k T k N *
-=
∈，则111120333
k k k k k
k k k T T +-+--=-=< 因此，1231T T T =>>>L ，故只有11T =，此时1,2111k m ==⨯-=
综上，在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此
时正整数m 的值
为
1-----------------------------------------------------------16分。