线性代数(同济大学第5版)习题解答——第1章

线性代数（同济大学第5版）习题解答——第一章
1－1 利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）2
1
141183---； （2）a b
c
b c a c a b
（3）22
21
11
a b c a b c ； （4）x
y x y y x y x x y
x
y
+++.
解：
（1）
2
01
1412(4)3
0(1)(1)1180132(1)81(4)(1)
1
8
3
2481644
--=????+创-创-????-=-++-=-
（2）3333a b
c
b c a acb bac cba bbb aaa ccc abc a b c c a b =++---=---
（3）22222222
2
1
11
()()()a
b c bc ca ab ac ba cb a b b c c a a b c =++---=---
（4）
33332233333()()()()3()332()
x y x y
y x y x x x y y yx x y x y yx y x y x x y x y
xy x y y x y y x x y x x y ++=+++++--+-+=+------=-+
1－2 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n-1) 2 4 … (2n)； （6）1 3 … (2n-1) (2n) (2n-2) … 2。

解：（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2； （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1； （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3；
（5）逆序数为
(1)
2
n n -： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … (2n-1) 2，(2n-1) 4，(2n-1) 6，…，(2n-1) (2n-2) (n-1)个；
（6）逆序数为n(n-1)：
3 2 1个 5 2，5
4 2个 ……………… … (2n-1) 2，(2n-1) 4，(2n-1) 6，…，(2n-1) (2n-2) (n-1)个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … (2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n-2) (n-1)个。

1－3 写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项. 解： 由定义知，四阶行列式的一般项为
12341234(1)t p p p p a a a a -，其中t 为1234p p p p 的逆序数．由于121,3p p ==已固定，1234p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为
0+0+1+0=1或0+0+0+2=2
\11233244a a a a -和11233442a a a a 为所求.
1－4 计算下列各行列式：
（1）41
24120210520011
7犏犏犏犏
犏犏犏臌； （2）21
413
1211232506
2犏犏犏-犏
犏犏犏臌
；（3）ab ac ae bd cd de bf cf ef 犏-犏犏-犏犏-臌；（4）10
110011001a b c d
犏犏犏-犏犏-犏犏-臌
解：
(1)
2343434124
41210
4110
12021202
(1)12210520103214
710314
11
700
10
c c c c +-----=----
23
1
1324
110
9
9
10
1
220020103
14171714
c c c c
-+=--=+
(2)
4242412141214
0214
0214
03121312231223122
012321230123012305062506221400000
c c r r r r -------= (3)
21123
311111111
1
1
11111111
102041
1
1002
ab ac ae b c e bd cd de adf b c e adfbce bf
cf
ef
b
c
e
r r r r r adfbce adfbce abcdef r r ----=-=-----++--=---
(4)
122110
0010
10
110110
(1)(1)11011011
01001
001
a a
b a ab a r ar b b
c c c d
d d
++++--=-------- 32
32111
1(1)(1)1110
10
ab a
ad
c dc ab ad
c c
d abcd ab cd ad cd
++++-+=--=++++-+-
1－5 求解下列方程：
（1）
1
2
121101
11
x x x +-+=-+； （2）2
2223
333
11110x
a b c
x
a b c x a b c = 解：
（1）3321
21211(1)22(1)4(1)(1)
1
1
1
(1)6(1)4(3)(3)0x x x x x x x x x x x +-+=+---+-+-+-+=+-+-=-+=
∴
3x or x or x ==-=-
（2）这是四阶范德蒙德行列式，所以
22223333
1111()()()()()()0x a b c
x a x b x c a b b c c a x a b c x a b c =------= ∴ x a or x b or
x c ===
1－6 证明:
(1) 2
2
322();111
a ab
b a a b b a b +=-
(2) 33();ax by
ay bz
az bx
x
y z ay bz az bx ax by a b y
z
x az bx ax by ay bz z
x
y
++++++=++++ (3)
222222222
2
2
2
2222
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0;(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++
(4) 2
2224
444
1111()()()()()()();a
b c d
a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++
(5) 111122
1
10000
100000
1n n n n n n n x x
x a x a x a x
a a a a x a ------=++++-+。

证明：
(1) 2
2
2222
22221
31
31
22222(1)221111
a ab
b a ab a b a
c c ab a b a a a b b a
b a b a b a
b a
c c +-----+=--=----
3()()()12a b a b a b a a b +=--=-=右边
(2)
ax by ay bz
az bx
x ay bz az bx y ay bz az bx
ay bz az bx ax by
a y az bx ax by
b z az bx ax by az bx ax by ay bz
z ax by ay bz x ax by ay bz ++++++++++++++++++++++按第一列分开 2323132233323212x ay bz
z
y
z az bx
x
y z
y
z x c bc c a
c bc c a
a y az bx
x b z x ax by a y
z
x b z
x y c ac c b
c ac c b
z ax by
y x y ay bz z x
y x
y
z
++¸¸++++¸¸++(1)-;(1)-;(2)-;(2)-;
332(1)x y z
x
y z
a y
z x b y
z x z
x
y z x
y
=+-=右边
(3)
2222
2
22222222
22222222
22
22
2
2
2
2
22
2
2213141(1)(2)(3)(21)(2)(3)(1)(2)(3)(21)(2)(3)(1)(2)(3)(21)(2)(3)(1)(2)(3)(21)(2)(3)21446a a a a a a a a a b b b b b b b b b c c c c c c c c c d d d d d d d d d c c a a a a c c c c ++++++++++++++=++++++++++++++-++--2
2
2322
2422
2
9
212622144692126
214469212632144692126
a
a c c
b b b b b b c
c c c c c c c
d d d d d d ++-++++=++++-++++
(4)
2131222222
22222222222
222222222414
4
4
44
4444
44
111110
00
()()()c c b a c a d a
c c a b c
d a b a c a d a b a c a d a a b c d a b a c a d a
c c b b a c c a
d d a a b c d a b a c a d a
--------=------------- 2221
1
1
()()()
()()()
b a
c a
d a b a c a d a b b a c c a d d a =---++++++ 222221
()()()()()()()()
b a
c a
d a b a c b d b
b b a
c c a b b a
d d a b b a =---?
--++-++-+ 2222
11
()()()()()()()()()
b a
c a
d a c b d b c bc b a c b d bd b a d b =-----
++++++++ ()()()()()()()a b a c a d b c b d c d a b c d =------+++
另一证法：
可考虑5阶范德蒙德（Vandermonde ）行列式
2
22225333334
4
4
4
4
11111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x = ① 根据范德蒙德（Vandermonde ）行列式
5()()()()()()()()()()D x d x c x b x a d c d b d a c b c a b a =---------- 这是关于x 的4次多项式，
其中3x 的系数为()()()()()()()a b c d d c d b d a c b c a b a -+++------ ② 5D 按第5列展开：
23451525
3545551D A x A x A x A x A =????
其中45454545(1)A M M D +=-=-=-
①②比较知：()()()()()()()D a b c d d c d b d a c b c a b a =+++------
(5) 用数学归纳法证明，当n ＝2时，2122
1
1x D x a x a a x a -=
=+++
命题成立；假设对（n －1）阶行列式命题成立，即
121121n n n n n D x a x a x a -----=++++
则D n 按第一列展开得
111
111
1111100
0100
(1)
(1)(1)0
1n n n n n n n n n n n n n n n
x
D xD a xD a x xD a x a x a x a ++---------=+-=+---=+=++++
成立，由归纳法知，命题成立。

1－7 设n 阶行列式det()ij D a =,把D 上下翻转、或逆时针旋转90º、或依副对角线翻转，依次得
111123111111
111
,,n nn
n nn
nn n
n
n n a a a a a a D D D a a a a a a ===
证明 (1)2
123(1)
,n n D D D D D -==-=.
证明： det()ij D a =
111111212111
121
1111212313(1)(1)(1)n n n
n nn
n nn n n n n nn n
n n
a a a a a a a a a a a a D a a a a a a ---\==-=--=
111(1)1
2
12(2)(1)
2
1(1)
(1)
(1)(1)
(1)
n
n n n n n n n nn
a a D D a a ---+++-+-=---=-=-
同理可证 111
(1)(1)(1)2
2
2
21(1)
(1)(1)
n n n n n n n T
n nn
a a D D D a a ---=-=-=-
(1)(1)(1)(1)2
2
2
32(1)
(1)
(1)
(1)n n n n n n n n D D D D D ----=-=--=-=
1－8 计算下列各行列式（k D k 为阶行列式）：
(1) 11
n a
D a
=
,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；
(2) n x a a
a x a
D a a x
= ；
(3) 111
1(1)()(1)()11
1
1
n n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--
；提示：利用范德蒙德行列式的结果。

(4) 11211
00
00
n
n
n n
n
a b a b D c d c d =
； (5) det(),n ij ij D a a i j ==-其中；
(6) 1
21111111
1
1n n
a a D a ++=
+
,120n a a a ¹ 其中。

解：(1)
222
10
110111101
1
1(1)n n n n a a a a a D a
a
a
a
a
a a a a --+=
==+=-+=-=-
或由拓展的展开定理：
221
11(1)111
n n a
a a a a D a a a
a a
a
a
-=
=
=?-
(2)
21311211
(1)(1),(1)00,(1)00[(1)]()n n
n n x n a a
a x n a a a r r r r c c c x n a x a x a D r r x n a a
x x a
x n a x a -+-+---++++---+--=+-- (3) 从第1n +行开始，第1n +行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经(1)n -次对换换到第2行…，经(1)
(1)12
n n n n ++-++= 次行 交换，得
(1)2
111
1
1
111(1)
(1)()(1)()n n n n n n n
n
n
a a a n
D a a a n a a a n ++-----=-----
此行列式为范德蒙德行列式
(1)2
111
(1)(1)(1)1
2
2
2
11
11
11
(1)[(1)(1)]
(1)[()](1)[()](1)
()
n n n n i j n n n n n n n i j n i j n i j D a i a j i j i j i j +++? +++-+++??? +? =--+--+=---=---=-Õ
照
Õ
(4) 11211
n
n
n n n
a b a b D c d c d =
1
11
11111211
1
11
1
1110
00
00
0(1)0000
n n n n n n
n
n n n n n
n
a b a b a b a b c d b c d a c d c d d c ----+----+-
按第一行展开
2222n n n n n n a d D b c D ---都按最后一行展开
由此得递推公式： 222()n n n n n n D a d b c D -=- 即 222
()n
n i i i i i D a d b c D ==
-Õ 而 11
2111111
a b D a d b c c d =
=- 得 21
()n
n i i
i i i D a d b c ==-Õ
另一解法：
1
1
1111(12)(12)
21
1
1
1
1
1
22
(1)()n
n
n n n n n n n n
n
n
n n n n n n n n a b a b a b a b a b D c d c d c d c d c d a d b c D +++-=
-=-
－－－－由拓展的展开定理
即 222
()n
n i i i i i D a d b c D ==-Õ 而 11
2111111
a b D a d b c c d =
=- 得 21
()n
n i i
i i i D a d b c ==-Õ
(5)ij a i j =-
1221312341012311012221013det()3
2
1
4
12340
1
1
1
1
1
1
1111
1
12000,1111
1122001111112220,,12340
123242n ij n n n D a n n n n n r r c c c c r r c c n n n n n n n ---==
------------++---------------+-------
12
5
1
(1)(1)2n n n n n ----=--
(6)
1
221
33
1223
24
341
1
1
223
3121420000100011110001,111
00001,1
1
10001
000010
0000000000
(1)()0
0000000n n
n n n n
n n n a a a a a a c c c c a D a c c a a a a a a a a a a a a a a a a -----+---+=
--+--+--+---
按最后一列
展开（由下往上）2000
000n n a a --
1222233334111100000000
0000000
0000
00000000
n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a ---------+
++
----
121123223(1)()n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---=++++ 121
1()(1)n
n i i
a a a a ==+å
1－9 设 31125134
20111535D ---=---，求31323334322A A A A +-+
解：
43213132333421
31311231113111
513451312220
3221322132013201533153015302
22111111
1
3
22132204124
1
53153044
c c r r A A A A r r r r
---++-----+-+=
-------------=--=--=----
1－10 用克拉默法则解下列方程组：
12341234123412345
242
(1)235232110x x x x x x x x x x x x x x x x ì+++
=ïïïï+-+=-ïí
ï---=-ïïï+
++=ïïî 1212323434561560(2)56051x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=ïí
ï++=ïïï+=ïïî 解：
(1)1111111111111111
1214012301230123
142023150537001380015431211021800514000142D ----=====- ------------
由克拉默法则知方程组有解且有惟一解
1511151111519221405090509
23152315013323012110121101211D -----===
----------- 151915191519012110121101211
142050900104600138013323
0023120000142
---------====-------
2151115111511
1511
1214072301320132
284221501237002311001193021101518003931000284
D ------====
=------------
311511224426232531011
D -==---- 41115
1212
14223123120
D --=
=---
312412341,2,3,1D D D D
x x x x D D D D
\
=
=======- (2) 43445600
560560
1
560
(1)1505(1)15621100156016015
0015
D ++=
-+?= 按最后一行展开
由克拉默法则知方程组有解且有惟一解
116000560
151********D =
=-， 251001060
16100560115D ==- 356101500
10901060
1
5
D =
=-， 456011560
6401500
1
1
D == 123415116110964
;;;211211211211
x x x x \
=-
==-=
1－11 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组
1231231230020
x x x x x x x x x l m m ì++=ïïïï++=íïïï++=ïî
有非零解？
解： 1
1
11121
D l
m m ml m ==-
齐次线性方程组有非零解，则D ＝0。

即 0m m l -= ，得 01m l ==或。

不难验证，当01m l ==或时，该齐次线性方程组确有非零解。

1－12 问λ取何值时，齐次线性方程组
123123123(1)2402(3)0(1)0
x x x x x x x x x l l l ì--+=ïïïï+-+=íïïï++-=ïî 有非零解？ 解：
32124134
2
31211(1)2(1)3(2)(3)1
1
11
1D l l l l l l l l l l l l
l
----+=
-=-=-+-+-=----- 齐次线性方程组有非零解，则D ＝0 得 λ－0，λ＝2或λ＝3
不难验证，当λ－0，λ＝2或λ＝3时，该齐次线性方程组确有非零解。