江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测试题(图片)—

参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5．750 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题 15．（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，………………………………………………………………2分
所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A A
B B A A B A A
-+=-+=--⋅. ………………………………4分
1433314133
+=
=-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形中,
由，所以sin
B B ==
， ……8分 由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A
B =+=+
…………………………10分
由正弦定理,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以的面积114
sin 151378225
S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分
16．（1）取的中点，连结因为分别是的中点，
所以且在直三棱柱 中，，，
又因为是 的中点，所以 且. ……………………2分 所以四边形是平行四边形， 所以， ……………………4分 而平面，平面， 所以平面. ……6分
（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，…………………8分 又因为，所以，平面平面，
，所以平面，…………………………………10分 又因为平面，所以，即，连结， 因为在平行四边形中，，所以，又因为， 且，平面，所以平面，………………………12分 而平面，所以.…………14分
17．（1）设交于点，过作，垂足为，
在中，，，…2分
在中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，………4分
所以1
220sin cos 20cos 2
S θθθ=
⋅π⋅⋅ ， ……………………6分
（2）要使侧面积最大，由（1）得：
23400sin cos 400(sin sin )S θθθθ=π=π-,…………8分
设3(),(01)f x x x x =-<< 则，由得：， 当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在时取得极大值，也是最大值；
所以当时，侧面积取得最大值， …………………………11分
此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===． 答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分
18．（1）由题意知：22
1
,2
191,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………………………………………2分
解之得： 所以椭圆方程为． ……………………………4分 （2）若，由椭圆对称性，知，所以，
此时直线方程为， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
，得，解得（舍去），…………8分
故1(1)713317
BF FD --==-．…………………………………………………………………10分
（3）设，则，直线的方程为，
代入椭圆方程，得22200
00(156)815240x x y x x x ---+=， 因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…………………12分
又在直线上，所以00
00
3(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，点坐标为，， ……………………………………………14分
所以00
00021
00000
3355
52528585335252y y y x x k k x x x x x --
+-===+--
+-，即存在，使得．…………16分
19．（1）函数的定义域为． 当时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，
所以1(21)(1)
()21x x h x x x x
-+'=+-
=
，……………………………………………2分 所以当时，，当时，，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值．………………4分
（2）设函数上点与函数上点处切线相同，则121212
()()
()()f x g x f x g x x x -''==
-， 故
21121212
1(ln )
12x ax x a x a x x x ++--+==-， …6分
所以，代入
212
1122
1(ln )x x x ax x a x -=++--，得2
22221ln 20(*)424
a a x a x x -++--= ……………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则2323
1121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=
， 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分 代入可得：2min 00000
1
()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-， 设21()2ln 2G x x x x x =+-
+-，则211
()220G x x x x
'=+++>对恒成立， 所以在区间上单调递增，又，
所以当时，即当时, ……………12分
又当时，22
2421()ln 2424
a a a a a F x e a e e +++=-++--，14分
因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；
即存在使得函数上点与函数上点处切线相同． 又由得：，
所以单调递减，因此20000
121
=
2[1+)x a x x x -=-∈-∞，， 所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分 20．（1）若，则(),
所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-， 所以， ……………………………………………………………2分 又由，，得，，即，
所以，故数列是等比数列．…………………………………………4分 （2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
， ① 当时，，即123323a a a a a ++=+λμ，得 ， ② 当时，，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得
233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯，得 ， ③-②⨯，得 ，解得．
代入①式，得．…………………………………………………………………8分 此时()，所以，是公比为1的等比数列，
故． ……………………………………………………………………10分（3）若，由，得， 又，解得．…………………………………………………12分
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，由，得：，
两式相减得：111122
n n n n n n n
a a a a a ++-+=
-+-， 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=，
所以21(1)20n n n na n a a ++---=，
相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+=， 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=，
所以2
21111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=
-+- 1
321(2)(2)(1)2
n a a a n n --=
=-+-， ……………………………………14分 因为，所以，
即数列是等差数列.………………………………………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21．A ．连结，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所
以． …………………………………………………5分 又△∽△，所以，即，
∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分 B ．因为411041230123-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
M BA ， ………………………………………5分 所以1
3110101255-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
M ． ………………………………………………………10分
C.把直线方程化为普通方程为． ……………………………3分
将圆2
2cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为，
即． ………………………………………………………………6分
圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.……………………10分
D ．因为2222
[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d
a b c d
++
++++++
++++++
2≥
， …………………………………………5分
又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以22221
11115
a b c d a b c d +
++≥++++．……10分
22．（1）因为，则111
(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222
F A C B E -，
所以，， ………………………………………2分
记直线和所成角为，则
1
1
cos|cos,|
4
α
-⨯
=<>==
AC BE，
所以直线和所成角的余弦值为．………………………………………4分（2）设平面的法向量为，因为，，
则
1
111
3
0,
1
20,
2
FB y
FC x z
⎧
⋅==
⎪⎪
⎨
⎪
⋅=-+=
⎪⎩
m
m
取，得．…………………………6分
设平面的一个法向量为，因为，，
则22
12
1
0,
2
20,
CB x
CC z
⎧
⋅==
⎪
⎨
⎪⋅==
⎩
n
n
取得：．………………………8分
cos,
∴<>=
m n
根据图形可知二面角为锐二面角，所以
二面角的余弦值为．…………10分
23．（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点，则直线的方程为，
即，………………………………………………………………2分
n
=，又，所以，即，
所以的方程为．………………………………………………4分
（2）设，，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以1
21
AQ
t y
k
t
-
==
+
，2
21
BQ
t y
k
t
-
==-
+
所以，，……………………………………………………6分
所以33
151
|23|2(0)
2222
t
AB t t t t t
t t
=+-+=++>．……………………………………8分令，，则
42
2
22
511251
()6
222
t t
f t t
t t
+-
'=+-=，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值，此
时．……………………………………………………………10分。