第05讲 绝对值和有理数的大小比较(学生版) 2024-2025学年七年级数学上册同步学与练(人教版

第05讲 绝对值和有理数的大小比较课程标准
学习目标①绝对值的定义与数的绝对值
②绝对值的性质
③求式子的绝对值
④有理数的大小比较 1. 掌握绝对值的定义并能够熟练的求一个数的绝对值。

2. 掌握绝对值的性质并解决相关题目。

3. 掌握求式子的绝对值的方法并能够熟练的求式子的绝对值。

4. 掌握有理数比较大小的方法，能够熟练的比较有理数的大小。

知识点01 绝对值的定义与数的绝对值
1.
绝对值的定义：
一般地，数轴上表示数
a 的点到 的距离就是数a 的绝对值。

数a 的绝对值记作 ，读作 。

2. 求一个数的绝对值：
由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是
，一个负数的绝对值是 ，0的绝对值
是 。

【即学即练1】
1．
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
知识点02 绝对值的性质
1. 绝对值的非负性：
由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为 。

所以绝对值是一个 ，所以绝对值具有 。

即若|a | 0。

考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。

即：若|a |＋|b |＋...＋|m |＝0，则一定有。

2. 绝对值与数轴：
在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就
，一个数离原点越远，绝对值 。

3. 绝对值与相反数：
①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 。

即若a 与b 互为相反数，则|a |
|b |。

②绝对值等于某个正数的数一定有 ，它们。

即若|x |=()0＞a a ，则x ＝ 。

③绝对值相等的两个数要么
，要么 。

即若|a |＝|b |，则有 或 。

【即学即练1】
2．若|x ﹣2|+|2y ﹣6|＝0，则x +y 的值为（ ）
A ．9
B ．5
C ．﹣5
D ．﹣6
【即学即练2】
如图，数轴上有四个点A ，B ，C ，D 分别对应四个有理数，若点B ，D 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
【即学即练3】
一个数的绝对值是5，则这个数是（ ）
A ．|5|
B ．5
C ．﹣5
D ．±5
【即学即练4】
已知a ＝﹣5，|a |＝|b |，则b 的值为（ ）
A ．±5
B ．﹣5
C ．+5
D ．0
知识点03 求式子的绝对值
1. 求一个式子的绝对值：
正数的绝对值等于它 ，0的绝对值等于 ，负数的绝对值等于 。

求一个式子的绝对值先判断式子与 的大小关系，再对式子进行求绝对值。

若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于 ，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于 。

即：⎪⎩⎪⎨⎧-=≤=≥=a a a a a a a 时，
时，00。

反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数 0，解|a |=a ，则a 0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数 0。

|a |=﹣a ，则a 0。

【即学即练1】
若|a |＝a ，则a 的取值范围是 ；若|a |＝﹣a ，则a 的取值范围是 ．
知识点04 有理数的大小比较
1. 有理数的大小比较：
①定义法：正数 0，0 负数，所以正数 负数。

负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而 。

②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 数轴上左边所表示的数。

③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 。

【即学即练1】
画数轴，然后在数轴上表示下列各数，并用＜号将各数连接起来．
2.5、﹣2、﹣（﹣3）、0、|﹣1.5|、4
【即学即练2】
8．如图，根据有理数a ，b ，c 在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）
A ．c ＞a ＞0＞b
B ．a ＞b ＞0＞c
C ．b ＞0＞a ＞c
D ．b ＞0＞c ＞
a
题型01 求数或式子的绝对值
【典例1】﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【变式1】计算|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【变式2】若a＜0，则a+|a|的值等于（ ）
A．2a B．0C．﹣2a D．a
【变式3】若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2
【变式4】已知ab＞0，则++＝（ ）
A．3B．﹣3C．3或﹣1D．3或﹣3【变式5】若|3x﹣5|＝x+2，则x的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
题型02 绝对值的非负性
【典例1】已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（ ）
A．2B．6C．8D．4
【变式1】若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（ ）
A．5B．1C．2D．0
【变式2】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．3或﹣3【变式3】已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 ．
【变式4】若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为 ．
【变式5】当a＝ 时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 ．
题型03 根据绝对值的意义求字母的取值范围
【典例1】当|x|＝﹣x时，则x一定是（ ）
A．负数B．正数C．负数或0D．0
【变式1】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤1
【变式2】若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（ ）
A．a≤5B．a＜5C．a≥5D．a＞5
【变式3】若|a|＞a，则a是（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
题型04 绝对值与相反数
【典例1】若|x|＝3，则x＝ ．
【变式1】若|x|＝|﹣7|，则x＝ ；若|x﹣7|＝2，则x＝ ．
【变式2】如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a的值为 ，b的值为 ．
【变式3】如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（ ）
A．a＝b B．a＝﹣b
C．相等或互为相反数D．a、b均为0
【变式4】已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（ ）
A．9B．1C．1或﹣9D．9或﹣1
题型05 绝对值与数轴
【典例1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b
【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
A．a＞﹣1B．b＜1C．|a|＜|b|D．﹣a＜﹣b
题型06 绝对值的化简
【典例1】已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（ ）
A．2m﹣3B．﹣1C．1D．2m﹣1
【变式1】若2＜a＜4，则|2﹣a|+|4﹣a|等于（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．6﹣2a
【变式2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+|a|的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．1﹣2a D．2a﹣1
【变式3】数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a﹣|b﹣a|＝ ．
题型07 有理数的大小比较
【典例1】在数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把下列各数连接起来．，3，﹣4，1，
2.5．
【变式1】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b从大到小的顺序为 ．
1．在0，﹣2，﹣5，3这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣2C．﹣5D．3
2．﹣2024的绝对值的相反数是（ ）
A．B．C．2024D．﹣2024
3．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．和﹣2B．+（﹣3）和﹣（+3）
C．﹣（﹣7）和﹣|﹣7|D．﹣（﹣2）和2
4．下列各组数中，大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．a＜﹣a＜b B．﹣a＜b＜a C．﹣a＜a＜b D．b＜﹣a＜a
6．绝对值小于3的非负整数有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．若a、b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（ ）A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．b＜﹣b＜a＜﹣a
C．a＜﹣b＜b＜﹣a D．a＜b＜﹣b＜﹣a
8．如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2023B．4046C．20D．0
9．若|a﹣4|与|3+b|的值互为相反数，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝﹣4，b＝﹣3B．a＝﹣4，b＝3C．a＝4，b＝3D．a＝4，b＝﹣3
10．如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（ ）
A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b
11．比较大小：﹣|﹣5| ﹣（﹣5.4）（填“＞”，“＜”，或“＝”）．
12．|3﹣π|﹣|4﹣π|＝ ．
13．|x﹣2|+|x+4|＝6，则x的取值范围是 ．
14．非零整数m，n满足|m|+|n|＝5，所有这样的整数组（m，n）共有 组．
15．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为 ．
16．如图是一个不完整的数轴，
（1）请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上；
（2）将下列各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：﹣3；3.5；；﹣|﹣1|．
17．（1）如果|a|＝5，|b|＝2，且a，b异号，求a、b的值．
（2）若|a|＝5，|b|＝1，且a＜b，求a，b的值．
18．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
（1）比较a、﹣a、c、﹣c的大小，并按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来；
（2）化简：|c﹣a|﹣|a﹣b|+|b﹣c|．
19．对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”．
（1）分别求出图1中长方形的周长M和图2中长方形的周长N．
（2）在（1）的条件下，若b＞c，用“作差法”比较M、N的大小．
20．对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 ；
（2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；
（3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…．
①x0+x1的最小值为 ；
②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 ．。