【世纪金榜】人教版第一轮复习理科数学教师用书配套课件利用空间向量求空间角和距离
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uuuur uuuur
则 cos uAuuCur1gAuuCuu2r 1 0 8 3 .
| AC1 || AC2 | 2 3 3 2
又θ∈ [0, ],
2
所以θ= .
6
答案：
6
(2)(选修2-1P47习题2-5T2改编)已知一个平行六面体的各棱长都等
于2,并且以顶点A为端点的各棱间的夹角都等于60°,则该平行六面体
uuur uuur BA)g(BC
2 2g 5
1 2
uuuur BB1)
＝0 2 2 0＝0， 2 2g 5
故异面直线AB1和BM的夹角的大小是90°.
答案：90°
(2)①如图,连接AC,BD, 设AC∩BD=O,连接OP,OQ. 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥, 所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD. 从而P,O,Q三点在一条直线上, 所以PQ⊥平面ABCD. ②由题设知,四边形ABCD是正方形, 所以AC⊥BD.
【变式训练】将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶 点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
【解析】选C.不妨以△ABC为底面,则由题意当以A,B,C,D为顶点的三
棱锥体积最大,即点D到底面△ABC的距离最大时,平面ADC⊥平面ABC,
2
范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该
异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是
异面直线的夹角.
2.建立空间直角坐标系的策略 (1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三 条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系. (2)如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线, 以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂 直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关 系时要通过其他已知条件得到垂直关系.
中平面ABB1A1与平面ABCD夹角的余弦值为
.
【解析】如图所示，在平面AB1内作A1E⊥AB于E，
在平面AC内，作CF⊥AB，交AB延长线于点F，则
|
uuuur A1E
||=Cuu2Fr s| in
60°=
，
3
|
uuur AE
||
Bu=uFr2|cos
60°=1,
uuuur uuuur uuur uur uuur uur A1E A1A AE,CF CB BF,
②平行直线间的距离: 求平行直线间的距离通常转化为求_点__到__直__线__的__距__离__.
③点到平面的距离: 空间一点A到平面π的距离的算法框图如图:
uuur PAgn0 uuur | PAgn0 |
2.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间 距离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
9
考点1 向量法求异面直线的夹角 【典例1】(1)(2015·三明模拟)如图所示,已知三棱 柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且AA1⊥面ABC,M是 侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM的夹角的大小是 ________.
(2)(2015·岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4. ①证明:PQ⊥平面ABCD. ②求异面直线AQ与PB夹角的余弦值.
当0＜<s1,s2>≤
2
时,θ=_<_s1_,_s_2_>;
当
2
＜<s1,s2>＜π时,θ=_π__-_<_s1_,_s_2>_
②直线与平面的夹角: 平面外一条直线与它_在__该__平__面__内__的__投__影__的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 设直线l的方向向量为s,平面π的法向量为n,直线l与平面π的夹角为 θ,则sinθ=|cos<s,n>|= ｜｜s｜sg｜n｜n｜.
又PD∩CD=D,
所以AE⊥平面CDP.
所以 AuuDur=(0,1,0),
=AuuEur
(分0，1别，1是) 平面ABP,平面CDP的法向量,
22
且< AuuDur，Auu>Eur=45°,
所以平面ABP与平面CDP的夹角为45°.
(4)(2015·九江模拟)若平面α的一个法向量为n=(2,1,2),直线l的一
两异面直线夹角的范围是 (0，,直] 线与平面的夹角范围是
2
角的范围是[0,π].
,[二0，面 ]
2
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(选修2-1P46例4改编)正三棱柱(底面是正三角
形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为
2 2 ,则AC1与侧面ABB1A1的夹角为
【解题提示】(1)采用基向量法,选择{
uuur uuuur uuur BA，BB1，BC
}为基底,分别表示
出
uuuur uuur AB1，BM
,再求其夹角可解.
(2)①设AC,BD的交点为O,证明PO⊥平面ABCD,QO⊥平面
ABCD,P,O,Q三点共线即可.
②分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,转化为向量与向
3
2 2 cos 60 2 1 cos 120 1 2 cos 120 111
3
1. 3
答案：1
3
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2014·广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°
夹角的是( )
A.(-1,1,0)
B.(1,-1,0)
设两平面夹角为α，则
uuuur uur uuuur uuur uuur uur
cos |uAuu1urEgCuuFr| | (A1A AE)g(CB BF) |
uuuur
|
uAuu1rE
|| CF | uuuur
uur
3 uuur uuur uuur uur
| A1AgCB A1AgBF AEgCB AEgBF |
.
【解析】以C为原点建立坐标系，得下列坐标：
A(2,0,0)，C1(0,0, 2 )2.
点C1在侧面ABB1A1内的射影为
点
C2
(
3 2
，3 2
，2
2 ).
所以
uuuur AC1
(2,
0,
2
2 ),
uuuur AC2
(
1 2
,
3 ，2 2
2 ),
设直线AC1与平面ABB1A1的夹角为θ,
③平面间的夹角:
如图所示,平面π1与π2相交于直线l,点R为直线l上
任意一点,过点R,在平面π1上作直线l1⊥l,在平面 π2上作直线l2⊥l,则l1∩l2=R.我们把_直__线__l1_和__l_2的__ _夹__角__叫作平面π1与π2的夹角.已知平面π1和π2的法向量分别为n1
和n2,
当0≤<n1,n2>≤
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线的夹角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角.
()
(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是 (0，] ,直线与平面夹角的范围是 [0，] ,
AuuDu=r (0,1,1), Bu=uCu(r-1,1,0),所以cos〈 〉Auu＝Dur，BuuCur
由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间
直角坐标系Oxyz,由条件得P(0,0,1),A(2 2,0,0),Q(0,0,-2),
B(0,2 2,0),
所以
uuur AQ
(2
uur 2,0， 2), PB
0, 2
2, 1 .
于是
uuur uur | cos〈AQ, PB〉|
C.(0,-1,1)
D.(-1,0,1)
【解析】选B.(1,0,-1)·(-1,1,0)=-1,夹角不可能为60°,(1,0,-1)
·(1,-1,0)=1,且|(1,0,-1)|=|(1,-1,0)|= ,夹角2 恰好为60°.
(2)(2015·金华模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法
uuur uur |uAuuQr gPuBur|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.
| AQ || PB | 9
从而异面直线AQ与PB夹角的余弦值为 3 .
9
【规律方法】
1.向量法求异面直线夹角的思路及关注点
(1)思路:①选好基底或建立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向 量v1,v2;③代入公式|cos<v1,v2>|= | v1gv2 | 求解. (2)关注点:两异面直线夹角的范围是| vθ1 |∈| v2(|0,],两向量的夹角α的
2
2
二面角的范围是[0,π]. ( )
【解析】(1)错误.两直线的方向向量的夹角应是两直线的夹角或其 补角. (2)错误.若直线的方向向量和平面的法向量的夹角为θ,直线与平面 的夹角为α,则sinα=|cosθ|. (3)错误.两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角.
(4)正确.由异面直线的夹角、直线与平面的夹角及二面角的定义可知,
2
时,平面π1与π2的夹角等于_<_n_1_,_n_2>_;
当
2
＜<n1,n2>≤π时,平面π1与π2的夹角等于_π__-_<_n_1_,_n_2>_.
(2)距离的计算: ①点到直线的距离: 空间一点A到直线l的距离的算法框图如图:
uuur PAgs0
uuur uuur | PA |2 | PAgs0 |2
个方向向量为a=(-1,1,1),则l与α的夹角的正弦值为______.
【解析】设直线l与平面α的夹角为θ,
则sin θ=|cos〈n,a〉|=
| nga | | n |g| a |
| 1 2 111 2 | 3 . 22 12 22 g (1)2 12 12 9
答案： 3
取AC的中点O,连接BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别
以 OuuDur，OuuBur，,Ou所uCur在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令BO=DO=
CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),
uuur uuur
|n|
| 2 6 2 | 2. 22 (2)2 1
(3)(2015·济南模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,
若AB=PA,则平面ABP与平面CDP的夹角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.建立如图所示空间直角坐标系, 设AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), C(1,1,0),P(0,0,1), 由题意,AD⊥平面ABP, 设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD, 又因为CD⊥平面PAD, 所以AE⊥CD,
设s1,s2分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
范围 求法 关系
l1与l2的夹角θ
0 2
s1与s2的夹角<s1,s2> _0_＜__<_s1_,_s_2>_＜__π__
cosθ=|cos<s1,s2>| = | s1gs2 |
| s1 || s2 |
cos<s1,s2>=
s1 gs 2 | s1 || s2 |
向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于
()
A.4
B.2
C.3
D.1
【解析】选B.由已知平面OAB的一条斜线的方向向量OuuPur =(-1,3,2),
所以点P到平面OAB的距离d|=OuuPur
|g|
uuur cos〈OP，n〉|
|
uuur OPgn
|
量的夹角问题.
【规范解答】(1)不妨设棱长为2，选择基底
uuur uuuur uuur {BA，BB1，BC}，
则
uuuur uuuur uuur uuur uuur AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋
1 2
uuuur BB1，
uuuur uuuur uuur (BB1 cos〈AB1，BM〉＝
第九节 利用空间向量求空间角和距离
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)夹角的计算:
①直线间的夹角:
(ⅰ)两直线的夹角:当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中, 范围在 [0, ] 内的角叫作两直线的夹角.
2
(ⅱ)异面直线的夹角:当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点 A作AB∥l2,我们把_直__线__l1_和__直__线__A_B_的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.
则 cos uAuuCur1gAuuCuu2r 1 0 8 3 .
| AC1 || AC2 | 2 3 3 2
又θ∈ [0, ],
2
所以θ= .
6
答案：
6
(2)(选修2-1P47习题2-5T2改编)已知一个平行六面体的各棱长都等
于2,并且以顶点A为端点的各棱间的夹角都等于60°,则该平行六面体
uuur uuur BA)g(BC
2 2g 5
1 2
uuuur BB1)
＝0 2 2 0＝0， 2 2g 5
故异面直线AB1和BM的夹角的大小是90°.
答案：90°
(2)①如图,连接AC,BD, 设AC∩BD=O,连接OP,OQ. 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥, 所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD. 从而P,O,Q三点在一条直线上, 所以PQ⊥平面ABCD. ②由题设知,四边形ABCD是正方形, 所以AC⊥BD.
【变式训练】将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶 点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
【解析】选C.不妨以△ABC为底面,则由题意当以A,B,C,D为顶点的三
棱锥体积最大,即点D到底面△ABC的距离最大时,平面ADC⊥平面ABC,
2
范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该
异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是
异面直线的夹角.
2.建立空间直角坐标系的策略 (1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三 条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系. (2)如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线, 以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂 直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关 系时要通过其他已知条件得到垂直关系.
中平面ABB1A1与平面ABCD夹角的余弦值为
.
【解析】如图所示，在平面AB1内作A1E⊥AB于E，
在平面AC内，作CF⊥AB，交AB延长线于点F，则
|
uuuur A1E
||=Cuu2Fr s| in
60°=
，
3
|
uuur AE
||
Bu=uFr2|cos
60°=1,
uuuur uuuur uuur uur uuur uur A1E A1A AE,CF CB BF,
②平行直线间的距离: 求平行直线间的距离通常转化为求_点__到__直__线__的__距__离__.
③点到平面的距离: 空间一点A到平面π的距离的算法框图如图:
uuur PAgn0 uuur | PAgn0 |
2.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间 距离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
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考点1 向量法求异面直线的夹角 【典例1】(1)(2015·三明模拟)如图所示,已知三棱 柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且AA1⊥面ABC,M是 侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM的夹角的大小是 ________.
(2)(2015·岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4. ①证明:PQ⊥平面ABCD. ②求异面直线AQ与PB夹角的余弦值.
当0＜<s1,s2>≤
2
时,θ=_<_s1_,_s_2_>;
当
2
＜<s1,s2>＜π时,θ=_π__-_<_s1_,_s_2>_
②直线与平面的夹角: 平面外一条直线与它_在__该__平__面__内__的__投__影__的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 设直线l的方向向量为s,平面π的法向量为n,直线l与平面π的夹角为 θ,则sinθ=|cos<s,n>|= ｜｜s｜sg｜n｜n｜.
又PD∩CD=D,
所以AE⊥平面CDP.
所以 AuuDur=(0,1,0),
=AuuEur
(分0，1别，1是) 平面ABP,平面CDP的法向量,
22
且< AuuDur，Auu>Eur=45°,
所以平面ABP与平面CDP的夹角为45°.
(4)(2015·九江模拟)若平面α的一个法向量为n=(2,1,2),直线l的一
两异面直线夹角的范围是 (0，,直] 线与平面的夹角范围是
2
角的范围是[0,π].
,[二0，面 ]
2
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(选修2-1P46例4改编)正三棱柱(底面是正三角
形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为
2 2 ,则AC1与侧面ABB1A1的夹角为
【解题提示】(1)采用基向量法,选择{
uuur uuuur uuur BA，BB1，BC
}为基底,分别表示
出
uuuur uuur AB1，BM
,再求其夹角可解.
(2)①设AC,BD的交点为O,证明PO⊥平面ABCD,QO⊥平面
ABCD,P,O,Q三点共线即可.
②分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,转化为向量与向
3
2 2 cos 60 2 1 cos 120 1 2 cos 120 111
3
1. 3
答案：1
3
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2014·广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°
夹角的是( )
A.(-1,1,0)
B.(1,-1,0)
设两平面夹角为α，则
uuuur uur uuuur uuur uuur uur
cos |uAuu1urEgCuuFr| | (A1A AE)g(CB BF) |
uuuur
|
uAuu1rE
|| CF | uuuur
uur
3 uuur uuur uuur uur
| A1AgCB A1AgBF AEgCB AEgBF |
.
【解析】以C为原点建立坐标系，得下列坐标：
A(2,0,0)，C1(0,0, 2 )2.
点C1在侧面ABB1A1内的射影为
点
C2
(
3 2
，3 2
，2
2 ).
所以
uuuur AC1
(2,
0,
2
2 ),
uuuur AC2
(
1 2
,
3 ，2 2
2 ),
设直线AC1与平面ABB1A1的夹角为θ,
③平面间的夹角:
如图所示,平面π1与π2相交于直线l,点R为直线l上
任意一点,过点R,在平面π1上作直线l1⊥l,在平面 π2上作直线l2⊥l,则l1∩l2=R.我们把_直__线__l1_和__l_2的__ _夹__角__叫作平面π1与π2的夹角.已知平面π1和π2的法向量分别为n1
和n2,
当0≤<n1,n2>≤
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线的夹角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角.
()
(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是 (0，] ,直线与平面夹角的范围是 [0，] ,
AuuDu=r (0,1,1), Bu=uCu(r-1,1,0),所以cos〈 〉Auu＝Dur，BuuCur
由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间
直角坐标系Oxyz,由条件得P(0,0,1),A(2 2,0,0),Q(0,0,-2),
B(0,2 2,0),
所以
uuur AQ
(2
uur 2,0， 2), PB
0, 2
2, 1 .
于是
uuur uur | cos〈AQ, PB〉|
C.(0,-1,1)
D.(-1,0,1)
【解析】选B.(1,0,-1)·(-1,1,0)=-1,夹角不可能为60°,(1,0,-1)
·(1,-1,0)=1,且|(1,0,-1)|=|(1,-1,0)|= ,夹角2 恰好为60°.
(2)(2015·金华模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法
uuur uur |uAuuQr gPuBur|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.
| AQ || PB | 9
从而异面直线AQ与PB夹角的余弦值为 3 .
9
【规律方法】
1.向量法求异面直线夹角的思路及关注点
(1)思路:①选好基底或建立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向 量v1,v2;③代入公式|cos<v1,v2>|= | v1gv2 | 求解. (2)关注点:两异面直线夹角的范围是| vθ1 |∈| v2(|0,],两向量的夹角α的
2
2
二面角的范围是[0,π]. ( )
【解析】(1)错误.两直线的方向向量的夹角应是两直线的夹角或其 补角. (2)错误.若直线的方向向量和平面的法向量的夹角为θ,直线与平面 的夹角为α,则sinα=|cosθ|. (3)错误.两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角.
(4)正确.由异面直线的夹角、直线与平面的夹角及二面角的定义可知,
2
时,平面π1与π2的夹角等于_<_n_1_,_n_2>_;
当
2
＜<n1,n2>≤π时,平面π1与π2的夹角等于_π__-_<_n_1_,_n_2>_.
(2)距离的计算: ①点到直线的距离: 空间一点A到直线l的距离的算法框图如图:
uuur PAgs0
uuur uuur | PA |2 | PAgs0 |2
个方向向量为a=(-1,1,1),则l与α的夹角的正弦值为______.
【解析】设直线l与平面α的夹角为θ,
则sin θ=|cos〈n,a〉|=
| nga | | n |g| a |
| 1 2 111 2 | 3 . 22 12 22 g (1)2 12 12 9
答案： 3
取AC的中点O,连接BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别
以 OuuDur，OuuBur，,Ou所uCur在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令BO=DO=
CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),
uuur uuur
|n|
| 2 6 2 | 2. 22 (2)2 1
(3)(2015·济南模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,
若AB=PA,则平面ABP与平面CDP的夹角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.建立如图所示空间直角坐标系, 设AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), C(1,1,0),P(0,0,1), 由题意,AD⊥平面ABP, 设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD, 又因为CD⊥平面PAD, 所以AE⊥CD,
设s1,s2分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
范围 求法 关系
l1与l2的夹角θ
0 2
s1与s2的夹角<s1,s2> _0_＜__<_s1_,_s_2>_＜__π__
cosθ=|cos<s1,s2>| = | s1gs2 |
| s1 || s2 |
cos<s1,s2>=
s1 gs 2 | s1 || s2 |
向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于
()
A.4
B.2
C.3
D.1
【解析】选B.由已知平面OAB的一条斜线的方向向量OuuPur =(-1,3,2),
所以点P到平面OAB的距离d|=OuuPur
|g|
uuur cos〈OP，n〉|
|
uuur OPgn
|
量的夹角问题.
【规范解答】(1)不妨设棱长为2，选择基底
uuur uuuur uuur {BA，BB1，BC}，
则
uuuur uuuur uuur uuur uuur AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋
1 2
uuuur BB1，
uuuur uuuur uuur (BB1 cos〈AB1，BM〉＝
第九节 利用空间向量求空间角和距离
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)夹角的计算:
①直线间的夹角:
(ⅰ)两直线的夹角:当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中, 范围在 [0, ] 内的角叫作两直线的夹角.
2
(ⅱ)异面直线的夹角:当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点 A作AB∥l2,我们把_直__线__l1_和__直__线__A_B_的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.