第1章：线性规划

.确定约束条件:
x11 + x12 + x13 + x14 = 100
s.t. x21 + x22 + x23 + x24 = 80
x31 + x32 + x33 + x34 = 50
x11 + x21 + x31 = 50
x12 + x22 + x32 = 70
x13 + x23 + x33 = 80
3、最优解：满足目标函数①的可行解。
⑤
4、基本解：所有约束条件直线的交点对应的解，

即上图所有的实心点和空心点对应的解。
b
5、基本可行解：既是基本解又是可行解，
即上图所有的实心点对应的解。它满足两个条件：
k

其一是约束条件直线的交点对应的解；
h
⑤
其二是可行解，即满足所有的约束条件，
o
a
.确定决策变量: 设 xij 为从第 i 个矿山到第 j
个冶炼厂的矿石运输量(万 t ).
.确定目标函数: 设总运费为Z, 则
Min Z = 1.5x11 + 2x12 + 0.3x13 + 3x14 + 7x21 + 0.8x22 + 1.4x23 + 2x24 + 1.2x31 + 0.3x32 + 2x33 + 2.5x34
表 1.3 运 价 表
冶炼 厂 B1
矿山
A1 X11 1.5
A2 X21 7
A3 X31 1.2
需 要 量 50 (万 t )
B2
X12 2
X22 0.8
X32 0.3
70
B3
X13 0.3
X23 1.4
X33 2
80
B4
X14 3
X24 2
X34 2.5
30
产量 (万 t )
100 80 50 230
9x1 + 3x2 ≤ 720 C 设备可用工时约束
x1 , x2 ≥0
非负约束
2
二、L.P.数学模型的经济含义
1 、数学模型的三要素: ①.有一组待确定的决策变量。如(x1, x2)为一个具体行动方案。 ②.有一个明确的目标要求(Max或Min)。如要求利润最大。 ③.存在一组约束条件。如设备A、B、C三种资源的约束。
2 、数学模型中系数的含义:
Max Z = 70x1＋30x2 s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540
5x1 + 5x2 ≤ 450 9x1 + 3x2 ≤ 720 x1 , x2 ≥0
…① …② …③ …④ …⑤
①.目标函数中决策变量的系数70,30 ------ 叫价值系数，表单位产品提供的利润(元/件)；
则该数模称为线性规划数模。
2 、非线性规划模型：如果以上数学模型中的方程至少有一个方程是非线性方程，
则该数模称为非线性规划数模。
4
1.3 线性规划问题的建模
确定决策变量；确定目标函数；列出约束条件。 一、运输问题建模: 编制最优运输计划, 使总运费最少
例：某地有三个有色金属矿A1、A2、A3，生产同一种金属矿石，A1矿的年产量为100万吨， A2矿为80万吨，A3矿为50万吨。矿石全部供应四个冶炼厂，B1厂的全部需求量为50万吨， B2厂70为万吨，B3厂为80万吨，B4厂为30万吨。产量恰好等于总需求量，矿石由各矿山 运到冶炼厂的单位运价已知，如下表。问如何安排运输，使各矿山的矿石运到冶炼厂， 满足各厂的需要，且运输费用最小，试建立该问题的数学模型？
1946年，世界上第一台计算机问世，使单纯形法处理大规模L.P.数模成为可能。
三、 L.P.问题的求解过程
1、将实际问题转化为数学模型(数学公式)：建模。 2、求解数学模型：
图解法： 适合于 2 个变量的 L.P. 数学模型。 单纯形法：适合于任意个变量的 L.P. 数学模型。 3、利用数学模型的最优解获得原问题的最优决策方案。
第一章：线性规划
1.1 线性规划(Linear Programing --- L.P.)概述
一、L.P.概念：
L.P.是目前应用最广泛的一种系统优化方法。其理论已十分成熟，广泛应用于工农Hale Waihona Puke Baidu生产 和经济管理等领域。 以数学为工具，在一定资源条件下，如何合理安排，取得最大经济效果。
二、发展史：
30年代末(苏)康特罗维奇书“生产组织与计划中的数学方法”， 为L.P.建立数学模型和求解奠定了基础。 1、(美)库普曼(T.C. Koopmans)建立了L.P.数学模型，获诺贝经济奖。 2、(美)丹泽(G.B. Dantzig)在1947年提出求解L.P.数模的通用方法 --- 单纯形法。
1
1.2 线性规划及其数学模型
一、L.P.问题
例：某厂生产甲、乙两种产品，均需在A、B、C三种不同的设备上加工，产品加工所需工时、 销售后能获得的利润及设备有效工时数如下表。问：如何安排生产计划，才能使该厂获 得总利润最大？
设备 A
B
C
利润
单耗
(元/公斤)
产品
甲
3
5
9
70
乙
9
5
3
30
限制工时 540 450 720
解: ① 设甲、乙产品产量分别为x1、x2 公斤——— 决策变量，简称变量 ② 设总利润为Z，则
Max Z = 70x1＋30x2 ③ 设备可用工时数限制
——— 目标函数 ——— 约束条件
s.t. 3x1 + 9x2 ≤ 540 A 设备可用工时约束
5x1 + 5x2 ≤ 450 B 设备可用工时约束
s.t.
-----------------------------------------------------
am1 x1 + am2 x2 + --- + amn xn ≤(≥, =) bm xj ≥ 0 , j=1 --- n
1 、线性规划模型： 如果以上数学模型中的方程均是线性方程，
在可行解域内。
④③
② X1
3
四、L.P. 的一般形式
Max(Min) Z = c1 x1 + c2 x2 + --- + cn xn
a11 x1 + a12 x2 + --- + a1n xn ≤(≥, =) b1
a21 x1 + a22 x2 + --- + a2n xn ≤(≥, =) b2
②.约束条件左边决策变量的系数 ------ 叫约束条件系数或单耗(台时、kg 、kg/件)；
③.约束条件右边常数540,450,720 ------ 叫限制常数，表现有的资源限量。
三、线性规划数学模型的解
1、可行解：满足约束条件②、③、④、⑤的所有解。
2、可行解域：所有可行解的集合，上图阴影部分。 X2