2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版必修2
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提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与 底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与 上、下底面的半径． (3)简单组合体分割成几个几何体，其表面积有变化吗？其体 积呢？ 提示：表面积变大了，而体积不变．
探究点一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 [思考探究] 观察下列几何体的展开图：
[类题通法] 求几何体体积的常用方法
[针对训练]
2．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积
(1)怎样认识棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积？ 名师指津：①棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是由平行 四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展 开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积． ②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的 底面积的和．
(2)怎样认识旋转体的侧面积与表面积公式？ 名师指津：①求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时， 可直接使用公式．但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆， 因此，表面积的求解方法是最重要的． ②在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算 以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.
解：过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D.
因为 BC＝a，SD＝ SB2－BD2＝
a2－a22＝
3 2 a.
所以 S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2.
因此，四面体 S-ABC 的表面积 S＝4× 43a2＝ 3a2.
探究点二 柱体、锥体、台体的体积 [思考探究] 观察下面图形，思考如下问题：
提示：正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们 的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面 积．如图所示．
几何体表面积⇨展开图⇨平面图形面积
(2)北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递，圣火 由“祥云”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹 克精神．“祥云”火炬外形是细长的圆台形式，长 72 cm，重 985 克，燃料为丙烷． ①能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆盖多大的面 积？ 提示：可以，即计算圆台的表面积． ②能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？ 提示：可以，即计算其容积．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h， 则 V＝__13_(_S_′__＋___S_′__S_＋__S_)_h__.
三、综合迁移·深化思维 (1)如何求圆锥的侧面展开图的弧长？
提示：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长． (2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？
③这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解 题思路，那就是通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转 化为平面几何问题.
[典例精析]
(1)将边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋
转一周，所得几何体的3π
C．2π
D.π
(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥
[典例精析]
如图，三棱台 ABC-A1B1C1 中，AB∶A1B1＝1∶2，
求 三 棱 锥 A1-ABC ， 三 棱 锥 B-A1B1C ， 三 棱 锥
C-A1B1C1 的体积之比． [解] 设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S. ∴VA1-ABC＝13S△ABC·h＝S3h， VC-A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝4S3h. 又 V 台＝13h(S＋4S＋2S)＝7S3h， ∴VB-A1B1C＝V 台－VA1-ABC－VC-A1B1C1 ＝7S3h－S3h－4S3h＝2S3h. ∴体积比为 1∶2∶4.
的侧面积是底面积的
()
A．4 倍
B．3 倍
C. 2倍
D.2 倍
[解析] (1)由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底 面半径为 1，高为 1，其侧面积 S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.
(2)由已知得 l＝2r，SS侧 底＝ππrr2l＝rl＝2，故选 D.
[答案] (1)C (2)D
[类题通法] 空间几何体的表面积的求法技巧
二、归纳总结·核心必记 1．多面体的表面积
多面体的表面积就是 各个面 的面积的和，也就是展开图的
面积．
2．旋转体的表面积
圆
底面积：S底＝_π_r_2__
柱
侧面积：S侧＝_2_π_r_l__ 表面积：S＝_2_π__rl_＋__2_π_r_2 __
圆 锥
底面积：S底＝_π_r2__ 侧面积：S侧＝_π_r_l __ 表面积：S＝π_r_l_＋__π_r2___
圆 台
表面上侧下积底面底：面积面S面：＝面积πS_积(侧_r：_：′＝_S_S2_上＋_π下__底_l底r(__＝2r＝_＋＋___π__rπ_r_r_′′__r′__2____l)_2_＋_______rl_)_
3．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝_S_h__. (2)锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝__13_S_h_.
1.3 空间几何体的表面积与体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P23～P27，回答下列问题． (1)在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们
的展开图(教材图 1.3－1)，你知道正方体和长方体的展开图 的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？
怎样理解柱体、锥体和台体的体积公式？
名师指津：对于柱体、锥体、台体的体积公式的几点认识： ①等底、等高的两个柱体的体积相同． ②等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实 验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍． ③柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
④求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进 行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的 方法求台体的体积．
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和； (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理； (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要
将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与 底面圆的面积之和．
[针对训练]
1．如图，已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四 面体 S-ABC，求它的表面积．
探究点一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 [思考探究] 观察下列几何体的展开图：
[类题通法] 求几何体体积的常用方法
[针对训练]
2．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积
(1)怎样认识棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积？ 名师指津：①棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是由平行 四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展 开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积． ②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的 底面积的和．
(2)怎样认识旋转体的侧面积与表面积公式？ 名师指津：①求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时， 可直接使用公式．但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆， 因此，表面积的求解方法是最重要的． ②在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算 以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.
解：过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D.
因为 BC＝a，SD＝ SB2－BD2＝
a2－a22＝
3 2 a.
所以 S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2.
因此，四面体 S-ABC 的表面积 S＝4× 43a2＝ 3a2.
探究点二 柱体、锥体、台体的体积 [思考探究] 观察下面图形，思考如下问题：
提示：正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们 的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面 积．如图所示．
几何体表面积⇨展开图⇨平面图形面积
(2)北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递，圣火 由“祥云”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹 克精神．“祥云”火炬外形是细长的圆台形式，长 72 cm，重 985 克，燃料为丙烷． ①能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆盖多大的面 积？ 提示：可以，即计算圆台的表面积． ②能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？ 提示：可以，即计算其容积．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h， 则 V＝__13_(_S_′__＋___S_′__S_＋__S_)_h__.
三、综合迁移·深化思维 (1)如何求圆锥的侧面展开图的弧长？
提示：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长． (2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？
③这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解 题思路，那就是通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转 化为平面几何问题.
[典例精析]
(1)将边长为 1 的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋
转一周，所得几何体的3π
C．2π
D.π
(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥
[典例精析]
如图，三棱台 ABC-A1B1C1 中，AB∶A1B1＝1∶2，
求 三 棱 锥 A1-ABC ， 三 棱 锥 B-A1B1C ， 三 棱 锥
C-A1B1C1 的体积之比． [解] 设棱台的高为 h，S△ABC＝S，则 S△A1B1C1＝4S. ∴VA1-ABC＝13S△ABC·h＝S3h， VC-A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝4S3h. 又 V 台＝13h(S＋4S＋2S)＝7S3h， ∴VB-A1B1C＝V 台－VA1-ABC－VC-A1B1C1 ＝7S3h－S3h－4S3h＝2S3h. ∴体积比为 1∶2∶4.
的侧面积是底面积的
()
A．4 倍
B．3 倍
C. 2倍
D.2 倍
[解析] (1)由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底 面半径为 1，高为 1，其侧面积 S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.
(2)由已知得 l＝2r，SS侧 底＝ππrr2l＝rl＝2，故选 D.
[答案] (1)C (2)D
[类题通法] 空间几何体的表面积的求法技巧
二、归纳总结·核心必记 1．多面体的表面积
多面体的表面积就是 各个面 的面积的和，也就是展开图的
面积．
2．旋转体的表面积
圆
底面积：S底＝_π_r_2__
柱
侧面积：S侧＝_2_π_r_l__ 表面积：S＝_2_π__rl_＋__2_π_r_2 __
圆 锥
底面积：S底＝_π_r2__ 侧面积：S侧＝_π_r_l __ 表面积：S＝π_r_l_＋__π_r2___
圆 台
表面上侧下积底面底：面积面S面：＝面积πS_积(侧_r：_：′＝_S_S2_上＋_π下__底_l底r(__＝2r＝_＋＋___π__rπ_r_r_′′__r′__2____l)_2_＋_______rl_)_
3．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝_S_h__. (2)锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝__13_S_h_.
1.3 空间几何体的表面积与体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P23～P27，回答下列问题． (1)在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们
的展开图(教材图 1.3－1)，你知道正方体和长方体的展开图 的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？
怎样理解柱体、锥体和台体的体积公式？
名师指津：对于柱体、锥体、台体的体积公式的几点认识： ①等底、等高的两个柱体的体积相同． ②等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实 验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍． ③柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
④求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进 行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的 方法求台体的体积．
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和； (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理； (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要
将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与 底面圆的面积之和．
[针对训练]
1．如图，已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四 面体 S-ABC，求它的表面积．