2023届吉林省长春市新区数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，如果AP =3cm ，那么PP ′的长为（ ）
A ．43
B ．42
C ．33
D ．32
2．如图，l 1∥l 2∥l 3，若32
AB BC =，DF=6，则DE 等于（ ）
A ．3
B ．3.2
C ．3.6
D ．4
3．如图，已知A 、B 是反比例函数()k y k>0x>0x
=，上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C 匀速运动，终点为C ，过运动路线上任意一点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动的时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．小马虎在计算16-
13x 时，不慎将“-”看成了“+”，计算的结果是17，那么正确的计算结果应该是（ ） A ．15 B ．13 C ．7 D ．1-
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．80°
6．下列两个图形，一定相似的是（ ）
A ．两个等腰三角形
B ．两个直角三角形
C ．两个等边三角形
D ．两个矩形
7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）的对应值如下表所示： x … 0 5 4 … y … 0.37 -1 0.37 …
则方程ax 2＋bx ＋1.37＝0的根是（ ）
A ．0或4
B ．5或45-
C ．1或5
D ．无实根
8．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的四边形
B ．对角线互相垂直的四边形
C ．对角线相等的平行四边形
D ．对角线互相平分且垂直的四边形
9．如图，半径为3的⊙O 内有一点A ，OA=3，点P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ）
A 3
B 6
C ．3
D ．310．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )
A ．x 2＋1＝0
B ．x 2＋2x ＋1＝0
C ．x 2＋2x ＋3＝0
D ．x 2＋2x －3＝0
11．如图，ABC ∆内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，40ACB ∠=，点D 是弧BAC 上一点，连接CD ，则D ∠的度
A．50°B．45°C．40°D．35°
12．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别
交DE、BC于点F、G，那么AF
AG
的值为__________．
14．某一时刻，测得身高1.6m的同学在阳光下的影长为2.8m，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m，则教学楼的高为__________m.
15．如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例
函数y＝﹣4
x
和y＝
k
x
的图象上，则k的值为___．
16．如图三角形ABC是圆O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF平行AB，若AB等于6，则EF等于________.
17．计算sin30tan45sin45tan60
︒︒-︒︒=__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan 3DCB ∠=，则点D 的坐标为___________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）图1和图2中的正方形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形．
（1）如图1，连接DE ，BG ，M 为线段BG 的中点，连接AM ，探究AM 与DE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE 、BG ，M 为线段BG 的中点，连结AM ，探究AM 与DE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
20．（8分）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．
如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．
（1）求喷灌出的圆形区域的半径；
（2）在边长为16m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）
21．（8分）（1）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0；
（2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．请作出△A1B1C1，写出各顶点的坐标，并计算△A1B1C1的面积．
22．（10分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．
24．（10分）如图，反比例函数y＝k
x
（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象过格点（网格线的交点）B、P．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围是： ．
（3）在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O ，点P ；
②矩形的面积等于k 的值．
25．（12分）关于x 的一元二次方程()22
2120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根12x x 、. （1）求a 的取值范围；
（2）若12x x 、满足22121216x x x x +-=，求a 的值.
26．如图，O 是△ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是△ABC 的高．
（1）求证：△ACD ∽△CBD ；
（2）若AD =2，CD =4，求BD 的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】由题意易证ABP ACP '≌，则有3,AP AP BAP CAP ''==∠=∠，进而可得90PAP '∠=︒，最后根据勾
股定理可求解．
【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC ，
∵将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，
∴ABP ACP '≌，
∵AP=3cm ，
∴3,AP AP BAP CAP ''==∠=∠，
∵90BAP PAC ∠+∠=︒，
∴90CAP PAC '∠+∠=︒，即90PAP '∠=︒，
∴PAP '是等腰直角三角形，
∴PP '=
=；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
2、C
【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得： 3,2
AB DE BC EF == 设3,2,DE x EF x ==
5 6.DF x ∴==
解得： 1.2.x =
3 3.6.DE x ∴==
故选C.
3、A
【详解】解：①点P 在AB 上运动时，此时四边形OMPN 的面积S=K ，保持不变，故排除B 、D ；
②点P 在BC 上运动时，设路线O→A→B→C 的总路程为l ，点P 的速度为a ，则S=OC×CP=OC×（l ﹣at ），因为l ，OC ，a 均是常数，所以S 与t 成一次函数关系，故排除C ．
故选A ．
考点：动点问题的函数图象．
【详解】试题分析：由错误的结果求出x 的值，代入原式计算即可得到正确结果．
解：根据题意得：16+
13x=17， 解得：x=3，
则原式=16﹣
13
x=16﹣1=15， 故选A
考点：解一元一次方程．
5、D
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠ABC=90°
， ∴∠A=90°
-∠ACB=40°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°
， 故选D ．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6、C
【解析】根据相似三角形的判定方法 一一判断即可；
所应用判断方法:两角对应相等，两三角形相似.
【详解】解：∵两个等边三角形的内角都是60°，
∴两个等边三角形一定相似，
故选C ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7、B
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经
过点1)-，由于方程ax 2+bx+1.37=0变形为ax 2+bx+0.37=-1，则方程ax 2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应
的自变量的值，所以方程ax 2+bx+1.37=0的根为124x x ==【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
而抛物线经过点(5,1)-
所以抛物线经过点(45,1)--
方程ax 2+bx+1.37=0变形为ax 2+bx+0.37=-1，
所以方程ax 2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax 2+bx+1.37=0的根为125,45x x ==-.
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8、D
【解析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．
【详解】解：A 、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C 、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．
9、B
【解析】如图所示：
∵OA 、OP 是定值，
∴在△OPA 中，当∠OPA 取最大值时，PA 取最小值，
∴PA ⊥OA 时，PA 取最小值；
在直角三角形OPA 中,OA=3√，OP=3，
∴22=6OP OA -故选B.
点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用.解答此题的关键是找出“PA ⊥OA 时，∠OPA 最大”这一隐含条件. 当PA ⊥OA 时，PA 取最小值，∠OPA 取得最大值，然后在直角三角形OPA 中利用勾股定理求PA 的值即可． 10、D
【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】A 、△=0-4×
1×1=-4<0，没有实数根； B 、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；
C 、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D 、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故选D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 11、A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC 的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D 的度数．
【详解】解：∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵40ACB ∠=，
∴∠BAC=90°-40°=50°，
又∵∠BAC 与所对的弧相等，
∴∠D=∠BAC=50°，
故答案为A ．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．
12、C
【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】解：由二次函数2
6y x x m =-+得到对称轴是直线3x =，则抛物线与x 轴的两个交点坐标关于直线3x =对称，
∵其中一个交点的坐标为()1,0，则另一个交点的坐标为()5,0，
故选C ．
【点睛】
考查抛物线与x 轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、35
【分析】由题中所给条件证明△ADF ~△ACG ，可求出
AF AG 的值. 【详解】解：在△ADF 和△ACG 中，
AB =6，AC =5，D 是边AB 的中点
AG 是∠BAC 的平分线，
∴∠DAF=∠CAG
∠ADE ＝∠C
∴△ADF ~△ACG ∴
35
AF AD AG AC ==. 故答案为35. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.
14、11.1 【分析】根据题意可知， 1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长
，代入数据可得出答案． 【详解】解：由题意得出：
1.6
2.8=身高教学楼高影长教学楼影长， 即，1.62.825.2
=教学楼高 解得，教学楼高=11.1．
故答案为：11.1．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．
15、1．
【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E 过B 作BF ⊥y 轴于F ，通过△AOE ∽△BOF ，得到33AE OE OA OF BF OB ===，设4(,)A m m -，于是得到AE=-m ，4OE m =-，从而得到43(,3)B m m
，，于是求得结果． 【详解】解：过A 作AE y ⊥轴于E 过B 作BF y ⊥轴于F ，
90AOB ∠=︒，30ABC ∠=︒，
3tan 303
OA OB ∴︒==， 90OAE AOE AOE BOF ∠+∠=∠+∠=︒，
OAE BOF ∴∠=∠，
AOE BOF ∴∆∆∽，
∴33
AE OE OA OF BF OB
===， 设4(,)A m m -， AE m ∴=-，4OE m
=-， 33OF AE m ∴==-，433BF OE m ==-
， 43(,3)B m m
∴， 43
312k m m ∴=
=． 故答案为1．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.
16、35
【分析】设AC 与EF 交于点G ，由于EF ∥AB ，且D 是BC 中点，易得DG 是△ABC 的中位线，即DG=3；易知△CDG 是等腰三角形，可过C 作AB 的垂线，交EF 于M ，交AB 于N ；然后证DE=FG ，根据相交弦定理得BD •DC=DE •DF ，而BD 、DC 的长易知，DF=3+DE ，由此可得到关于DE 的方程，即可求得DE 的长，EF=DF+DE=3+2DE ，即可求得EF 的长；
【详解】解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
即DG=1
2
AB=3；
∵∠ACB=60°，BD=DC=1
2
BC，AG=GC=
1
2
AC，且BC=AC，
∴△CGD是等边三角形，∵CM⊥DG，
∴DM=MG；
∵OM⊥EF，
由垂径定理得：EM=MF，故DE=GF，
∵弦BC、EF相交于点D，∴BD×DC=DE×DF，
即DE×(DE+3)=3×3；
解得-3+35-3-35
；
∴EF=3+2×-3+35
2
=35
【点睛】
本题主要考查了相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，掌握相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理是解题的关键.
1716
【分析】先把特殊角的三角函数值代入原式，再计算即得答案．
【详解】解：原式=121613222
-⨯-⨯=． 故答案为：
162
-． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题型，熟记特殊角的三角函数值、正确计算是关键．
18、715,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】根据已知条件tan 3DCB ∠=，需要构造直角三角形，过D 做DH ⊥CR 于点H,用含字母的代数式表示出PH 、RH,即可求解．
【详解】
解：过点D 作DQ ⊥x 轴于Q,交CB 延长线于R,作DH ⊥CR 于H,
过R 做RF ⊥y 轴于F,
∵抛物线2
32y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， ∴A(1,0), B(2,0)C(0,2)
∴直线BC 的解析式为y=-x+2
设点D 坐标为(m,m ²-3m+2),R(m,-m+2),
∴DR=m ²-3m+2-(-m+2)=m ²-2m
∵OA=OB=2
∴∠CAO=ACO=45°=∠QBR=∠RDH,
∴2m ,
2(2)DH RH m ==-
(2)(4)
CH CR HR m m
∴=-=--=-
∵tan3
DCB
∠=
(2)
3
m
DH
CH
-
∴==
7
2
m
∴=
经检验是方程的解.
2
2
7715
3232
224
m m⎛⎫
∴-+=-⨯+=
⎪
⎝⎭
715
(,)
24
D
∴
故答案为：
715
(,)
24
D
【点睛】
本题考查了函数性质和勾股定理逆定理的应用还有锐角三角函数值的应用，本题比较复杂，先根据题意构造直角三角形．
三、解答题（共78分）
19、（1）AM=
1
2
DE，AM⊥DE，理由详见解析；（2）AM=
1
2
DE，AM⊥DE，理由详见解析.
【解析】试题分析：（1）AM=
1
2
DE，AM⊥DE，理由是：先证明△DAE≌△BAG，得DE=BG，∠AED=∠AGB，再根据直角三角形斜边的中线的性质得AM=
1
2
BG，AM=BM，则AM=
1
2
DE，由角的关系得∠MAB+∠AED=90°，所以∠AOE=90°，即AM⊥DE；（2）AM=
1
2
DE，AM⊥DE，理由是：作辅助线构建全等三角形，证明△MNG≌△MAB 和△AGN≌△EAD可以得出结论．
试题解析：（1）AM=
1
2
DE，AM⊥DE，理由是：
如图1，设AM交DE于点O，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，
∵∠DAE=∠BAG，
∴△DAE≌△BAG，
∴DE=BG，∠AED=∠AGB，
在Rt△ABG中，
∵M为线段BG的中点，
∴AM=1
2
BG，AM=BM，
∴AM=1
2 DE，
∵AM=BM，
∴∠MBA=∠MAB，
∵∠AGB+∠MBA=90°，
∴∠MAB+∠AED=90°，
∴∠AOE=90°，即AM⊥DE；
（2）AM=1
2
DE，AM⊥DE，理由是：
如图2，延长AM到N，使MN=AM，连接NG，∵MN=AM，MG=BM，∠NMG=∠BMA，
∴△MNG≌△MAB，
∴NG=AB，∠N=∠BAN，
由（1）得：AB=AD，
∴NG=AD，
∵∠BAN+∠DAN=90°，
∴∠N+∠DAN=90°，
∴NG⊥AD，
∴∠AGN+∠DAG=90°，
∵∠DAG+∠DAE=∠EAG=90°，
∴∠AGN=∠DAE，
∵NG=AD，AG=AE，
∴△AGN≌△EAD，
∴AN=DE，∠N=∠ADE，
∵∠N+∠DAN=90°，
∴∠ADE+∠DAN=90°，
∴AM⊥DE．
考点：旋转的性质；正方形的性质．
20、（1）8m ；（2）不可以，水管高度调整到0.7m ，理由见解析.
【分析】（1）根据题意设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，然后将（0,0.64）代入解析式求得a 的值，然后求解析式y=0时，x 的值，从而求得半径；（2）利用圆与圆的位置关系结合正方形，作出三个等圆覆盖正方形的图形，然后利用勾股定理求得圆的半径，从而使问题得解.
【详解】解：（1）由题意，设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（0,0.64）代入解析式，得910.64a += 解得：125a =- ∴最远的抛物线形水柱的解析式为21(3)125y x =-
-+ 当y=0时，21(3)1025x --+= 解得：128;2x x ==-
所以喷灌出的圆形区域的半径为8m ；
（2）如图，三个等圆覆盖正方形
设圆的半径MN=NB=ME=DE=r ，则2r 2r
∴在Rt△AMN 中，22216)(162)r r r -+=（
2(162560r r -++=
解得：8r =+（其中816+>，舍去）
∴88.5r =+≈
设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（8.5,0）代入
25.51=0a +
解得: 4=121a -
∴24(3)1121
y x =--+ 当x=0时，y=850.7121
≈ ∴水管高度约为0.7m 时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题意设抛物线为顶点式是本题的解题关键.
21、（1）x 1＝，x 2＝2；（2）A 1（﹣1，﹣1），B 1（﹣4，0），C 1（﹣4，2），△A 1B 1C 1的面积＝
12×2×2＝2． 【分析】（1）利用配方法得到（x ﹣2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1；然后写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标，利用三角形面积公式计算△A 1B 1C 1的面积．
【详解】解：（1）移项，得x 2﹣4x ＝﹣2，
配方，得x 2﹣4x+4＝﹣2+4，
即（x ﹣2）2＝2，
所以x ﹣2＝
所以原方程的解为x 1＝，x 2＝2；
（2）如图，△A 1B 1C 1为所作；A 1（﹣1，﹣1），B 1（﹣4，0），C 1（﹣4，2），△A 1B 1C 1的面积＝12
×2×2＝2．
【点睛】
本题主要考察作图-旋转变换、三角形的面积公式和解方程，解题关键是熟练掌握计算法则.
22、（1）∠BDC=1
2
α；（2）∠ACE=β；（3）DE=
9
2
．
【分析】（1）连接AD，设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，证明∠DAB＝β−γ，β＝90°−γ，∠ABD＝2γ，得出∠ABD＝2∠BDC，即可得出结果；
（2）连接BC，由直角三角形内角和证明∠ACE＝∠ABC，由点C为弧ABD中点，得出∠ADC＝∠CAD＝∠ABC ＝β，即可得出结果；
（3）连接OC，证明∠COB＝∠ABD，得出△OCH∽△ABD，则OH
BD
＝
OC
AB
＝
1
2
，求出BD＝2OH＝10，由勾股定
理得出AB22
AD BD
+＝26，则AO＝13，AH＝AO＋OH＝18，证明△AHE∽△ADB，得出AH
AD
＝
AE
AB
，求出
AE＝39
2
，即可得出结果．
【详解】（1）连接AD，如图1所示：设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝γ，
∵点C为弧ABD中点，
∴AC CD
=，
∴∠ADC＝∠CAD＝β，
∴∠DAB＝β﹣γ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴γ+β＝90°，
∴β＝90°﹣γ，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDC＝1
2
∠ABD＝
1
2
α；
（2）连接BC，如图2所示：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵点C为弧ABD中点，
∴AC CD
=，
∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，
∴∠ACE＝β；
（3）连接OC，如图3所示：
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴OH
BD
＝
OC
AB
＝
1
2
，
∴BD＝2OH＝10，
∴AB＝26，∴AO＝13，
∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，
∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，∴△AHE∽△ADB，
∴AH
AD
＝
AE
AB
，即
18
24
＝
AE
26
，
∴AE＝39
2
，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣39
2
＝
9
2
．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．
23、1
【分析】由勾股定理求出AB=1，由旋转的性质得出BE=BC=6，即可得出答案．
【详解】∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，
∴AB22
68
＝10，
由旋转的性质得：BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24、（1）y＝4
x
，y＝﹣
1
2
x+3；（2）2＜x＜1；（3）见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；
（3）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【详解】（1）∵反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象过格点P （2，2）， ∴k ＝2×
2＝1， ∴反比例函数的解析式为y ＝4x
， ∵一次函数y ＝mx +n 的图象过格点P （2，2），B （1，1），
∴2241m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得123
m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12
x +3； （2）一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围是2＜x ＜1，
故答案为2＜x ＜1．
（3）如图所示：
矩形OAPE 、矩形ODFP 即为所求作的图形．
【点睛】
此题是一道综合题，考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质，（3）中画矩形时把握矩形特点即可正确解答.
25、（1）3a <；（2）a=-1
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即为方程根的判别式大于0，由此可得关于a 的不等式，解不等式即可求出结果；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得关于a 的方程，解方程即可求出a 的值，再结合（1）的结论取舍即可.
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴()()
2221420a a a ∆=----->⎡⎤⎣⎦，解得：3a <， ∴a 的取值范围为：3a <；
（2）∵12,x x 是方程的两个根，∴()1221x x a +=-，2122x x a a =--，
∵22121216x x x x +-=，∴()2
1212316x x x x +-=， ∴()()
22213216a a a ----=⎡⎤⎣⎦，解得：121,6a a =-=，
∵3a <，∴1a =-.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的解法，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
26、（1）证明见解析；（2）8BD =．
【分析】（1）由垂直的定义，得到90ADC CDB ∠=∠=︒，由同角的余角相等，得到CAD BCD ∠=∠，即可得到结论成立；
（2）由（1）可知ACD CBD △∽△，得到
AD CD CD BD =，即可求出BD. 【详解】（1）证明：∵AB 是O 的直径，
∴90ACB ∠=︒．
∵CD AB ⊥，
∴90ADC CDB ∠=∠=︒．
∵90CAD ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，
∴CAD BCD ∠=∠．
∵ADC CDB ∠=∠,CAD BCD ∠=∠,
∴ACD CBD △∽△．
（2）解：由（1）得，ACD CBD △∽△ ∴
AD CD CD BD
=， 即244BD =， ∴8BD =．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.。