安阳市第一中学2024届直高三期末测试数学试题试卷

安阳市第一中学2024届直高三期末测试数学试题试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()
1
1f x f x +=-
()()0≠f x ，且在区间()20172018,
上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f
D ．以上情况均有可能
2．在ABC ∆中，30C =︒，2
cos 3
A =-
，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．
52
B ．2
C ．5
D ．
152
3．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为3
2
，则c =（ ）
A ．22
B ．4
C ．5
D ．32
4．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +
B ．1i -
C ．i
D ．i -
5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2
B ．0
C ．2-
D ．2±
6．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
142-=x y
B ．22
1714x y -=
C ．22
136x y -=
D ．22
1147
y x -=
7．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0 C ．1
D ．3
8．如图，在
中，点M 是边
的中点，将
沿着AM 翻折成
，且点不在平面
内，点是线段
上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
9．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．63π
B ．83π
C ．3π
D ．3π
10．已知函数()ln 1f x x =+，()12
2x g x e -
=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）
A ．1ln 22
+
B ．2e -
C ．1ln 22
-
D 12
e 11．已知双曲线2222:1x y a b
Γ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22
:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的
面积为3Γ的离心率为（ ）
A ．2
B 23
C ．
73
D ．
213
12．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n
n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数
为偶数，则6a =( )
A ．16
B ．25
C ．28
D ．33
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．直线2y ex b =+是曲线()0y lnx x =>的一条切线 2.7182(8e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)，则实数b =__________. 14．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省.
15．已知函数2
()log f x x =，在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上随机取一个数0x ，则使得0()f x ≥0的概率为 ． 16．已知,i j 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+a i j ，b j =，则a 与b 的夹角为______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a
b ，且
22cos cos A B -=3cos 3cos A A B B .
（Ｉ）求角C 的大小； （Ⅱ）若3c =
，求ABC ∆面积的取值范围.
18．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AB =2BC ，点Q 为AE 的中点.
（1）求证：AC //平面DQF ；
（2）若∠ABC =60°，AC ⊥FB ，求BC 与平面DQF 所成角的正弦值.
19．（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 2K k ≥ 0.10
0.05
0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
20．（12分）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A π
ωφ><<<）过点1(0,)2，且当6
x π
=时，函数()f x 取得最大值1.
（1）将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2
()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2
π
上的值域.
21．（12分）已知函数()2ln f x a x =+，()f x ax ≤. (1)求a 的值； (2)令()
()xf x g x x a
=
-在(,)a +∞上最小值为m ，证明：6()7f m <<. 22．（10分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等比
数列{}n b 的前3项．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列1n n n nb a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n
m T >，求整数m 的最大值； （3）是否存在数列{}n c 满足等式()111
122n
n i
n i i a
c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，
请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【题目详解】 由1
(1)()f x f x +=-
可得
1(2)[(1)1]()(1)
f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =，
因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>
即1
2
απβ>-， 所以1
cos cos()2
απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，
(cos )(sin )f f αβ<．
故选：B ． 【题目点拨】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 2、C 【解题分析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【题目详解】
过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-
，所以A 为钝角，且25sin 1cos 3
A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 3
2
32
6
A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形
ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即152
515236
BC -=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1
sin 2552
BD BC C ==⨯
=，即AC 边上的高为5. 故选：C
【题目点拨】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
3、D 【解题分析】
由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C =
=.通过13
sin 22
ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.
【题目详解】 解：
4sin 3cos c A C =，即4sin 3cos c A a C =
4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.
2
2
sin cos 1C C += ，则34
sin ,cos 55
C C =
=. 1133
sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.
22224
2cos 1521518
5
c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯
=，c ∴= 故选:D. 【题目点拨】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 4、C 【解题分析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【题目详解】
由()11z z i -=+得：()()()
2
11111i i z i i i i ++=
==-+- 本题正确选项：C 【题目点拨】
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 5、B 【解题分析】
根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，
进而算出()2019f . 【题目详解】
()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-
()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--
而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--
()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-
故()f x 为周期函数，且周期为4
()()201910f f ∴=-=
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 6、B 【解题分析】
根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为22
2x y -=k ．再把点(代入，
求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【题目详解】
∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则
k=16-2=14,即双曲线的方程为2
2
2x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22
x y 1714
-=
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 7、C 【解题分析】
先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。

【题目详解】
因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，21()()(1)2x f x g x x ++=+-，用x -替换x ，得
21()()(1)2x f x g x x -+-+-=-+- ，
化简得2
1
()()(1)2
x f x g x x -+-+=--，即1
2()()2
(1)x f x g x x -+-=--
令1x =，所以0(1)(1)201f g -=-=，故选C 。

【题目点拨】
本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

8、A 【解题分析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【题目详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故
，
故，故为
中点.
故选：. 【题目点拨】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 9、D 【解题分析】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =
63，三棱锥O EFG -体积为
2
3
，得到答案. 【题目详解】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.
正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD 中，OD R =，343
HD BC =
=
133R OH OA ==， 由勾股定理：2
2
2
433R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
⎝⎭，解得6R =246， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，
球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则126
2333R KO OA KA OA AH R R =-=-
=-==
， 所以三棱锥O EFG -体积为211362
434433
⨯
⨯⨯⨯=
， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.
【题目点拨】
本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10、A 【解题分析】
分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．
详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11
ln
ln ln 2222
t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令1
1()ln ln 22
t h t e t -=-+-，
则11'()t h t e t -=-，1
21"()0t h t e t
-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，
又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，
1(1)ln 22
h =
+，∴m n -的最小值是1
ln 22+．
故选A ．
点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，
转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错． 11、D 【解题分析】
由圆22
:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又12
22AF F AOF S S
ab ∆===，由
此求出a 的值，利用离心率公式，求出e . 【题目详解】
由题意得2b =，12AF F S ab ∆==
a ∴=3
e ∴==
. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 12、C 【解题分析】 依次递推求出6a 得解. 【题目详解】
n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1- 【解题分析】
根据切线的斜率为e ，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得b 的值.
【题目详解】
1y e x '==，则1x e =，所以切点为1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线为11y e x e ⎛⎫ ⎪⎝+-⎭=， 即2y ex =-，故1b =-.
故答案为：1-
【题目点拨】
本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.
14、12
【解题分析】
设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值．
【题目详解】
设圆柱的高为h ，底面半径为r .
∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位
∴2128r h ππ=，即2128h r
=. ∴该圆柱形的表面积为222212825622222S r rh r r r r r ππππππ=+=+⋅
=+. 令()22562g r r r ππ=+，则()2
2564g r r r ππ'=-. 令()0g r '>，得4r >；
令()0g r '<，得04r <<.
∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增.
∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时
12r h =. 故答案为：12
. 【题目点拨】
本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题．
15、23
【解题分析】
试题分析：2()log 0f x x =≥可以得出1x ≥，所以在区间1[,2]2上使()0f x ≥的范围为[1,2]，所以使得0()f x ≥0的概率为212.1322
P -==- 考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.
点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.
16、45︒
【解题分析】
依题意可得0i j =，再根据()2222a i j i i j j =
+=++求模，()2a b i j j i j j ⋅=+=+求数量积，最后根据夹角公式计算可得；
【题目详解】
解：因为,i j 是夹角为90︒的两个单位向量
所以0i j =，
又=+a i j ，
b j =
所以(
)222221a i j i i j j =+=++=+=1b j ==，()2
1a b i j j i j j ⋅=+=+=
所以1
cos ,2
21
a b
a b a b ⋅===⨯， 因为0,180a b ≤
≤
所以cos ,45a b =︒； 故答案为：45︒
【题目点拨】
本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）3C π=
；（Ⅱ）ABC S ∆∈ 【解题分析】
（Ｉ）根据22cos cos A B -=cos cos A A B B ，利用二倍角公式得到
1cos 21cos 222++-=A B 22A B ，再由辅助角公式得到sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据正
弦函数的性质求解.
（Ⅱ）根据（Ｉ）由余弦定理得到223a b ab =+-，再利用重要不等式得到3ab ≤，然后由1sin 2∆=
ABC S ab c 求解. 【题目详解】
（Ｉ）因为22cos cos A B -=
cos cos A A B B ，
所以1cos 21cos 222++-=A B 22A B ，
cos 2cos 22222
-=-A B A B ， sin 2sin 266A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 2266π
π
-=-A B 或2266A B π
π
π-+-=，
A B =或23A B π+=，
因为a b ， 所以23A B π+=
所以3C π
=；
（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+- ，
所以2232a b ab ab +=+≥，
所以3ab ≤，当且仅当a b =取等号，
又因为a b ，
所以3ab <，
所以1sin 2ABC S ab c ∆==∈ 【题目点拨】
本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18、（1）见解析（2 【解题分析】
（1）连接CE 交DF 于点M ，连接QM ，通过证明//QM AC ，证得//AC 平面PQF .
（2）建立空间直角坐标系，利用直线BC 的方向向量和平面DQF 的法向量，计算出线面角的正弦值.
【题目详解】
（1）证明：连接CE 交DF 于点M ，连接QM ，因为四边形CDEF 为正方形，所以点M 为CE 的中点，又因为Q 为AE 的中点，所以//QM AC ；
QM ⊂平面,DQF AC ⊄平面DQF ，
//AC ∴平面DQF .
（2）解：2AB BC =，设1BC =，则2AB =，在ABC 中，60ABC ︒∠=，由余弦定理得：
22221221cos603AC ︒=+-⨯⨯⨯=，
222,AC BC AB AC BC ∴+=∴⊥．
又,AC FB CB BF B ⊥⋂=，AC ∴⊥平面FBC ．AC FC ∴⊥．
,CD FC FC ⊥∴⊥平面ABCD ．
如图建立的空间直角坐标系D xyz -．
在等腰梯形ABCD 中，可得1CD CB ==．
3133(,,0),(0,0,1),(,0),(0,1,0),(0,1,1)2222A E B C F ∴-则311,,)442
Q -． 那么31311(,,0),(,,),(0,1,1)22442BC DQ DF =-
-=-= 设平面DQF 的法向量为(,,)n x y z =，
则有00n DQ n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3110420x y z y z ⎧-+=⎪⎪+=⎩
，取1y =，得(3,1,1)n =-． 设BC 与平面DQF 所成的角为θ，则||25|sin |cos ,|5||||
CB CB CB n n n θ⋅=<>==⋅．
所以BC 与平面DQF 所成角的正弦值为255
．
【题目点拨】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19、（1）144（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析
【解题分析】
（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；
（2）由题中数据计算2k 的值，对照临界值表可得答案；
（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得
X 可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.
【题目详解】
解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有()100372763-++=（人）
所以后三组频数依次为24，21，18，
所以视力在5.0以上的频率为0.18，
故全年级视力在5.0以上的的人数约为8000.18144⨯=人
（2）()2210044183261507.8957.8795050762419
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯k ，
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.
（3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为
81243
=，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，
X 可取0，1，2， ()()()021120626262222g 881123150,1,22828728⋅==========C C C C C C P X P X P X C C C ，
X 的数学期望()11215012 1.5282828=⨯
+⨯+⨯=E X . 【题目点拨】
本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.
20、 (1)()sin(2)6g x x π=-
；(2)[1,2]-. 【解题分析】
试题分析：
(1)由题意可得函数f(x)的解析式为()26f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，则()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. (2)整理函数h(x)的解析式可得：()226h x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，结合函数的定义域可得函数的值域为[]1,2-. 试题解析： (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26
ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭
，∵04ω<<，∴2ω= ()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭
， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭， 12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，值域为[]1,2-. 21、 (1)2a =；(2)见解析．
(1)将()f x ax ≤转化为2ln 0a ax x -+≤对任意0x >恒成立，令()2ln h x a ax x =-+，故只需max ()0h x ≤，即可求出a 的值；
(2)由(1)知22ln ()(2)2
x x x g x x x +=>-，可得22(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-，令()2ln 4s x x x =--，可证0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =，从而可确定()g x 在0(2,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，进而可得min 00()()g x g x x ==，即0m x =，即可证出0()()f m f x ==022ln x +02(6,7)x =-∈．
【题目详解】
函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()f x ax ≤对任意0x >恒成立，
即2ln 0a ax x -+≤对任意0x >恒成立，
令()2ln h x a ax x =-+，则()22ax h t a x x
-+'=-+=， 当0a ≤时，()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增，
又(1)0h =，所以当1x >时，()(1)0h x h >=，不符合题意；
当0a >时，令()0h x '=得2x a
=
， 当20x a <<时，()0h x '>；当2x a >时，()0h x '<， 所以()h t 在20,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以max 222()2ln 22ln 22ln h x h a a a a a a a ⎛⎫==-⋅+=-+-
⎪⎝⎭， 所以要使()0≤h x 在0x >时恒成立，则只需max ()0h x ≤，即22ln22ln 0a a -+-≤，
令()22ln22ln F a a a =-+-，0a >， 所以22()1a F a a a
-'=-=， 当02a <<时，()0F a '<；当2a >时，()0F a '>，
所以()F a 在(0,2) 单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以()(2)0F a F ≥=，
即22ln22ln 0a a -+-≥，又22ln22ln 0a a -+-≤，所以22ln22ln 0a a -+-=，
故满足条件的a 的值只有2
(2)由(1)知()22ln ()(2)2
xf x x x x g x x x a x +==>--，所以22(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-， 令()2ln 4s x x x =--，则22()1x s x x x -'=-
=， 当2x >，时()0s x '>，即()s x 在(2,)+∞上单调递增；
又(8)0s <，(9)0s >，所以0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =，
当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，
即()g x 在0(2,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，且002ln 40x x --= 所以200000000min 0000022ln 2(4)2()()222
x x x x x x x x g x g x x x x x ++--=====---， 即0m x =，所以000()()22ln 2(6,7)f m f x x x ==+=-∈，即6()7f m <<．
【题目点拨】
本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同时考查转化与化归的思想，属于中档题．
22、（2）1n a n =+，2n
n b =（2）1212n n T n +=-+，m 的最大整数是2．（3）存在，12n n c -= 【解题分析】
（2）由2124n n a S n +=++可得2123n n S a n -=++（2n ≥），然后把这两个等式相减，化简得11n n a a +=+，公差为2，
因为21a -，3a ，7a 为等比数列，所以()3271a a a 2=-，化简计算得，12a =，从而得到数列{}n a 的通项公式，再计
算出 21a -，3a ，7a ，从而可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，化简计算得10n n c c +->，从而可得数列{}n c 是递增的，所以只要n T 的最小值大于2020m 即可，而n T 的最小值为1113
T c ==，所以可得答案； （3）由题意可知，()()()()112132111112
2n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--， 即()1*
1212322,n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈，这个可看成一个数列的前n 项和，再写出其前（1n -）项和，两式相减得，()*12121,
n n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈，利用同样的方法可得()
1*2n n c n N -=∈. 【题目详解】
解：（2）由题，当1n =时，12225a S =+，即12225a a =+
当2n ≥时，2124n n a S n +=++ ① 2123n n S a n -=++ ②
①-②得22121n n n a a a +-=+，整理得()22
11n n a a +=+，又因为各项均为正数的数列{}n a ． 故{}11,n n n a a a +=+是从第二项的等差数列，公差为2．
又2371,,a a a -恰为等比数列{}n b 的前3项，
故()()()()2
23272221115a a a a a a =-⇒+=-+，解得23a =．又12225a a =+， 故12a =，因为211a a -=也成立．
故{}n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列．故211n a n n =+-=+．
即2，4，8恰为等比数列{}n b 的前3项，故{}n b 是以12b =为首项，公比为
422
=的等比数列， 故2n n b =．综上1n a n =+，2n n b = （2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，则 2+1111121(1)2222()3221
n n n n
n n n n n n n n n b nb c c a a a a n n n n ++++++++-=-=---++++ 22231
n n
n n +=-++ 2(31)0(3)(+1)
n n n n +=>+ 所以数列{}n c 是递增的，
若对*n N ∀∈均满足2020
n m T >，只要n T 的最小值大于2020m 即可 因为n T 的最小值为1113T c ==
， 所以20203
m <，所以m 的最大整数是2． （3）由()111122n
n i n i i a
c n ++-=-=--∑，得
()()()()1121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
()1*
1212322,n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈ ③ ()*123123(1)2(1)2,
2,n n n n c c c n c n n
n N ---+++⋯+-=---∈ ④ ③-④得，()*12121,n n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈ ⑤， ()1*123121,
2,n n n n c c c c n n N ----+++⋯+=-∈ ⑥ ⑤-⑥得，()
1*2n n c n N -=∈， 所以存在这样的数列{}n c ，()
1*2n n c n N -=∈ 【题目点拨】
此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.。