高考物理《第二部分第二天物体的曲线运动》二轮复习教案

第二天 物体的曲线运动
[知识回扣]
1．平抛运动(如图1所示) (1)平抛运动的规律
水平方向：匀速直线运动a x ＝0，v x ＝v 0，x ＝v 0t .
竖直方向：自由落体运动a y ＝g ，v y ＝gt ，y ＝12
gt 2
.
图1
瞬时速度：v ＝v 2
0＋v 2
y ＝v 2
0＋gt
2
＝v 2
0＋2gy ，v x ＝v 0＝v cos β，v y ＝v sin β.
tan β＝v y v x ＝
gt
v 0
. 合位移：s ＝x 2
＋y 2
，位移方向与水平方向的夹角为α：tan α＝y x ＝gt
2v 0.
(2)重要推论：
速度偏角与位移偏角的关系为tan β＝2tan α
平抛物体运动到任一位置A ，过A 点作其速度方向反向延长线交Ox 轴于C 点，有OC ＝x
2.
2．匀速圆周运动的规律
(1)v 、ω、T 、f 及半径的关系：T ＝1f ，ω＝2πT ＝2πf ，v ＝2π
T
·r ＝2πf ·r ＝ωr .
(2)向心加速度大小：a ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2f 2
r ＝4π2
T 2r .
(3)向心力大小：F ＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T
2r ＝4π2mf 2
r .
3．竖直平面内的圆周运动问题
(1)无支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点情况(如图2)：
图2
①临界条件：由mg ＋F T ＝mv 2
/R 知，小球速度越小，绳拉力或轨道压力F T 越小，但F T
的最小值只能为零，此时小球的重力提供向心力，小球恰能通过最高点，即mg ＝m v 2临
R
.
临界速度v 临＝gR .
②能过最高点条件：v ≥v 临(当v ≥v 临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力)． ③不能过最高点条件：v <v 临(实际上球还未到最高点就脱离了轨道)． (2)有支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点情况(如图3)：
图3
①临界条件：杆和环对小球有支持力的作用．
由mg －F N ＝m v 2
R
知，当v ＝0时，F N ＝mg (可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点)．
②当0<v <gR 时，支持力F N 向上且随v 增大而减小；且mg >F N >0. ③当v ＝gR 时，F N ＝0
④当v >gR 时，F N 向下(即拉力或压力)随v 增大而增大，方向指向圆心． 4．万有引力公式：F ＝G
m 1m 2r
2，其中G ＝6.67×10
－11 N·m 2/kg 2
(1)重力和万有引力的关系
①在赤道上，有G Mm R 2－mg ＝mRω2
＝mR 4π2
T 2.
②在两极时，有G Mm
R
2＝mg
(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
①由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝ GM R ，所以R 越大，v 越小．
②由G Mm R 2＝mω2
R ，得ω＝ GM R 3
，所以R 越大，ω越小．
③由G Mm R 2＝m 4π2T 2R 得T ＝ 4π2R 3
GM
，所以R 越大，T 越大．
(3)求中心天体的质量M 和密度ρ 由G Mm r
2＝m (2πT )2
r ，
可得M ＝4π2r 3GT 2，ρ＝M 43
πR
3＝3πr
3GR 3T
2.
当r ＝R ，即近地卫星绕中心天体运行时，ρ＝3π
GT
2.
[方法回扣]
1．平抛运动的处理方法
解答平抛运动问题要把握以下几点：
(1)根据实际问题判断是分解瞬时速度，还是分解运动的位移；
(2)将某时刻速度分解到水平方向和竖直方向，由于水平方向物体做匀速直线运动，所以水平分速度等于抛出时的初速度，竖直方向做自由落体运动，满足自由落体运动规律； (3)无论分解速度还是位移，都要充分利用图形中的已知角，过渡到分解后的矢量三角形中，再利用三角形的边角关系列式计算． 2．天体运动问题的分析思路和方法 (1)两条基本思路
①当天体转动时，由万有引力提供向心力
G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m (2πT
)2r 主要用于计算天体的质量，讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题．
②在地面附近万有引力近似等于物体的重力，G Mm
R
2＝mg .主要用于计算涉及重力加速度的问题．
(2)卫星变轨问题的分析方法
卫星绕天体稳定运行时，F 引＝m v 2r .当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，F 引和m v 2
r 不
再相等，因此不能再根据v ＝ GM r 来确定r 的大小．当F 引>mv 2
r
时，卫星做近心运动；
当F 引<mv 2
r
时，卫星做离心运动．
3．第一宇宙速度的计算方法
方法一 设想在地球表面附近有一颗人造地球卫星，地球对卫星的万有引力提供卫星做
圆周运动的向心力，由G mM R ＋h 2＝m v 2R ＋h ，得到v ＝ GM
R ＋h
.因为R ≫h ，所以v ≈
GM
R
，若已知地球的质量和半径，则可计算第一宇宙速度的值． 方法二 设想在地球表面附近有一颗人造地球卫星，它受到的重力近似等于地球对卫星的万有引力，而万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由mg ＝m
v 2R ＋h
得到v ＝
g R ＋h .因为R ≫h ，所以v ≈gR ，若已知地球表面附近的重力加速度和地球半径，
则可计算出第一宇宙速度的值． 4．中心天体质量和密度的计算方法
(1)当卫星绕行星或行星绕恒星做匀速圆周运动时，根据题目提供的不同条件，在下面四种情况下都可求解中心天体的质量：
①若已知卫星在某一高度的加速度g 和环绕的半径r ，根据G Mm r 2＝mg ，得M ＝gr 2
G
；
②若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v 和半径r ，根据G Mm r 2＝m v 2
r ，得M ＝rv 2
G
；
③若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r ，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r
3
GT 2
；
④若已知卫星运行的线速度v 和周期T ，根据G Mm r 2＝mv ·2πT 和r ＝vT 2π，得M ＝v 3T
2πG
.
(2)要想求中心天体的密度，还要知道中心天体的半径R ，由M ＝ρV 和V ＝43πR 3
求天体
的密度．
5．双星问题的分析方法
被相互引力组合在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星．双星绕公共圆心转动，如图4所示．双星系统具有以下几个特点：
图4
(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L
2＝m 2ω2
2r 2 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即
T 1＝T 2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为
r 1＋r 2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即
m 1m 2＝r 2r 1
(5)双星的运动周期
T ＝2π
L 3
G m 1＋m 2
(6)双星的总质量
m 1＋m 2＝4π2L
3T 2G
[习题精练]
1．如图5所示，隐形战斗机在竖直平面内作横8字形飞行表演，飞行轨迹
1→2→3→4→5→6→1，如果飞行员体重为G ，飞行圆周半径为R ，速率恒为v ，在A 、B 、
C 、
D 四个位置上，飞机座椅或保险带对飞行员的作用力分别为F N A 、F N B 、F N C 、F N D ，以下
关于这四个力的大小关系说法正确的是
( )
图5
A ．F N A ＝F N
B <F N
C ＝F N
D B ．F N A ＝F N B >F N C ＝F N D C ．F N C >F N A ＝F N B >F N D D ．F N D >F N A ＝F N B >F N C 答案 A
解析 设飞行员质量为m ，在A 、B 两点，F N A ＋G ＝m v 2R ，F N B ＋G ＝m v 2R ，则F N A ＝F N B ＝m v 2
R
－G ；
在C 、D 两点，F N C －G ＝m v 2R ，F N D －G ＝m v 2R ，则F N C ＝F N D ＝m v
2R
＋G ，故正确选项为A.
2．如图6所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同初速度水平抛出，小球
均落到斜面上．当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α1，当抛出的速度为v2时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α2，则( )
图6
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2大小如何，均有α1＝α2
D．α＝0
答案 C
解析tan φ＝tan (α＋θ＝2tan θ)，由几何知识知tan φ＝2tan θ，无论v多大，因θ不变，故φ不变，α也不变，所以无论v多大，α1＝α2，故A、B、D错误，C正确．
3．2010年10月1日，嫦娥二号卫星发射成功．作为我国探月工程二期的技术先导星，嫦娥二号的主要任务是为嫦娥三号实现月面软着陆开展部分关键技术试验，并继续进行月球科学探测和研究．如图7所示，嫦娥二号卫星的工作轨道是100 km环月圆轨道Ⅰ，为对嫦娥三号的预选着陆区——月球虹湾地区(图中B点正下方)进行精细成像，北京航天飞行控制中心对嫦娥二号卫星实施了降轨控制，嫦娥二号在A点轨道变为椭圆轨道Ⅱ，使其近月点在虹湾地区正上方B点，距月面大约15公里．下列说法正确的是
( )
图7
A．嫦娥二号卫星在A点的势能小于在B点的势能
B．嫦娥二号卫星变轨前后的机械能不相等
C．嫦娥二号卫星在轨道Ⅰ上的速度大于月球的第一宇宙速度
D．嫦娥二号卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在轨道Ⅰ上A点的加速度
答案 B
解析因为A点高度大于B点的高度，所以卫星在A点的势能大于在B点的势能，A项错误；因为变轨瞬间卫星点火减速，做向心运动，则其机械能变小，B项正确；因为轨道Ⅰ的半径大于月球半径，所以卫星在轨道Ⅰ上的速度小于月球的第一宇宙速度，C项
错；由a ＝GM
r
2知，D 项错误．
4．如图8所示，一个小球从高h ＝10 m 处以水平速度v 0＝10 m/s 抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知x AC ＝5 m(g ＝10 m/s 2
)，求：
图8
(1)P 、C 之间的距离；
(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向．
答案 (1)5 2 m (2)10 2 m/s ，垂直于斜面向下 解析 (1)设P 、C 之间的距离为x ，根据平抛运动规律有
x AC ＋x cos 45°＝v 0t h －x sin 45°＝12
gt 2
联立解得x ＝5 2 m ，t ＝1 s
(2)小球撞击P 点时的水平速度v x ＝v 0＝10 m/s ，竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s ，所以小球撞击P 点时速度的大小为v ＝v 2
0＋v 2
y ＝10 2 m/s ，设小球的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v 0
＝1，α＝45°，即方向垂直于斜面向下，所以小球垂直于斜面向下撞击P 点．。