高考数学第一轮复习知识点9——直线、平面、简单多面体
高二数学直线平面简单几何体知识点
高二数学直线平面简单几何体知识点
直线、平面、简单几何体是中学数学的三大内容之一，下面是店铺给大家带来的高二数学直线平面简单几何体知识点，希望对你有帮助。
直线平面简单几何体知识点
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。
画直观图时，把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°(或135° );(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半.(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度.
3、表(侧)面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= S底h：
⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=
⑷球体：①表面积：S= ;②体积：V=
4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写
(1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。
(2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。
(3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。
核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线
5、求角：(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形;
⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角
以上就是高二数学知识点：直线平面简单几何体，更多精彩请进入高中频道。
直线平面简单几何体练习题。
高中数学重点手册9——直线、平面、简单几何体
9．直线、平面、简单几何体「平面」平面是一个只描述而不定义的最基本的概念。
可以从下述几方面加深认识：①平面的最本质的一个属性就是具有无限延展性。
应注意把立体几何中的平面与日常接触到的平面严格加以区分，不能混为一谈。
作为立体几何概念的平面，已经不再具有平面形象物体的属性，它不计厚薄，不计质量，没有任何物理的或化学的属性。
②可以将平面几何中直线的无限延展性与立体几何中平面的无限延展性加以类比，从而加深对平面的认识：直线可以看成是一点沿一定方向运动以后形成的；平面可以看成是一条直线沿一定方向运动以后形成的。
一条直线把它所在平面分成两部分；一个平面把空间分成两部分。
「平面的画法及其表示法」用图形表示直线只有一种方法，而用图形表示平面的方法却不是惟一的。
它可以用常见的图形，如三角形、平行四边形、矩形、正方形、平面多边形和圆等表示。
总之，可以用任意封闭的平面图形表示平面。
值得注意的是，虽然是用有限的封闭图形表示具有无限延展性的平面，但不能动摇对平面无限延展性的认识。
立体几何中，通常用平行四边形表示平面，画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍，如图（1）所示，画非水平平面时，只要画成适当的平行四边形即可，如图（2）所示；画直立的平面时，应把一组对边用铅垂线表示，如图（3）所示。
一个平面通常用一个字母表示，如平面M，平在α，也可以用表示平面的平行四边形的顶点上的字母表示，如平面ABCD或平面AC。
「用集合符号表示点、直线和平面之间的基本关系」①点和平面的位置关系：点A在平面α内，记作A∈平面α；点B不在平面α内，记作B∉平面α。
②直线和平面的位置关系：直线l在平面M内，记作直线l⊂平面M，在不发生误会的前提下，可⊂；直线l不在平在M内，记作直线l⊂平面M。
以记作l M③平面和平面的位置关系：平面α和平面β相交于直线l，记作平面αI平面β=直线l。
「平面的基本性质」公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
高三数学第九章直线、平面、简单几何体知识点课件
a
命题
// , a a //
// , a , b a // b
l
// , l l
§9.5平面与平面垂直 一、垂直关系的转化（说出相关定理）：
面面 垂直 判定
A
D
C B
AB ,AB
b a // b
二、面面平行的判定 图形 面 面 平 行 的 判 定
命题 a b l
A
a ,b ,a b=A, a// ,b// //
l, l //
*
// , // //
三、面面平行的性质 图形 面 面 平 行 的 性 质
(2) (3) (7)
线线垂直(12)(13)
(8) (12)三垂线定理 (9) (13)三垂线逆定理
线面平行 (4) (5)
线面垂直 (10) (11)
面面平行(6)
面面垂直
9.1平面的性质
公理1
作用
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内， 判断直线在平 那么这条直线上所有的点都在这个平面 面内的依据 内 如果两个平面有一个公共点，那么它们 两个平面相交 还有其他公共点，且所有这些公共点的 以及它们的交 点共线的依据 集合是一条过这个公共点的直线
PA
§9.4线面平行与面面平行
一,直线与平面平行的判定和性质
线 面 平 行 判 定 线 面 平 行 性 质
a
a a//
a , b , a // b a //
高考数学必考知识点总结归纳
高考数学必考知识点总结归纳高考数学必考知识点总结直线、平面、简单多面体1.计算异面直线所成角的关键是平移(补形)转化为两直线的夹角计算2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线.3.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.4.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.如长方体中：对角线长，棱长总和为，全(表)面积为，(结合可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.5.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱锥三棱柱平行六面体6.多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体.正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.7.球体积公式。
球表面积公式，是两个关于球的几何度量公式.它们都是球半径及的函数.高考数学备考知识点任一x=A，x=B，记做ABAB，BAA=BAB={x|x=A，且x=B}AB={x|x=A，或x=B}Card(AB)=card(A)+card(B)—card(AB) (1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q，则p(2)AB，A是B成立的充分条件BA，A是B成立的必要条件AB，A是B成立的充要条件1、集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性2、集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法(3)集合的运算①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)②Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB(4)集合的性质n元集合的字集数：2n真子集数：2n—1;非空真子集数：2n—2高考数学重要知识点表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/(3-4倍根号2)化简：1×(3+4倍根号2)/(3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2)/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991可以分成1×1991，11×181所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。
高三复习九直线、平面、简单多面体
高三数学概念、方法、题型总结（九）九、直线、平面、简单多面体第一部分：数学高考基础知识详解1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图．．．．．．．。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。
尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 (5)二面角。
二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。
5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。
（2）掌握长方体的对角线的性质。
（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。
（4）S 侧＝各侧面的面积和。
思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥①棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）,性质②相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=31Sh7．球的相关概念：S球=4πR2V球＝34πR3经纬度,球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。
高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A4
• (2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC. • 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD， • 又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG. • 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF， • ∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC， • 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.
• 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两 个平面垂直，这是一个真命题，故C对；
• 对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.
• 2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重 合的直线，则下列命题中正确的是( )
• A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
• B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
• ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； • ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ； • ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面 • α垂直； • ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行
于平面β. • 上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题
的序号)． • 答案 ①②
• 又∵侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1， • ∴NC1⊥侧面BB1C1C. • 又∵NC1⊂面BNC1， • ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C， • 即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
• (3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明．
• 下面仅证明必要性(即由截面BMC1⊥侧面BB1C1C推出AM＝ MA1，实质是证明M是AA1的中点)，
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A4
微能力认证作业
• 一、直线与平面垂直 • 1．判定定理 • (1)如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂
高三数学一轮复习课件：直线与平面
点 B 不在直线 a 上（或直线 a 不经过点 A），记作：B a 。
（2）点与平面：
点 A 在平面 上（或平面 经过点 A），记作： A ；
点 B 不在平面 上（或平面 不经过点 A），记作： B 。
（3）直线与平面：
若直线 l 上的所有点都在平面 上，称直线 l 在平面 上（或平面 经过
且B
l
,
B
ห้องสมุดไป่ตู้
，则
l
；
B.若 Am ，且 m 不在 上，则 A ；
C.若
m,l
，且
m,l
，则 与
重合；
D.若 A、B、C ， A、B、C ，且 A、B、C 不共线，则与 重合
(2) 对 于 任 意 直 线 l 与 平 面 ， 在 平 面 内 必 有 直 线 m ， 使 得 m与l
（c ）
A.平行
3、直线和平面所成的角：
（1）平面 的斜线：
当直线 l 与平面 相交且不垂直 时，叫直线 l 与平面 斜交，直线 l 叫做平
面 的斜线。
（2）直线在平面上的射影：
设直线 l 与平面 斜交于点 M ，过 l 上任意点 A ，作平面 的垂线，垂足
为 O ，把点 O 叫做点 A 在平面上的射影，直线 OM 叫做直线 l 在平面 上
推论 3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。
作用 判断线在面内
判断和证明面面相交；证 明点在线上；证明三点共 线；证明三线共点。 确定平面的依据；证明平 面重合。
确定平面的依据；证明平 面重合。
确定平面的依据；证明平 面重合。 确定平面的依据；证明平 面重合。
二、空间直线与直线的位置关系：
1、空间两直线位置关系：
(九)直线、平面、简单多面体
九、直线、平面、简单多面体1、三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
这是判断直线在平面内的常用方法。
（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。
这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。
（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理3和三个推论是确定平面的依据。
如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；3、空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。
（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。
（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。
4、异面直线的判定：反证法、定义法。
5、异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。
两条异面直线的公垂线有且只有一条。
而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。
7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。
高考数学基础知识复习 第九章 直线、平面、简单的几何体
2008高考数学基础知识复习第九章直线、平面、简单的几何体引言立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面及空间直线1.平面的基本性质:(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面．注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测．．．．画．法．．其规则是：①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴,Ox Oy，再取0z轴，使90xOz∠=，且90yOz∠=；②画直观图时，把它们画成对应的轴,,O x O y O z''''''，使45x O y'''∠=(或135)，90x O z'''∠=,x Oy''所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段；④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。
2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；⑵平行直线───共面没有公共点；①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．⑶异面直线───不同在任．一平面内.平面 及空间直线(Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ，则a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是(0,90⎤⎦． (Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．注：①如图:设异面直线a ，b 所成角为θ, 则EF 2=m 2+n 2+d 2±2mnc os θ 或AB EF d AB⋅=②证明两条直线是异面直线一般用反证法。
高考数学第一轮复习 第九章 直线、平面、简单几何体课
有 上下两个平行平面 ,其余各面是相邻交线互相平行 的 平行四边形 的几何体;棱锥是有一个面是 多边 形 ,其余各面是有一个公共顶点的 三角形 的几何体, 台体是用平行于 底面 的平面去截锥体,截面与底面之
间的部分.
(1)要特别注意棱柱定义中“其余各面都是平行四边 形,且每相邻两个面的公共边都互相平行”的条件不能简化
3
r2h .
3.如果圆台的底面半径分别为 R,r,母线长为 l,高为 h
则其侧面积为 π(r+R)l ,全面积为 π(r+R)l+πr2+π
R2 ,体积为 1π(r2+rR+R2)h .
3
4.棱柱,棱锥,棱台的体积公式分别为
Sh , 1Sh , 1h(S+ ������������'+S') .
3
(2014 年四川卷)某三棱锥的侧(左)视图、俯视图如图
所示,则该三棱锥的体积是(
其中 S 为底面面积,h 为高)
).(锥体体积公式:V=1Sh,
3
A.3 B.2 C. 3 D.1
由三棱锥的侧(左)视图和俯视图可知,该三棱锥的
轴平行或重合的直线方向 不变 ,长度变为原来的 一
半 ,而与 x 轴平行或重合的直线方向、长度 都不变 .
3.三视图是几何体的正(主)视图、侧(左)视图和俯视 图的统称.三视图之间的规律是:正俯 长对正 ,正侧 高平齐 ,俯侧 宽相等 .三视图的摆放为正侧视图 水 平对齐 ,正俯视图 竖直对齐 .画三视图时要注意线的
为“其余各面都是平行四边形”.
(2)棱台(圆台)可以看成由棱锥(圆锥)截得的,但务必 要注意截面与底面平行,否则由棱锥(圆锥)截得的几何体
高考数学一轮复习必备：第71课时：第九章直线平面简单几何体平面的基本性质
高考数学一轮复习必备：第71课时：第九章直线平面简单几何体平面的基本性质课题：平面的差不多性质一．复习目标：把握平面的差不多性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 二．课前预习：1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，以下推理不正确的选项是 〔 C 〕()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1的等腰梯形，那么那个平面图形的面积是 〔 D 〕()A 2221+ ()B 221+ ()C 21+ ()D 22+ 3．关于空间三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 〔 B 〕()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，那么这五个点最多能够确定 7个 个平面 ． 三．例题分析：例1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分不与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．讲明：在立体几何的咨询题中，证明假设干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点差不αDC B AEFH多上某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 假设当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分不相交于E ，F ，G ， 那么A ，E ，F ，G ∈α． ∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．同理可证b ⊂α，c ⊂α．∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，那么设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分不交于点H ，K ，那么H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．讲明：证明假设干条线(或假设干个点)共面的一样步骤是：第一依照公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再依照公理1证明其余的线(或点)均在那个平面内．此题最容易忽视〝三线共点〞这一种情形．因此，在分析题意时，应认真推敲咨询题中每一句话的含义．例3．如图，点A ，B ，C 确定的平面与点D ，E ，F 确定的平面相交于直线l ，且直线AB 与l 相交于点G ，直线EF 与l 相交于点H ，试作出平面ABD 与平面CEF 的交线． 解：如图3，在平面ABC 内，连结AB ，与l 相交于点G ，那么G ∈平面DEF ；在平面DEF 内，连结DG ，与EF 相交于点M ，那么M ∈平面ABD ，且M ∈平面CEF ．因此，M 在平面ABD 与平面CEF 的交线上．同理，可作出点N ，N 在平面ABD 与平面CEF 的交线上．连结MN ，直线MN 即为所求．例4．如图，平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求E ·B AD· F C · ···E· B A l例3 G H D ·FC M ·· · αD C B Al 例4βα b a dc G F E A图1 a b c d α H K图2证：AB，CD，l共点〔相交于一点〕．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB CD＝M．又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α β．又∵α β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．讲明：证明多条直线共点时，一样要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．四．课后作业：1．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分不取点HGFE,,,，假如EF与HG相交于一点M，那么〔A〕()A M一定在直线AC上()B M一定在直线BD上()C M可能在直线AC上，也可能在直线BD上()D M既不在直线AC上，也不在直线BD上2．有以下命题：①空间四点中有三点共线，那么这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，那么这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是．答案：①③3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．4．四边形ABCD中，1=====BDDACDBCAB，那么成为空间四面体时，AC的取值范畴是．答案：)3,0(．5．如图，P、Q、R分不是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，假设直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线．证明：易证M，N，L∈平面PQR，且M，N，L∈平面BCD，因此M，N，L∈平面PQR 平面BCD，即M，N，L共线．6．如图，P、Q、R分不是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A BB1DD1CC1QP···ABCMNLPQRAA 1，BB 1，DD 1上的三点，试作出过P ，Q ，R 三点的截面图． 作法 ⑴连接PQ ，并延长之交A 1B 1的延长线于T ； ⑵连接PR ，并延长之交A 1D 1的延长线于S ；⑶连接ST 交C 1D 1、B 1C 1分不于M ，N ，那么线段MN 为平面PQR 与面A 1B 1C 1D 1的交线．⑷连接RM ，QN ，那么线段RM ，QN 分不是平面PQR与面DCC 1D 1，面BCC 1B 1的交线．得到的五边形PQNMR 即为所求的截面图〔如图4〕． 讲明 求作二平面的交线咨询题，要紧运用公理1．解题关键是直截了当或间接找出二平面的两个确定的公共点．有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．7．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，A 1C 1 B 1D 1＝O 1，B 1D 平面A 1BC 1＝P ． 求证：P ∈BO 1．证明 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵B 1D 平面A 1BC 1＝P ，∴P ∈平面A 1BC 1，P ∈B 1D ． ∵B 1D ⊂平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1，且P ∈平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ，∵A 1C 1 B 1D 1＝O 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，∴O 1∈平面A 1BC 1，且O 1∈平面BB 1D 1D ． 又B ∈平面A 1BC 1，且B ∈平面BB 1D 1D ， ∴平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ＝BO 1．∴P ∈BO 1．讲明一样地，要证明一个点在某条直线上，只要证明那个点在过这条直线的两个平面上．A 1 ABB 1 DD 1C C 1O 1PA 1 ABB 1 DD 1C C 1 STQP 图4N M。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
08高考数学第一轮复习知识点9——直线、平面、简单多面体
九、直线、平面、简单多面体
1、三个公理和三条推论：
（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件
（答 ：充分非必要）；
（2）给出命题：
①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则 l ⊂α；
②若A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β＝AB ；
③若l ⊄α ，A ∈l ，则A ∉α
④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线，则α与β重合
上述命题中，真命题是_____
（答 ：①②④）；
（3）长方体中ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=6，在线段BD ，A 1C 1上各有一点P 、Q ，在PQ 上有一点M ，且PM=MQ ，则M 点的轨迹图形的面积为_______
（答 ：24）
2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：
（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）
（答 ：A ）
（2）已知正A B C ∆的边长为a ，那么A B C ∆的平面直观图A B C '''∆的面积为___
（答 2
16a ） 3、空间直线的位置关系：
（1）空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH
的位置关系_____
（答：相交）；
（2）给出下列四个命题：
①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；
②两异面直线b
a,，如果a平行于平面α，那么b不平行平面α；
③两异面直线b
a平面α，那么b不垂直于平面α；
a,，如果⊥
④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。
其中正确的命题是_____
（答：①③）
4、异面直线的判定：
（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：
①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；
②ａ⊂面α，ｂ⊂面β且a∩b＝Φ；
③ａ⊂面α，ｂ⊂面β且α∩β＝Φ；
④ａ⊂面α，b⊄面α；
⑤不存在平面α，能使ａ⊂面α且ｂ⊂面α成立。
上述结论中，正确的是_____
（答：①⑤）；
（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是_____
（答：MN<a）；
（3）若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，则AC2+BD2= _____
（答：50）；
（4）如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：
①过点P一定可以作直线l与ａ、ｂ都相交；
②过点P一定可以作直线l与ａ、ｂ都垂直；
③过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行；
④过点P一定可以作直线l与ａ、ｂ都平行。
F D
C B A E
D 1
C 1B 1A 1
其中正确的结论是_____
（答 ：②）；
（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为__ （答 ：24）；
5、异面直线所成角θ的求法：
（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____
（答 ：33
）；
（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____ （答 ：90°）； （3）已知异面直线a 、b 所成的角为50°，P 为空间一点，则过P 且与a 、b 所
成的角都是30°的直线有且仅有____条
（答 ：2）；
（4）若异面直线,a b 所成的角为3π
，且直线c a ⊥，则异面直线,b c 所成角的范围
是____
（答 ：[,]62ππ
）；
6、异面直线的距离的概念：
（1）ABCD 是矩形，沿对角线AC 把ΔADC 折起，使AD ⊥BC ，求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；
7直线与平面的位置关系：
（1）下列命题中，正确的是
Ａ、若直线a 平行于平面α内的一条直线b , 则 a // α
Ｂ、若直线a 垂直于平面α的斜线b 在平面α内的射影，则a ⊥b
Ｃ、若直线a 垂直于平面α,直线b 是平面α的斜线，则a 与b 是异面直线 Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥
（答 ：D ）；
（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________
（答：线段B1C）。
10、直线与平面平行的判定和性质：
（1）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是
A、α⊥β，a⊥β
B、α∩β＝b，且a∥b
C、a∥b且b∥α
D、α∥β且a⊂β
（答：D）；
（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。
11、直线和平面垂直的判定和性质：
（1）如果命题“若y
x⊥”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示
⊥∥z，则z
x,
y
的几何图形一定是_____
（答：x、y是直线，z是平面）；
（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是
A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂ⊂α，ｃ⊂α
B、a⊥b ，ｂ∥α
C、α⊥β，ａ∥β
D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α
（答：D）；。