4命题演算(推理理论)
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(11) 破坏性二难推理规则 A→B → C→D → ∨¬D ¬B∨¬ ∨¬ ∴¬A∨¬C ∨
三、逻辑证明方法 判断有效结论的过程就是论证过程。 判断有效结论的过程就是论证过程。 基本方法： 基本方法：
（1）真值表法 ） （2）直接证明法 ） （3）间接证明法（反证法） ）间接证明法（反证法） 具体：等值演算、 主析取范式、 具体：等值演算、 主析取范式、构造证明法等
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直接证明法
(2) 写出证明的形式结构 前提： ∨ → 前提：(p∨q)→r, r→s, ¬s → 结论： ∧¬ ∧¬q 结论：¬p∧¬ (3) 证明（证明过程三列式） 证明（证明过程三列式） 序号 当前得到的结论 r→s ① → ② ¬s ③ ¬r (p∨q)→r ④ ∨ → ⑤ ¬(p∨q) ∨ ∧¬q ⑥ ¬p∧¬ ∧¬
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真值表法
例：判断下列推理是否正确。 今天杨尚树或去网吧或去教室。他没去教室，所以他 去网吧了。 设 p：杨尚树去网吧。q：杨尚树去教室。则， 前提：p ∨ q , ¬ q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧¬ q) →p
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真值表法
((p ∨ q) ∧¬ q) →p
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
当前得到结论的理由 P( 前提引入 前提引入) P T ①② (拒取式) ①②I P T ③④E (拒取式) ③④ T⑤E 德摩根率 ⑤
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附加前提证明法
适用于结论为蕴涵式(CP规则 规则) 附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式 规则 欲证 前提： 前提：A1, A2, …, Ak 结论： → 结论：C→B 等价地证明 前提： 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论： 结论：B 理由： 理由：(A1∧A2∧…∧Ak)→(C→B) ∧ → → ⇔¬( ⇔¬ A1∧A2∧…∧Ak)∨(¬C∨B) ∧ ∨¬ ∨ ⇔¬( ⇔¬ A1∧A2∧…∧Ak∧C)∨B ∧ ∨ ⇔ (A1∧A2∧…∧Ak∧C)→B ∧ →
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推理的形式结构
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B 若推理正确, 记为{A 若推理正确 记为 1,A2,…,An} …
B
2. A1∧A2∧…∧Ak→B ∧ 若推理正确, 记为A 若推理正确 记为 1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak ⇒ B 3. 前提： A1, A2, … , Ak 前提： 结论： B 结论：
解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 (1) 推理的形式结构 推理的形式结构: (p→q)∧p→q → ∧ → 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理1可知推理正确 由定理 可知推理正确
若对于每推出结论b的推理是有效的或正确的并称b是有效结论或称b可由a定理1由命题公式a若推理正确记为a若推理正确记为a破坏性二难每个等值式可产生两个推理定律前提引入规则p在推理过程中可以随时引入已知的前提
第四讲 命题逻辑的推理理论 命题逻辑的推理理论也称为命题演算 主要内容 一、推理的形式结构 二、推理定律和推理规则 三、逻辑证明方法
11 ¬p
T④⑤ 析取三段论 ④⑤I(析取三段论 ④⑤ 析取三段论) T⑥E 德摩根率 ⑥ T①⑦ 析取三段论 ①⑦I(析取三段论 ①⑦ 析取三段论) P T⑧⑨ （合取引入） ⑧⑨I（ ⑧⑨ 合取引入） 反证法
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二、推理定律——重言蕴涵式 推理定律——重言蕴涵式 ——
A ⇒ (A∨B) ∨ 附加律 (A∧B) ⇒ A ∧ 化简律 (A→B)∧A ⇒ B → ∧ 假言推理 (A→B)∧¬ ⇒ ¬A ∧¬B → ∧¬ 拒取式 (A∨B)∧¬ ⇒ A ∧¬B ∨ ∧¬ 析取三段论 (A→B)∧(B→C) ⇒ (A→C) → ∧ → → 假言三段论 (A↔B)∧(B↔C) ⇒ (A↔C) ↔ ∧ ↔ ↔ 等价三段论 (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒ (B∨D) → ∧ → ∧ ∨ ∨ 构造性二难 (A→B)∧(¬A→B) ⇒ B 构造性二难(特殊形式 特殊形式) → ∧¬ → 构造性二难 特殊形式 9. (A→B)∧(C→D)∧( ¬B∨¬ ⇒ (¬A∨¬ ∨¬D) ∨¬C) 破坏性二难 → ∧ → ∧ ∨¬ ¬ ∨¬ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 每个等值式可产生两个推理定律 ⇔¬¬A可产生 ⇒¬¬A ¬¬A⇒ 如, 由A⇔¬¬ 可产生 A⇒¬¬ 和 ¬¬ ⇒A ⇔¬¬
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归谬法实例
前提： 例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p ∧ ∨ → 结论：¬q 结论： 证明 用归缪法 P(附加前提 附加前提) ①q 附加前提 P ② r→s → P ③ ¬s T②③ （拒取式） ②③I（ ④ ¬r ②③ 拒取式） P ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨
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⑥ ¬(p∧q) ∧ ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑧ ¬p ⑨p 矛盾） ¬p∧p (矛盾） ∧ 矛盾Leabharlann ¬q1 0 1 0
(p ∨ q) ∧ ¬ q 0 0 1 0
((p ∨ q) ∧ ¬ q) →p 1 1 1 1
该命题公式为重言式，说明推理正确， 该命题公式为重言式，说明推理正确，所以杨 尚树去网吧
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 天是5号 天是 号. (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 天是1号 天是 号.
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一、推理的形式结构
定义1 为命题公式. 定义 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式 若对于每 为命题公式 组 赋 值 ， A1∧A2∧…∧ Ak 为 假 ， 或 当 ∧ A1∧A2∧…∧Ak为真时 ， B也为真， 则称由 前提 1, 也为真， 前提A ∧ 为真时， 也为真 则称由前提 推出结论 结论B的 推理是 有效的或 正确的, A2, …, Ak 推出 结论 的 推理 是 有效的 或 正确的 并称B是有效结论或称B可由 可由A 并称 是有效结论或称 可由 1, A2, …, Ak逻辑推 出. 定理1 由命题公式A 定理 由命题公式 1, A2, …, Ak 推B的推理正确当 的推理正确当 且仅当A 且仅当 1∧A2∧…∧Ak→B为重言式 ∧ 为重言式
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附加前提证明法实例
(3) 证明 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
s p→r → r→¬ →¬s →¬ p→¬ →¬s →¬ ¬p p∨q ∨ q
CP规则 规则 P P T ②③I (假言三段论) ②③I (假言三段论 假言三段论) T ①④ (拒取式 ①④I 拒取式 拒取式) P T⑤⑥ (析取三段论 ⑤⑥I 析取三段论) ⑤⑥ 析取三段论
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推理规则
(4) 假言推理规则 A→B → A ∴B (6) 化简规则 A∧B ∧ ∴A (8) 假言三段论规则 A→B → B→C → ∴A→C → (5) 附加规则 A ∴A∨B ∨ (7) 拒取式规则 A→B → ¬B ∴¬ A (9) 析取三段论规则 A∨B ∨ ¬B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 A→B → C→D → A∨C ∨ ∴B∨D ∨ (12) 合取引入规则 A B ∴A∧B ∧
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引言
数理逻辑的推理理论主要研究推理的“思维过程” 数理逻辑的推理理论主要研究推理的 “ 思维过程 ” ， 为推理提供一定的推理规则。 为推理提供一定的推理规则 。 它只关心从前提得到 结论这种推理的正确有效性。无论前提是否真得正 结论这种推理的正确有效性。 它总是假设其是成立的。 确 ， 它总是假设其是成立的 。 所以推理的正确性和 结论的正确性可能是不一致的。 结论的正确性可能是不一致的 。 推理理论在应用上 常常是将一些定理，定律，公理和条件作为前提， 常常是将一些定理 ， 定律 ， 公理和条件作为前提 ， 通过推理得到新的定理。 通过推理得到新的定理。
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构造下面推理的证明： 例2 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若明天是星期一或星期三，我明天就有课 若我明 天有课，今天必备课. 我今天没备课. 所以， 天有课，今天必备课 我今天没备课 所以，明天不 是星期一、也不是星期三. 是星期一、也不是星期三 解 (1) 设命题并符号化 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， ：明天是星期一， ：明天是星期三， r：我明天有课，s：我今天备课 ：我明天有课， ： (2) 写出证明的形式结构 前提： ∨ → 前提：(p∨q)→r, r→s, ¬s → 结论： ∧¬ ∧¬q 结论：¬p∧¬
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推理规则
(1) 前提引入规则 前提引入规则(P) 在推理过程中，可以随时引入已知的前提。 (2) 结论引入规则 结论引入规则(T) 在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的 前提引用。 (3) 置换规则 置换规则(R) 在推理过程中，命题公式中的子公式都可以用与之等值的命 题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。 代入规则(S) (4) 代入规则(S) 在推理过程中，重言式中的任一命题变元都可以用一命题公 式代入，得到的仍是重言式。
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归谬法（反证法） 归谬法（反证法）
反证法) 归谬法 (反证法 反证法 欲证 前提： 前提：A1, A2, … , Ak 结论： 结论：B 做法 在前提中加入¬ ，推出矛盾. 在前提中加入¬B，推出矛盾 理由 A1∧A2∧…∧Ak→B ∧ ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧Ak)∨B ∧ ∨ ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧Ak∧¬ ∧ ∧¬B) ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧Ak∧¬ ∨0 ∧ ∧¬B)∨ ⇔ A1∧A2∧…∧Ak∧¬ →0 ∧ ∧¬B→
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推理实例
→ ∧ → (2) 推理的形式结构 (p→q)∧q→p 推理的形式结构: 用主析取范式法 (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m0∨m2∨m3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值
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附加前提证明法实例
例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数 若2是素数，则 是素数或合数. 是素数， 是无理数. 是素数或合数 是素数 是无理数 若 是无理 不是素数. 是素数， 是合数. 数，则4不是素数 所以，如果 是素数，则2是合数 不是素数 所以，如果4是素数 是合数 解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， 是素数， ： 是合数 是合数， ： 是素数 r： 是无理数，s：4是素数 是无理数， ： 是素数 ： (2) 推理的形式结构 前提： ∨ →¬s 前提：p∨q, p→r, r→¬ → →¬ 结论： → 结论：s→q
(11) 破坏性二难推理规则 A→B → C→D → ∨¬D ¬B∨¬ ∨¬ ∴¬A∨¬C ∨
三、逻辑证明方法 判断有效结论的过程就是论证过程。 判断有效结论的过程就是论证过程。 基本方法： 基本方法：
（1）真值表法 ） （2）直接证明法 ） （3）间接证明法（反证法） ）间接证明法（反证法） 具体：等值演算、 主析取范式、 具体：等值演算、 主析取范式、构造证明法等
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直接证明法
(2) 写出证明的形式结构 前提： ∨ → 前提：(p∨q)→r, r→s, ¬s → 结论： ∧¬ ∧¬q 结论：¬p∧¬ (3) 证明（证明过程三列式） 证明（证明过程三列式） 序号 当前得到的结论 r→s ① → ② ¬s ③ ¬r (p∨q)→r ④ ∨ → ⑤ ¬(p∨q) ∨ ∧¬q ⑥ ¬p∧¬ ∧¬
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真值表法
例：判断下列推理是否正确。 今天杨尚树或去网吧或去教室。他没去教室，所以他 去网吧了。 设 p：杨尚树去网吧。q：杨尚树去教室。则， 前提：p ∨ q , ¬ q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧¬ q) →p
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真值表法
((p ∨ q) ∧¬ q) →p
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
当前得到结论的理由 P( 前提引入 前提引入) P T ①② (拒取式) ①②I P T ③④E (拒取式) ③④ T⑤E 德摩根率 ⑤
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附加前提证明法
适用于结论为蕴涵式(CP规则 规则) 附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式 规则 欲证 前提： 前提：A1, A2, …, Ak 结论： → 结论：C→B 等价地证明 前提： 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论： 结论：B 理由： 理由：(A1∧A2∧…∧Ak)→(C→B) ∧ → → ⇔¬( ⇔¬ A1∧A2∧…∧Ak)∨(¬C∨B) ∧ ∨¬ ∨ ⇔¬( ⇔¬ A1∧A2∧…∧Ak∧C)∨B ∧ ∨ ⇔ (A1∧A2∧…∧Ak∧C)→B ∧ →
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推理的形式结构
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B 若推理正确, 记为{A 若推理正确 记为 1,A2,…,An} …
B
2. A1∧A2∧…∧Ak→B ∧ 若推理正确, 记为A 若推理正确 记为 1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak ⇒ B 3. 前提： A1, A2, … , Ak 前提： 结论： B 结论：
解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 (1) 推理的形式结构 推理的形式结构: (p→q)∧p→q → ∧ → 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理1可知推理正确 由定理 可知推理正确
若对于每推出结论b的推理是有效的或正确的并称b是有效结论或称b可由a定理1由命题公式a若推理正确记为a若推理正确记为a破坏性二难每个等值式可产生两个推理定律前提引入规则p在推理过程中可以随时引入已知的前提
第四讲 命题逻辑的推理理论 命题逻辑的推理理论也称为命题演算 主要内容 一、推理的形式结构 二、推理定律和推理规则 三、逻辑证明方法
11 ¬p
T④⑤ 析取三段论 ④⑤I(析取三段论 ④⑤ 析取三段论) T⑥E 德摩根率 ⑥ T①⑦ 析取三段论 ①⑦I(析取三段论 ①⑦ 析取三段论) P T⑧⑨ （合取引入） ⑧⑨I（ ⑧⑨ 合取引入） 反证法
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二、推理定律——重言蕴涵式 推理定律——重言蕴涵式 ——
A ⇒ (A∨B) ∨ 附加律 (A∧B) ⇒ A ∧ 化简律 (A→B)∧A ⇒ B → ∧ 假言推理 (A→B)∧¬ ⇒ ¬A ∧¬B → ∧¬ 拒取式 (A∨B)∧¬ ⇒ A ∧¬B ∨ ∧¬ 析取三段论 (A→B)∧(B→C) ⇒ (A→C) → ∧ → → 假言三段论 (A↔B)∧(B↔C) ⇒ (A↔C) ↔ ∧ ↔ ↔ 等价三段论 (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒ (B∨D) → ∧ → ∧ ∨ ∨ 构造性二难 (A→B)∧(¬A→B) ⇒ B 构造性二难(特殊形式 特殊形式) → ∧¬ → 构造性二难 特殊形式 9. (A→B)∧(C→D)∧( ¬B∨¬ ⇒ (¬A∨¬ ∨¬D) ∨¬C) 破坏性二难 → ∧ → ∧ ∨¬ ¬ ∨¬ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 每个等值式可产生两个推理定律 ⇔¬¬A可产生 ⇒¬¬A ¬¬A⇒ 如, 由A⇔¬¬ 可产生 A⇒¬¬ 和 ¬¬ ⇒A ⇔¬¬
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归谬法实例
前提： 例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p ∧ ∨ → 结论：¬q 结论： 证明 用归缪法 P(附加前提 附加前提) ①q 附加前提 P ② r→s → P ③ ¬s T②③ （拒取式） ②③I（ ④ ¬r ②③ 拒取式） P ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨
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⑥ ¬(p∧q) ∧ ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑧ ¬p ⑨p 矛盾） ¬p∧p (矛盾） ∧ 矛盾Leabharlann ¬q1 0 1 0
(p ∨ q) ∧ ¬ q 0 0 1 0
((p ∨ q) ∧ ¬ q) →p 1 1 1 1
该命题公式为重言式，说明推理正确， 该命题公式为重言式，说明推理正确，所以杨 尚树去网吧
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 天是5号 天是 号. (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 天是1号 天是 号.
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一、推理的形式结构
定义1 为命题公式. 定义 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式 若对于每 为命题公式 组 赋 值 ， A1∧A2∧…∧ Ak 为 假 ， 或 当 ∧ A1∧A2∧…∧Ak为真时 ， B也为真， 则称由 前提 1, 也为真， 前提A ∧ 为真时， 也为真 则称由前提 推出结论 结论B的 推理是 有效的或 正确的, A2, …, Ak 推出 结论 的 推理 是 有效的 或 正确的 并称B是有效结论或称B可由 可由A 并称 是有效结论或称 可由 1, A2, …, Ak逻辑推 出. 定理1 由命题公式A 定理 由命题公式 1, A2, …, Ak 推B的推理正确当 的推理正确当 且仅当A 且仅当 1∧A2∧…∧Ak→B为重言式 ∧ 为重言式
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附加前提证明法实例
(3) 证明 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
s p→r → r→¬ →¬s →¬ p→¬ →¬s →¬ ¬p p∨q ∨ q
CP规则 规则 P P T ②③I (假言三段论) ②③I (假言三段论 假言三段论) T ①④ (拒取式 ①④I 拒取式 拒取式) P T⑤⑥ (析取三段论 ⑤⑥I 析取三段论) ⑤⑥ 析取三段论
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推理规则
(4) 假言推理规则 A→B → A ∴B (6) 化简规则 A∧B ∧ ∴A (8) 假言三段论规则 A→B → B→C → ∴A→C → (5) 附加规则 A ∴A∨B ∨ (7) 拒取式规则 A→B → ¬B ∴¬ A (9) 析取三段论规则 A∨B ∨ ¬B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 A→B → C→D → A∨C ∨ ∴B∨D ∨ (12) 合取引入规则 A B ∴A∧B ∧
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引言
数理逻辑的推理理论主要研究推理的“思维过程” 数理逻辑的推理理论主要研究推理的 “ 思维过程 ” ， 为推理提供一定的推理规则。 为推理提供一定的推理规则 。 它只关心从前提得到 结论这种推理的正确有效性。无论前提是否真得正 结论这种推理的正确有效性。 它总是假设其是成立的。 确 ， 它总是假设其是成立的 。 所以推理的正确性和 结论的正确性可能是不一致的。 结论的正确性可能是不一致的 。 推理理论在应用上 常常是将一些定理，定律，公理和条件作为前提， 常常是将一些定理 ， 定律 ， 公理和条件作为前提 ， 通过推理得到新的定理。 通过推理得到新的定理。
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构造下面推理的证明： 例2 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若明天是星期一或星期三，我明天就有课 若我明 天有课，今天必备课. 我今天没备课. 所以， 天有课，今天必备课 我今天没备课 所以，明天不 是星期一、也不是星期三. 是星期一、也不是星期三 解 (1) 设命题并符号化 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， ：明天是星期一， ：明天是星期三， r：我明天有课，s：我今天备课 ：我明天有课， ： (2) 写出证明的形式结构 前提： ∨ → 前提：(p∨q)→r, r→s, ¬s → 结论： ∧¬ ∧¬q 结论：¬p∧¬
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推理规则
(1) 前提引入规则 前提引入规则(P) 在推理过程中，可以随时引入已知的前提。 (2) 结论引入规则 结论引入规则(T) 在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的 前提引用。 (3) 置换规则 置换规则(R) 在推理过程中，命题公式中的子公式都可以用与之等值的命 题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。 代入规则(S) (4) 代入规则(S) 在推理过程中，重言式中的任一命题变元都可以用一命题公 式代入，得到的仍是重言式。
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归谬法（反证法） 归谬法（反证法）
反证法) 归谬法 (反证法 反证法 欲证 前提： 前提：A1, A2, … , Ak 结论： 结论：B 做法 在前提中加入¬ ，推出矛盾. 在前提中加入¬B，推出矛盾 理由 A1∧A2∧…∧Ak→B ∧ ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧Ak)∨B ∧ ∨ ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧Ak∧¬ ∧ ∧¬B) ⇔ ¬(A1∧A2∧…∧Ak∧¬ ∨0 ∧ ∧¬B)∨ ⇔ A1∧A2∧…∧Ak∧¬ →0 ∧ ∧¬B→
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推理实例
→ ∧ → (2) 推理的形式结构 (p→q)∧q→p 推理的形式结构: 用主析取范式法 (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m0∨m2∨m3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值
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附加前提证明法实例
例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数 若2是素数，则 是素数或合数. 是素数， 是无理数. 是素数或合数 是素数 是无理数 若 是无理 不是素数. 是素数， 是合数. 数，则4不是素数 所以，如果 是素数，则2是合数 不是素数 所以，如果4是素数 是合数 解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， 是素数， ： 是合数 是合数， ： 是素数 r： 是无理数，s：4是素数 是无理数， ： 是素数 ： (2) 推理的形式结构 前提： ∨ →¬s 前提：p∨q, p→r, r→¬ → →¬ 结论： → 结论：s→q