河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题

河北省石家庄市2021届高中毕业班第|一次模拟考试
理科数学试题
(时间120分钟 ,总分值150分 )
考前须知：
1. 本试卷分第I 卷 (选择题 )和第II 卷 (非选择题 )两局部 ,答卷前 ,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 答复第I 卷时,选出每题答案后 ,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 答复第II 卷时 ,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4. 考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回.
第I 卷(选择题,共60分 )
一、选择题:本大题共12小题 ,每题5分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目 要求的.
1.复数z =1 -i,那么
z z
+1
对应的点所在的象限为 A.第|一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 假设集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ,}02|{2>-∈=x x R x B ,那么)(B C A R 所含的元素个数为
A. O
B. 1
C. 2
D. 3
3. 设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .假设P(ξ ,那么p(0<ξ<1)的值为 A. B C.0.4 D.
4 双曲线的一个焦点与抛物线x 2
=20y 的焦点重合 ,且其渐近线的方程为3x ±4y =0,那么 该双曲线的标准方程为
A. 116922=-y x
B. 191622=-y x
C. 116922=-x y
D. 19
162
2=-x y
5. 执行右面的程序框图 ,输出的S 值为 A. 1
B. 9
C. 17
D. 20
6. 等比数列{a n } ,且dx x a a ⎰
-=+2
2644 ,那么a 6(a 3 +2a 6 +a 10))的值为
A. π2
B. 4
C. π
D. -9π
7. 现釆用随机模拟的方法估计该运发动射击4次 ,至|少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数 ,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运发动射击4次至|少击中3次的概率为
A. 0.852
B. 0.8192
C O.8
D.
8. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),假设B(3,
2
5
)是 使得z =ax -y 取得最|大值的最|优解,那么实数a 的取值范围为
A. 21-
≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 02
1
≤≤-a 9. 假设函数)0)(2
sin(
)(>+=A x A x f ϕπ
满足f(1) =0,那么
A.f(x -2) -定是奇函数
B.f(x +1) -定是偶函数
C. f(x +3)一定是偶函数
D, f(x -3)一定是奇函数
10. 正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所 示,那么此三棱锥的外接球的外表积为
A 4π B, 12π
C.
316π D. 3
64π 11. 数列{a n },4
1
,32,23,14,31,22,13,21,12,11… ,依它的10项的规律 ,那么a 99 +a 100 的值为
A 2437
B 67. C. 1511 D. 15
7 -
12. 定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为)(x f ' ,当0≠x 时 ,0)
()(>+
'x
x f x f ,假设)2(ln 2
1
ln ),2(2),21(21f c f b f a =--==
,那么以下关于a,b,c 的大小关系正确的选项是 A. a>b>c B, a>c>b
C. c>b>a
D. b>a>c
第II 卷(非选择题,共90分 )
本卷包括必考题和选考题两局部,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空題,本大通共4小题,每题5分,共20分.
13.过点(2,3)与圆(x -1)2
+y 2
=1相切的直线方程为_____.
14. 如图,正方形ABCD 中,EF//AB,假设沿EF 将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD =1：1：2,那么AF 与CE 所成的角的余弦值为______.
15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训 ,培训工程及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个工程 ,并且舞蹈和演唱工程必须 有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答 )
16.在ΔABC 中 ,B ∠ =600 ,O 为ΔA BC 的外心 ,P 为劣弧AC 上一动点 ,且OC y OA x OP += (x,y ∈R) ,那么x +y 的取值范围为 __ _____
三、解答题：本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. 17. (本小题总分值12分 )
如图 ,有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸 (不知 道它们的高度 ,且不能到达对岸 ) ,某人想测量两 座建筑物尖顶A 、C 之间的距离 ,但只有卷尺和测 角仪两种工具.假设此人在地面上选一条基线EF ,用 卷尺测得EF 的长度为 a ,并用测角仪测量了一些角度：
a AEF =∠,β=∠AFE ,θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请
你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.
18.(本小题总分值12分 )
为了调査某大学学生在某天上网的时间 ,随机对lOO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：
表l:男生上网时间与频数分布表
表2:女生上网时间与频数分布表
(I)从这100名男生中任意选出3人 ,其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；
(II)完成下面的2X2列联表 ,并答复能否有90%的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞 ?
表3:•
附：
19. (本小题总分值i2分 )
如图 ,在四棱锥P -ABCD 中 ,PA 丄平面ABCD, 090=∠=∠ADC ABC ,0120=∠BAD ,AD =AB =1,AC 和 BD 交于O 点.
(I)求证：平面PBD 丄平面PAC
(II)当点A在平面PBD 内的射影G 恰好是ΔPBD 的重心时 ,求二面角B -PD -G 的余弦值.
20. (本小题总分值12分 )
椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1( -1 ,0) ,F 2(1,0) ,过F 1作与x 轴不重合的
直线l 交椭圆于A,B 两点.
(I)假设ΔABF 2为正三角形 ,求椭圆的离心率； (II)假设椭圆的离心率满足2
150-<<e ,0为坐标原点 ,求证:OA 2 +OB 2<AB 2
21 (本小题总分值12分 ) 设函数f(x ) =x 2 +aln(x +1)
(I)假设函数y =f(x)在区间[1, +∞ )上是单调递增函数 ,求实数a 的取值范围； (II)假设函数y =f(x)有两个极值点x 1,x 2且x 1<x 2求证: 2ln 2
1
)(012+-<<x x f
请考生在22〜24三题中任选一题做答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题记分.
22. (本小题总分值10分)选修4 -l:几何证明选讲
如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点
A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点 ,割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ,点M 在EF 上 ,且
BMF BAD ∠=∠:
(I)求证:PA·PB =PM·PQ (II)求证：BOD BMD ∠=∠
23. (本小题总分值10分 )选修4 -4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系.x0y 中 ,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=
(I)求曲线l的直角坐标方程；
|AB|的值
24. (本小题总分值10分)选修4 -5:不等式选讲 巳知函数f(x) =|x -2| +2|x -a|(a∈R). (I)当a =1时 ,解不等式f(x)>3;
(II)不等式1)(≥x f 在区间 ( -∞ , +∞)上恒成立 ,求实数a 的取值范围
高中毕业班第|一次模拟考试
数学理科答案
一、选择题 A 卷答案
1 -5 DCBCC 6 -10 ADADD 11 -1
2 AD B 卷答案
1 -5 DBCBB 6 -10 ADADD 11 -1
2 AD 二、填空题
13 . 4310x y -+=或2x = 14 .
45
15 . 24 16 . []1,2
三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)
17.解：第|一步：在AEF ∆中 ,利用正弦定理 ,sin sin(180)AE EF
βαβ︒=-- , 解得sin sin()
a AE β
αβ=
+；……………4分
第二步：在CEF ∆中 ,同理可得sin sin()
a CE ϕ
θϕ=
+；……………8分
第三步：在ACE ∆中 ,利用余弦定理
,AC
…………12分 (代入角的测量值即可 ,不要求整理 ,但如果学生没有代入 ,扣2分 )
18．解： (Ⅰ )由男生上网时间频数分布表可知100名男生中 ,上网时间少于60分钟的有60人 ,不少于60分钟的有40人 ,………………2分
故从其中任选3人 ,恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为 126040
3
100
C C C ……………4分 156
539=
………………6分 (Ⅱ )
(8)
22
200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯ ,………………10分
∵2 2.20 2.706K ≈<
∴没有90％的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞.………………12分 19. 解： (Ⅰ )依题意Rt ABC Rt ADC ∆≅∆ ,BAC DAC ∠=∠ ,ABO ADO ∆≅∆ ,所以AC BD ⊥ ,……2分
而PA ⊥面ABCD ,PA BD ⊥ ,又PA AC A = ,∴BD ⊥面PAC , 又BD ⊂面PBD ,∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分 (Ⅱ ) 过A 作AD 的垂线为x 轴 ,AD 为y 轴 ,AP 为z 轴 ,建立如下图坐标
系 ,那么
1
,0)2B - ,(0,1,0)D
,0)C ,设(0,0,)P λ ,
所以1,)63G λ , 31
(,)22
PB λ=-- ,
由AG PB ⊥
,得
311(
,),)06
6322
AG PB λλ⋅=⋅--= 解得21
2λ=
,λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为(0,；
面PBD 的一个法向量为6
(3,1AG ==m ,……………8分
设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n
,(CD =
- ,(0,1,PD = 00PD
CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0
z -=
=⎪⎩ ,
∴=n ………………10分
cos ,||||⋅<>==n m n m n m ,
所以二面角B PD A --．……………12分 20. 解： (Ⅰ )由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+ ,又22||||AF BF = ,∴11||||AF BF = ,即
1
2F F 为边AB 上的中线 ,
∴12F F
AB ⊥,……………………2分 在12Rt AF F △中
,2cos30,43
c
a ︒=
那么c a = ,
…………………4分 (注： ,没有过程扣3分
) (Ⅱ )设11(,)A x y ,22(,)B x y 因为0e <<
1c = ,所以12
a +>
…………6分 ①当直线AB x 与轴垂直时 ,22211y a b += ,
42
2b y a
= ,4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,
4
2
231a a a -+- =
22235()24a a --+
, 因为2
532+>a ,所以0OA OB ⋅< , AOB ∴∠恒为钝角 ,
∴222OA OB AB +<.………………………8分
②当直线AB 不与x 轴垂直时 ,设直线AB 的方程为：(1)y k x =+ ,代入22
221x y a b
+= ,
整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-= ,
22122
222a k x x b a k -+=+ ,2222
12222
a k a
b x x b a k -=+ 1212OA OB x x y y ⋅=+
212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++
2221212(1)()x x k k x x k =++++
22222242222222
()(1)2()
a k a
b k a k k b a k b a k
-+-++=+ 22222
22
222
()k a b a b a b b a k +--=
+ 24222
222
(31)k a a a b b a k -+--=
+………………10分 令42()31m a a a =-+- , 由 ①可知 ()0m a < ,
AOB ∴∠恒为钝角. ,所以恒有222OA OB AB +<．………………12分
21. 解： (Ⅰ )01
22)(2/
≥+++=
x a
x x x f 在区间),1[+∞上恒成立 , 即x x a 222
--≥区间),1[+∞上恒成立 , …………………1分
4-≥a .………………3分
经检验 , 当a ＝ - 4时 , 1
)
1)(2(21422)(2/
+-+=+-+=x x x x x x x f ,)
,1[+∞∈x 时 ,0)(/
>x f ,
所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分
(Ⅱ )函数的定义域),1(+∞- ,01
22)(2/
=+++=
x a
x x x f ,依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根 ,记a x x x g ++=22)(2 ,那么有⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
->->->∆12
1
0)1(0g ,
得2
1
0<
<a .……………………6分 ,121-=+x x 02222
2=++a x x ,2
21212a x -+
-= ,0212<<-x , 2
222
222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=
,令)0,21
(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分
)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ,)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k , 3
2//
)
1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,
1)1(////
=-
=-k k ,存在)0,1
(0-∈x ,使得0)(0//=x k , 0)0(/=k ,02ln 21)2(/<-=-k ,0)(/<∴x k ,所以函数)(x k 在)0,
2
(-为减函数 ,
…………………10分
)21()()0(-<<k x k k 即2ln 2
1
)(012+-<<x x f ……………………12分
法二:6分段后面还有如下证法 ,可以参照酌情给分.
【证法2】2x 为方程2220x x a ++=的解 ,所以22
222x x a --=,
∵102a <<
, 120x x << ,212x =- ,∴2102x -<<,
先证21
()
0f x x > ,即证2()0f x < (120x x << ), 在区间12(,)x x 内 ,()0f x '< ,2(,0)x 内()0f x '> ,所以2()f x 为极小值 ,2()(0)0f x f <=, 即2()0f x < ,∴21
()
0f x x >成立；…………………8分 再证
21()1ln 22f x x <-+ ,即证22211
()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22
f x x x >-+--=-+, 222222211
(22)ln(1)(ln 2)ln 222
x x x x x -++-->-,
令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++-- , 1
(,0)2
x ∈-…………………10分
2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+,
1
2(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,
ln(1)0x +< ,210x +> ,1
ln 202-<,
∴()0g x '> ,()g x 在1
(,0)2-为增函数．
1
1
1111
()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-
1
1
1111
ln ln 2ln 2422422=++-=-．
综上可得21()
10ln 22
f x x <<-+成立．………………………12分
22.证明: (Ⅰ )∵∠BAD ＝∠BMF ,
所以A,Q,M,B 四点共圆 ,……………3分
所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分
(Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ ,
∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ,
又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆ ,……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,那么DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠ ,
∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,
2BOD BAD ∠=∠,
所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分
23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分
得：x y =2
∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分
(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-
=t
y t
x 22
222代入x y =2整理得：
0422=-+t t ………………7分
0>∆总成立 ,
221-=+t t ,421-=t t
2
3)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分 另解：
(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2 ,把x y -=2代入x y =2得： 0452=+-x x ………………7分
0>∆总成立 ,521=+x x ,421=x x
2
3)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分 24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥3
2222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<3
22221x x x 解得φ∈x
⎩⎨⎧>-+-≤3
2221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33
-∞+∞………………5分 (Ⅱ)时，
2>a ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(； 时，2=a 36,2()36,2
x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩； 时，
2<a ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； ∴)(x f 的最|小值为)()2(a f f 或；………………8分
那么⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ,解得1≤a 或3≥a .………………10分。