安徽省巢湖市2020高考数学监测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
2．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫
<
⎪⎝
+⎭
=的图象经过点012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24
x π
=-
B ．3724
x π
=
C ．1724
x π
=
D ．1324
x π
=-
3．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2
B ．0
C ．1-
D ．1
5．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6
π
,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．
12
B ．32
-
C ．12
-
D ．
32
6．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A ．
1637
B ．
949
C ．
937
D ．
311
7．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 1
4
SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）
A ．
222
B ．
53
C ．
1316
D ．
113
8．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．
163
i B ．6i C ．
203
i D ．20
9．已知关于x 3sin 2x x m π⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．[)1,2
C ．[)0,1
D ．[]0,1
10．8
x x ⎛- ⎝
的二项展开式中，2
x 的系数是（ ） A ．70
B ．-70
C ．28
D ．-28
11．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f > B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f > C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f < D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f <
12．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =
A ．{|34}x x <<
B ．{|4x x <或6}x >
C ．{|21}x x -<<-
D ．{|14}x x -<<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出y 的值是5，则输入x 的值为____________．
14．已知12,F F 为椭圆22:143
x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，12PF F ∆的内心I 的轨迹
方程为__________．
15．7(3)x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案） 16．已知点是直线上的动点，点是抛物线
上的动点.设点为线段
的中点，为原
点，则
的最小值为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数
.
(I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
18．已知函数()2ln(1)(0)1
+=-+>+ax x
f x x a x ，且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为12y x b =+.
（1）求()f x 的极值点与极值. （2）当12
k ≥
，[)0,x ∈+∞时，证明：()2
f x kx ≤. 19．（6分）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；
（2）若4b =，点M 是线段BC 的中点，10AM =，求ABC 的面积.
20．（6分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）. 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据：2401.004 2.61≈.
21．（6分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos 3sin )cos 0(C A A B +-= （1）求内角B 的大小
（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2
2
31x y -+=，
椭圆E ：22221x y a b
+=（0a b >>）的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当12
7
AN AM =时，求直线l 的方程.
23．（8分）已知函数2()cos 2
a f x x x =
+（a ∈R ），()f x '是()f x 的导数. （1）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数.证明：()h x '
在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
存在唯一的极小值点；
（2）已知函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求a 的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．B 【解析】 【分析】
由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】
解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数. 若输出16n = ，则()161mod3≡不符合题意，排除； 若输出17n =，则()()172mod3,172mod5≡≡，符合题意. 故选:B. 【点睛】
本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答. 2．B 【解析】 【分析】 由点012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项. 【详解】 由题可知220,122sin π
πϕϕ⎛⎫
⨯
+=< ⎪⎝
⎭
.6πϕ=-
所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
令52,122x k k Z ππ
π+=+∈， 得,242
k x k Z ππ=
+∈ 令3k =，得3724
x π
= 故选：B 【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解 【详解】 因为1
y a x
'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题 4．D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】
由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，
()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，
由于当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 5．A
【解析】 【分析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可. 【详解】
22
1
()(2)22312
a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查数量积的运算，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】
因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，
五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为9
37
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】
可过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，并连接CF ，从而可得出∠CSF （或补角）为异面直线SC 与OE 所成的
角，根据条件即可求出SC SF CF ===tan ∠CSF 的值. 【详解】
如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ， 则∠CSF （或补角）即为异面直线SC 与OE 所成的角，
∵14SE SB =
，∴1
3
SE BE =， 又OB ＝3，∴1
13
OF OB ==，
SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴SC =
SO ⊥OF
，SO ＝3，OF ＝1，∴10SF =； OC ⊥OF ，OC ＝3，OF ＝1，∴10CF =，
∴等腰△SCF 中，22
32(10)(
)
11232
tan CSF ∠-=
=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】
()()()32326z i a i a a i =-+=++-
∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得2
3a =-
，此时203
z i =
故选：C. 【点睛】
本题考查复数的概念与运算，属基础题. 9．C 【解析】 【分析】
先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6
y x π
=+
，将方程的解的问题转化为函数
图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】
由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6
m x π
=+，
作出2sin()6
y x π
=+
的图象，
又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 10．A 【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为388218
8((1)r r r
r r r
r T C x
C x x
--+==-，令38242r r -=⇒=，
所以2x 的系数是44
8(1)70C -=，故选A ．
考点：二项式定理的应用． 11．A 【解析】 【分析】 设()()
x f x g x e
=
，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】
由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()
x x x x
f x e f x e f x f x
g x e e '''--'==
， 又由()()f x f x '
<，所以()()()
0x
f x f x
g x e '-'=
>，即函数()g x 在R 上单调递增， 则()0(3)(2018)g g g <<，即032018
(0)(3)(2018)
(0)f f f f e e e =<<，
变形可得32018
(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 12．C 【解析】 【分析】 【详解】
由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．0或2 【解析】 【分析】 【详解】
依题意，当1x ≤时，由524==+x y ，即21x =，解得0x =；当1x >时，由251==+y x ，解得2x =或
2x =-(舍去)．综上，得0x =或2．
14．2231(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】 【详解】
考查更为一般的问题：设P 为椭圆C:()22
2210,0x y a b a b
-=>>上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，I 为
△PF 1F 2的内心，求点I 的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆I 与F 1F 2的切点为H ，半径为r ，且F 1H=y ，
F 2H=z ，PF 1=x+y ，PF 2=x+z ，c =，则222y z c
x y z a +=⎧⎨
++=⎩
.
直线IF 1与IF 2的斜率之积：12
22
12IF IF IH r k k F H F H yz
⋅=-=-⋅，
而根据海伦公式，有△PF 1F 2的面积为()()x y z r xyz x y z ++=++因此有12IF IF x a c
k k x y z a c
-⋅=-
=-+++.
再根据椭圆的斜率积定义，可得I 点的轨迹是以F 1F 2为长轴， 离心率e 满足2
1a c
e a c
--=-
+的椭圆， 其标准方程为()22
22
10x y y a c c c a c
+=≠-⋅+. 解法二：令(cos ,sin )P a b θθ，则sin 0θ≠．三角形PF 1F 2的面积：
()11
2sin 2222
S c b c a r θ=
⋅⋅=+⋅， 其中r 为内切圆的半径，解得sin I bc r y a c
θ⋅=
=+.
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
()()12
(cos )(cos ),I I c x x c PF PF a c a c θθ--+=-=--+
从而有cos I x c θ=．消去θ得到点I 的轨迹方程为：
()2222
10x y y a c c c a c
+=≠-⋅+. 本题中：2,1a c ==，代入上式可得轨迹方程为：()2
2
310x y y +=≠.
15．-189 【解析】
由二项式定理得717(1)3C r r r r
r T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．
16．
【解析】
【分析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案. 【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(I)；(II)
【解析】
【分析】
(I)化简得到，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答
案. 【详解】 (I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．（1）极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
(1)先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求a ，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；(2)令
2()()g x kx f x =-，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为()1,-+∞.
()()()()()()
222
211211111ax x ax x x ax a f x x x x ++-'-+-=-=+++ ()3114a f =
'-，由已知得()1
12
f '=，解得1a = ∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x
f x x x x x ， ()1111x f x x x +'=-
=+ 令()=0f x '，得=0x
令()0f x '>，得0x >，∴()f x 在()0+∞，
上单调递增. 令()0f x '<，得10x -<<∴()f x 在(1,0)-上单调递减
∴()f x 的极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值.
（2）证明：由（1）知1a =，∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x
f x x x x x ，
令()()2
=-g x kx f x ， 即()2
g ln(1)=-++x kx
x x
()()2122111221111k kx x x k x k g x kx x x x -⎛
⎫+ ⎪⎡⎤+-⎣⎦⎝⎭'=-+==
+++ ∵12k ≥，[)0,x ∈+∞， ∴()21220
1
k kx x k g x x -⎛⎫
+ ⎪⎝⎭='≥+恒成立. ∴
()2g ln(1)=-++x kx x x 在[)0,+∞上单调递增
又()00g =，∴()()00g x g ≥=在[)0,+∞上恒成立 ∴2ln(1)0-++≥kx x x 在[)0,+∞上恒成立 ∴2ln(1)≥-+kx x x ， 即2ln(1)-+≤x x kx ∴()2
f x kx ≤
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题． 19．（1）1
cos 4
A =（2
）ABC S =△【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cos A 的值； （2）由题意得出2AB AC AM ，两边平方，化简得出4c =，根据三角形面积公式，即可得出结论.
【详解】 （1）
cos (4)cos a B c b A =-
由正弦定理得sin cos (4sin sin )cos A B C B A =- 即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A += 即sin 4cos sin C A C =
在ABC 中，sin 0C ≠，所以 1cos 4A = （2）因为点M 是线段BC 的中点，所以2AB
AC
AM
两边平方得222
24AB AC AB AC AM ++⋅=
由14,10,cos ,sin 4b AM A A ===
=
22
124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯ 整理得216240c c ++=，解得4c =或6c =-（舍）
所以ABC 的面积1
sin 2
S bc A == 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题. 20．（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式 【解析】 【分析】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n 项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；
（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断； （3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断. 【详解】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{}n a ，
n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则14900a =，2402510a =，
则()
()1240240240120490025108892002
a a S +=
=⨯+=，
故小张该笔贷款的总利息为889200600000289200-=元.
（2）设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列， 则()()()
()
2
239
240
10.00410.00410.00460000010.004x x x x +++++
++=⨯+，
所以240240
1 1.004600000 1.0041 1.004x ⎛⎫-=⨯ ⎪-⎝⎭
，
即240240600000 1.0040.004600000 2.610.00438911.0041 2.611
x ⨯⨯⨯⨯=≈≈--，
因为1
38911000050002
<⨯
=，
所以小张该笔贷款能够获批.
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：
3891240600000933840600000333840⨯-=-=，
因为333840289200>，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式. 【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.
21．（1）3
B π
=（2）8+
【解析】 【分析】
（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin )0A B B =，再由同角三角三角的基本关系得到tan B ，即可求出角B ；
（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，
则21sin 23ABC S AB π∆=
，1
42sin 2
AOB S θ∆=⨯⨯得到()
4sin OACB S θθ=四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】
解：（1）由cos cos )cos 0(C A A B +-=，
cos()(cos )cos 0A B A A B ∴-++-=，
cos cos sin sin (cos )cos 0A B A B A A B ∴-++-=，
sin (sin )0A B B ∴=，
sin 0A ≠，
tan B ∴=，
()0,B π∈， 3
B π
∴=
；
（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，
21sin 23
ABC S AB π
θ∆∴=
=
142sin 4sin 2
AOB S θθ∆=⋅⋅=，()
534sin 3cos 538sin()3OACB S π
θθθ∴=+-=+-四边形，
所以当56
π
θ=时有最大值538+
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.
22．（1）22
143
x y +=（2）20x y --=或20x y +-=.
【解析】 【分析】
（1）圆C 的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设(),N N N x y ，(),M M M x y ，显然直线l 的斜率存在，方法一：设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，可
得N x ，同理直线方程和圆方程联立，可得M x ，再由12
7
AN AM =可解得k ，即得；方法二：设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立，可得N y ，将其与圆方程联立，可得M y ，由127
AN AM =可解得k ，即得. 【详解】
（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）.右顶点(),0A a 在圆C 上，右准线2
a x c
=与圆C ：()2231
x y -+=相切.()222301,31,
a a c ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩
解得21a c =⎧⎨=⎩，
2
2
2
3b a c ∴=-=，椭圆方程为：22
143
x y +
=. （2）法1：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-.
直线方程和椭圆方程联立，由方程组()222,14
3y k x x y ⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩消去y 得，整理得
()
2
222431616120k
x k x k +-+-=.
由221612243N k x k -⋅=+，解得22
86
43
N k x k -=+. 直线方程和圆方程联立，由方程组()()22
2,31,
y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得，()()2222
146480k x k x k +-+++= 由224821M k x k +⋅=+，解得22
24
1M k x k +=+. 又127AN AM =
，则有()12
227N M x x -=-. 即22
12122
4371k k
=⋅++，解得1k =±， 故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.
分法2：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，当直线l 与x 轴重合时，不符题意.
设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠.由方程组22
214
3x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 消去x 得，(
)
2
2
34120t x ty ++=，解得21234
N t y t -=
+.
由方程组()22
231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去x 得，()22
120t x ty +-=， 解得2
21M t
y t =+. 又127AN AM =，则有127N M y y =-. 即22121223471
t t
t t -=-⋅++，解得1t =±，
故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=. 【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查学生的分析和运算能力. 23．（1）见解析；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】
（1）设1()()cos g x h x x x '==-，'21()sin g x x x -=+，注意到'()g x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则'0y ≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，即342sin 203ax x x --≤在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，构造函数34()2sin 23m x ax x x =--，求导讨论()m x 的最值即可. 【详解】
（1）由已知，'
()sin f x x x =-，所以()ln sin h x x x =-， 设'
1()()cos g x h x x x ==
-，'21
()sin g x x x
-=+， 当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，'
()g x 单调递增，而(1)0g '
<，'
02g π⎛⎫>
⎪⎝⎭，且'
()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上图象连续 不断.所以'
()g x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有唯一零点α，
当(0,)x α∈时，'()0g x <；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'()0g x >；
∴()g x 在(0,)α单调递减，在,
2απ⎛⎫ ⎪⎝
⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一的极小
值点，即()h x '
在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一的极小值点；
（2）设()sin k x x x =-，[)0,x ∈+∞，()1cos 0k x x '=-≥， ∴()k x 在[)0,+∞单调递增，()(0)0k x k ≥=， 即sin x x ≥，从而sin 22x x ≤， 因为函数42(2)3y f x x =-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴34()2sin 203m x ax x x =--
≤在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 令'
2
()22cos24()m x a x x p x =--=， ∵sin 22x x ≤，
∴'()4sin 280p x x x =-≤，
'
()m x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，''max ()(0)22m x m a ==-，
当1a ≤时，'
()0m x ≤，则()m x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，()(0)0m x m ≤=，符合题意.
当1a >时，'
()m x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减， '(0)220m a =->所以一定存在00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
当00x x ≤<时，()0m x '
>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=
与题意不符，舍去.
综上，a 的取值范围是1a ≤ 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为
0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
2．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．
()1
12
n n + B ．
()1
312
n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+
3．已知复数21
i
z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1
B ．i -
C ．1
D ．i
4．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A ．5101900-米
B ．510990-米
C ．4109900
-米
D ．410190
-米
5．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
6．复数432
i
z i +=-的虚部为（ ） A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
7．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且
1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）
A ．01a <<或a e =
B ．1a e <<
C ．01a <<或
1
e a e =
D ．01a <<
8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构
是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）
A ．
15
B ．
120
C ．
112
D ．
340
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆2
2
2
x y n +=上两个动点，且满足()2
*2
n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S m <恒成
立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．3
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
10．已知函数()sin(2019)cos(2019)44
f x x x π
π
=+
+-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．
2019
π
B ．
22019
π C ．
42019
π
D ．
4038
π
11．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A ．56
B ．60
C ．140
D ．120
12．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．27π
B ．28π
C ．29π
D ．30π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知在△ABC 中，AB =（2sin32°，2cos32°），BC =（cos77°，﹣cos13°），则AB ⋅BC =_____，△ABC 的面积为_____．
14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则
1
V V
的值为________.
15．己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______.
16．若函数()()()()()
2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=__________；()()5f f -=__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若数列{}n a 满足：对于任意*n ∈N ，12n n n a a a +++-均为数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”．
（1）若数列{}n a 的前n 项和2
42n S n n =-，*n ∈N ，试判断数列{}n a 是否为“T 数列”？说明理由；
（2）若公差为d 的等差数列{}n a 为“T 数列”，求d 的取值范围；
（3）若数列{}n a 为“T 数列”，11a =，且对于任意*n ∈N ，均有22
11n n n n a a a a ++<-<，求数列{}n a 的通
项公式．
18．已知函数()2
, 2.718282
a f x xlnx x x a R e =-
-∈≈⋅⋅⋅,是自然对数的底数.
（2）若()
f x有两个极值点
12
,x x，求a的取值范围，并证明:1212
x x x x
>+.
19．（6分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2
位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为
1
3
，且各手工艺品质量是否过关相互独立.
（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.
20．（6分）如图所示，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为正方形，PA AB
⊥，6
PA=，8
AB=，10
PD=，N为PC的中点，F为棱BC上的一点.
（1）证明：面PAF⊥面ABCD；
（2）当F为BC中点时，求二面角A NF C
--余弦值.
21．（6分）我们称n（n*
∈N）元有序实数组（1x，2x，…，n x）为n维向量，
1
n
i
i
x
=
∑为该向量的范数.
已知n维向量()
12
,,,
n
a x x x
=，其中{}
1,0,1
i
x∈-，1
i=，2，…，n.记范数为奇数的n维向量a的个数为n A，这n A个向量的范数之和为n B.
（1）求
2
A和
2
B的值；
（2）当n为偶数时，求n A，n B（用n表示）.
22．（8分）已知F是抛物线()
2
:20
C y px p
=>的焦点，点P在x轴上，O为坐标原点，且满足
1
4
OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.
23．（8分）如图，三棱柱'''ABC A B C -的侧棱'AA 垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，'6A A =
，M 是棱'CC 的中点.
（1）证明：''AB A M ⊥；
（2）求二面角''A MB A --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于
2．A 【解析】 【分析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【详解】
数列{}n a 满足：11a =，*1(2,)n n a a n n n N --=∈， 可得11a =
212a a -= 323a a -= 434a a -=
⋯
1n n a a n --=
以上各式相加可得：
1
123(1)2
n a n n n =+++⋯+=
+， 故选：A ． 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力． 3．A 【解析】 【分析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】
2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2
z +-+=
===----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 4．D 【解析】 【分析】
根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由1
10.110010n n a -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
，
解得4n =，再求和. 【详解】
根据题意，这是一个等比数列模型，设11
100,,0.110
n a q a ==
=， 所以1
10.110010n n a -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
，
解得4n =，
所以
()
4
4
44111001101111100
1190a q S q
⎛⎫⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=
=-=
--
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】
由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】
由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】
考查集合并集运算，属于简单题. 6．D 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，化简出z ，即可得出虚部. 【详解】
解：432i z i +=
-=()()()()
43251012225i i i
i i i +++==---+-， 故虚部为-2.
本题考查复数的除法运算和复数的概念. 7．C 【解析】 【分析】
根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln x
a x =；构造函数()ln x g x x
=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】
由log a x x =得，ln ln x
a x
=. 令()ln x
g x x
=
， 则()2
1ln x
g x x
-'=
， 令()0g x '=，解得x e =，
所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1
e g e e e
==， 则()ln x
g x x
=
的图象如下图所示：
由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e
=， 解得01a <<或1e
a e =. 故选：C 【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 8．C
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率. 【详解】
所有的情况数有：3
10120C =种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，
所以目标事件的概率101
12012
P ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算. 9．B 【解析】 【分析】
由于,n n A B
到直线()10x n n ++=的距离和等于,n n A B 中点到此直线距离的二倍，所以只需求
,n n A B 中点到此直线距离的最大值即可。

再得到,n n A B 中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，
半径和,n n A B 中点到此直线距离的最大值的关系可以求出n a 。

再通过裂项的方法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，即可通过不等式来求解m 的取值范围. 【详解】
由22n n n OA OB ⋅=-，得2
cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，120n n A OB ∴∠=.设线段n n A B 的中点n C ，则
2n n OC =，n C ∴在圆222
4
n x y +=上，n n A B
到直线()10x n n ++=的距离之和等于点n C 到该
直线的距离的两倍，点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2
2
2
4
n x y +=的
圆心(0,0)
到直线()10x n n ++=的距离为
()12
n n d +=
=
，()2122n n n n a n n +⎡⎤∴=+=+⎢⎥，211111⎛⎫
∴==- ⎪，。