2018年莆田高中毕业班第二次质量检测试卷A卷

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A 卷)
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

（1）A （2）B （3）C （4）B （5）C （6）C
（7）B （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

（13）7 （14）]4
3,0[ （15）1 （16）9 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查利用n a 与n S 的递推关系求数列的通项公式以及错位相减法求和,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、转化与化归思想等.满分12分. 解：（1）当1n =时，44441211121+=+=++a S a a ，
即0)1)(3(3211121=+-=--a a a a ,
因为0n a >，所以1a =3，………………………………………………1分
当2n ≥时，112124422----=--+n n n n n n S S a a a a ，……………………2分
即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，…………………………………3分 因为0n a >，所以1n n a a --=2，
所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，…………………4分 所以12)1(23)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ,……………………………5分
(2)因为数列}{n b 首项为1，公比为q 的等比数列，321,2,3b b b 成等差数列 所以31234b b b +=，即234q q +=, 所以0)1)(3(=--q q ,
又因为1≠q ，所以3=q ,……………………………………………6分 所以1113--==n n n q b b ,…………………………………………………7分 则13)12(-⋅+=n n n n b a ,…………………………………………………8分 11022113)12(3533-⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++=n n n n n b a b a b a T ,……①
则n n n n n T 3)12(3)12(35333121⨯++⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=-,……②
由①-②得n n n n T 3)12()333(232121⨯+-+⋅⋅⋅+++=--,………………9分
n n n n n 3)2(3)12(1
3)13(3231⨯-=⨯+---⨯+=-,…………………………11分 所以n n n T 3⋅=.…………………………………………………………12分
18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解:(1)如图所示，连接1OC ，B A 1,在矩形C C AA 11中，221==AC AA ,O 为1AA 的中点,所以1OC OC ⊥,……………………………1分
又因为平面C C AA 11⊥平面B B AA 11，
所以直线AB 在平面C C AA 11上的射影是直线1AA ,
所以直线AB 与平面C C AA 11所成角为1BAA ∠，
因为直线AB 与平面C C AA 11所成角为
,3π 即31π
=∠BAA ,………………………………………2分
所以B AA 1∆为正三角形，又O 为1AA 的中点，
则1AA OB ⊥,…………………………………………3分
又平面C C AA 11⊥平面B B AA 11，平面 C C AA 11平面111AA B B AA =,
B B AA OB 11平面⊂，所以OB ⊥平面
C C AA 11,……4分
又⊂OC 平面C C AA 11，所以OC OB ⊥，且O OC OB =1 ,
所以⊥OC 平面1BOC ,………………………………5分
又因为11BOC BC 平面⊂,
所以1BC OC ⊥.………………………………………6分
(2)设E 为1CC 中点，则1AA OE ⊥，所以OE OB OA ,,两两互相垂直, 以O 为原点，分别以,,为轴轴、轴、z y x 的正方向,建立空间直角坐标系，如图,………………………………………………………………7分 则)0,3,0(),1,0,1(),1,0,1(1B C C -，
),0,0,2(),1,3,1(),0,3,0(),1,0,1(1-=--===CC …………8分
设平面OBC 的一个法向量为),,(1z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011OC n OB n 即⎩⎨⎧=+=,
0,03z x y 令1=x ，得)1,0,1(1-=n ,………………………………………………9分 同理可求平面1BCC 的一个法向量为)3,1,0(2=n ,…………………10分 462
23,cos 212
121-=⨯-=>=<n n ,………………………………11分 由图知二面角1B BC O --为锐二面角，
所以二面角1B BC O --的余弦值为4
6.……………………………12分 19. 本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望
等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分． 解:(1)A 分厂的质量指标值的众数的估计值为115)120110(2
1=+………1分 设A 分厂的质量指标值的中位数的估计值为x ，
则5.0030.0)110(23.018.0=⨯
-++x 解得113=x …………………………2分 (2)2×2列联表：
…………………………………………3分
由列联表可知K 2的观测值为:
635.6286.1077217525100100)2095805(200))()()(()(22
2
>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ……………………………5分
所以有99%的把握认为两个分厂的产品质量有差异.……………………6分
(3)(i)依题意，B 厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，
优质品有2件，非优质品有8件，…………………………7分
设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件M ，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为
事件N ,则17
1)|(18122222=+=C C C C M N P , 所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的
概率是17
1；………………9分 (ii)用频率估计概率，从B 分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量X 服从二项分布，即X ～B(10,0.20)，……10分 则E(x)=10×0.20=2.…………………………………12分
20.本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线及圆
与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分
解(1)设2PF 的中点为G ，连接OG PF ,1，
在21F PF ∆中，G O ,分别为221,PF F F 的中点，所以||2
1||1PF OG =
, 又圆O 与动圆相切，则||212||2PF OG -=，所以||212||2121PF PF -=,……1分 即4||||21=+PF PF 为定值，………………………………………………2分 32||4||||2121=>=+F F PF PF ,
所以点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，……………………………3分 设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x , 则1,3,2===b c a ,所以点P 的轨迹方程为14
22
=+y x .……………4分 （2）(法一)①当直线l 的斜率不存在时，
不妨设11(),(),M(2,0),(2,0)22
A B N --，则4||,1||==MN AB ， 四边形AMBN 面积2||||2
1==MN AB S ; ②当直线l 的斜率为0时,同理可得四边形AMBN 面积2=S ;…………5分 ③当直线l 的斜率存在且不为0时,
可设直线l
的方程为(y k x =设),(),,(2211y x B y x A ,
联立22(440,
y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩
得2222(14)1240k x x k +++-=，……………6分
212122124,14k x x x x k -+==+ ………………………………………7分
21224(1)|||14k AB x x k +=-==+，
同理222214[()1)]4(1)|MN |,144()1k k k k
-++==+-+……………………………………8分 四边形AMBN 面积)
14)(4()1(8||||21222
2+++=⋅=k k k MN AB S ，………………9分 设112>=+t k ，
则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=t
t
t t t t t t t t S ，…………10分 所以
22532<≤S ；…………………………………………………………11分 综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,25
32[.…………………12分 (法二)①当x AB ⊥轴时，不妨设)2
1,3(),21,3(---B A ，则4||,1||==MN AB ， 四边形AMBN 面积2||||21==MN AB S ， ②当y AB ⊥轴时,同理可得四边形AMBN 面积2=S .………………………5分 ③当直线AB 不垂直坐标轴时,
设AB 方程为)0(3≠-=m my x ，),(),,(2211y x B y x A , 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0
44322y x my x 得0132)4(22=--+my y m ，………………………6分 ,4
1,432221221+-=+=+m y y m m y y ……………………………………………7分 4)1(44)(1||1||22212
212212++=-++=-+=m m y y y y m y y m AB ， 同理14)1(44)1()]1)1[(4|MN |2222++=+-+-
=m m m m ，…………………………………8分
四边形AMBN 面积)
14)(4()1(8||||21222
2+++=⋅=m m m MN AB S ，………………9分 设112>=+t m ，
则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=t
t
t t t t t t t t S ，……………10分 所以
22532<≤S ；……………………………………………………………11分 综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,25
32[.………………………12分 21.本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分． 解:（1）由已知得x a x a ax x p ax x q x f ln )1(2
1)()()(22++-=⋅+=, )(x f 的定义域为),0(+∞,…………………………………………1分 则2(1)()()(1)a ax x a f x ax a x x
--'=-++
=,………………………2分 ①当0a ≤时，01,01,0<->>-ax x a x 所以0)('<x f , 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减; …………………………3分 ②当0a >时，令0)('=x f 得a
x 1=或a x =, (i)当1(0)a a a =>，1a =即时， 所以2
(1)()0(0)x f x x x
-'=≥> 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增; ………………………4分
(ii)当10a a
<< ，即1a >时，在1(0,)a 和(,)a +∞上函数()0f x '>，
在1(,)a a 上函数()0f x '<，所以函数()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；……………………………5分
(iii)当10a a <<，即01a <<时，在),0(a 和),1(+∞a
上函数()0f x '>， 在)1,(a
a 上函数()0f x '<， 所以函数()f x 在(0,)a 上单调递增,在1(,)a a
上单调递减, 在1(,)a
+∞上单调递增.……………………………………………6分 (2)若2)(+>x p kx 对任意0x >恒成立，则2ln 2x k x x
>+， 记2ln 2()x g x x x
=+，只需max ()k g x >. 又323
12ln 2122ln '()x x x g x x x x ---=-=， 记()122ln h x x x =--，则2'()20h x x
=--<， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递减.………………………………………7分
又(1)10h =-<，0ln 9
16ln 43ln 221)43(>-=--=e h , 所以存在唯一),1,4
3(∈o x 使得0()0h x =，即00122ln 0x x --=，……9分 当0x >时，(),'(),()h x g x g x 的变化情况如下：
所以00max 020
()()g x g x x ==
， 又因为00122ln 0x x --=，所以0022ln 1x x +=，
所以200000220000(22ln )212111()()222x x x x g x x x x x +++===⋅+，………………10分
因为),1,43(∈o x 所以)3
4,1(1∈o x ，所以920)(23<<o x g ， 又max ()(1)2g x g ≥=，所以9
20)(2<≤o x g ， ……………………………11分 因为max ()k g x >，即0()k g x >，且k ∈Z ，故k 的最小整数值为3.
所以存在最小整数3k =，使得2)(+>x p kx 对任意0x >恒成立. ……12分
22.本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分10分. 解：(1)
由,(1,
x t t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数）， 可得1C
10y --=，…………………………2分
又2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=，
即222cos 4cos 0ρθρθρ+-=,……………………………………3分
所以2C 的直角坐标方程为24y x =. ………………………………5分
(2) 1C
的参数方程可化为1,2(1,x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数），……………6分
代入2C
得：234(240t t -+=，……………………………7分
设,A B 对应的直线1C 的参数分别为1t ，2t ，
12t t +1243
t t =，所以10t >，20t >，…………………8分 所以1212121111t t PA PB t t t t ++=+
=323==+.
………………10分 23.本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分.
解：(1)依题意得
22,2,()2,2,22,,x a x f x a x a x a x a -+-≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-+≥⎩
，……………………2分
作出函数()y f x =的草图（如右图）……………3分 又不等式()7f x ≥的解集为(,3][4,)-∞-+∞， 故(3)47,(4)107,f a f a -=+=⎧⎨=-=⎩
………………………………4分
所以3a =……………………………………………5分
(2)由(1)得,21,2,()5,23,21,3,x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩
如图所示，………7分
当直线y x m =+过图中的点(3,5)A 时, 2m 的最大值为，……8分 由图象可知，当2m ≤时，()f x x m ≥+恒成立……………9分 所以m 的取值范围为(,2]-∞.……………………………10分。