2015年北京各区数学二模28题汇编

2015年北京市各区数学二模28题汇编
（2015丰台二模）28．已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D 为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．
（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；
（2）如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M，EN与FD的延长线交于点N．
①依题意补全图形；
②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
A B
E
C
D
图1 图2
（2015西城二模）28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，
作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH 的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
（2015东城二模）28. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点
E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD .
(1) 若CA CB =，CE CD =，
①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2) 若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，
如图3，连接BD ，AE ，计算22
BD AE +的值.
（2015海淀二模）28．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ，
DAE ∠+BAC ∠=180°
． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，
①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD
=CF ．
图1 图2 图3
（2015门头沟二模）28．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一
点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；
② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之
间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点
A 到BP 的距离．
D
A
B C
P
D
C A
B
图1 图2
（2015房山二模）28.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D
顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .
（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =
2
2
FC ; （3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量
关系： .
（2015石景山二模）28．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心． （1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，
请依题意补全图1；
（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系； （3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H
是EF 的中点，︒=∠90EGF ，
AB =2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过
程中BH 的最大值．
（2015怀柔二模）28．在△ABC 内侧作射线AP ，自B ，C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E,M 为BC 边中点，连接MD ，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：MD=ME ；
（3）如图2，若射线AP 平分∠BAC ，且AC>AB ，求证：MD=1
()2
AC AB -.
图2
图1
图
3
C
D
图1
图2
E
F O
A B
C
D
（2015昌平二模）28.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；
（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．
（2015顺义二模）28．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α
角得到线段BP ，连结P A ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．
图3
C
D
D
图2
图1
A
B
P
C
B
C
P
A
（2015朝阳二模）28．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接
PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .
小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 分
别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，
①P A =4，PC
=PB= .
②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.
（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举
例说明.
（201通州二模）28．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B
不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°．
（1）求AP 的长；
（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；
（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连
接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ． 当A B ⊥OP 时，请直接．．
写出四边形CDEF 周长的值．
图① 图②
图1 图2
O
O
（201平谷二模）28．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C= 度，∠D= 度．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
（3）已知：在“等对角四边形ABCD”中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
图1
图2。