线性代数期末考试复习资料

10
●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。 2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。 4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。
a11
特殊 行列式 的计算
a11 a nn a11 a1n a n1
a nn
a11 a 22 a nn
a n1
a1n a n1
a n1

a 1n
a11
a 1n
a nn a n1
n( n1) ( 1) 2 a
1n a 2,n1 a n1
1
2
3
4
5
6
●线性方程组的向量表达式
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
（1）
a1 j a2 j ( j 1, 2, 若记 j a mj
设存在不全为零
k11 k22 k11 k22 krr 0 r 1 0 m 0
推论： 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性 无关的。
反证法： 设线性无关向量组 1 , 2 ,
k1 , k2 , , kr 使 krr 0
,m，部分向量组
提到行列式符号的外面。
推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0 推论3：如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则D=0 推论4：
设A为n阶方阵，则 A n A 。
15
行的运算
row
列的运算
column

交换i, j两行
ri rj
k ri
变号
数乘第 i 行
数乘第 i行 加到第 j 行 交换i, j两列 数乘第 i 列 数乘第 i 列 加到第 j 列
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22
（2） 向量组
xnn 0
有非零解
1 , 2 , , n
线性无关
齐次线性方程组
x11 x22
xnn 0 , n
只有零解
(3) 向量 可由向量组 1 , 2 , 线性方程组
线性表示
x11 x22
xnn 有解
26
向量组的等价 如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B 可由A线性表示，则称A与B等价。
性 质
（1） 自反性：任何向量组都与自身等价。 （2） 对称性： 如果向量组A与B 等价，则B 与A等价。 （3） 传递性： 如果向量组A与B等价，B与C 等价，则A与C等价。
knn 成立，
则
所以
可由向量组1，2， ，n k1 2k2 5 k1 1 2k1 3k2 8 线性表示 线性方程组 k 2 k 6k 13 2 2 1 有解
1 2 2
x11 x22
xnn
K倍
等值
r j kri
ci c j
k ci
变号
K倍
等值
16
c j kci
定理1.7
设 A 是n 阶矩阵，
*
A AA A A A
*
*
为其转置伴随矩阵，则有
I
定理1.8
设A为方阵。如果
A 0 则A可逆（非奇异、非
退化）矩阵，且
1 1 1 A A， A （要求证明） A A
8
定义2.5
设有向量组1，2， ， n ，如果存在一组不全为零的数
, kn ，使得 k11 k22 knn o 成立，则称 向量组 1，2， ， n 线性相关，否则，称向量组 k1 , k2 ,
1，2， ，n 线性无关。即当且仅当 k1, k2 , , kn
全为零时， k11 k22
knn O 才成立，则称向量组
1，2， ，n 线性无关。
●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
因为
1 O 0 1 0 2
0 n O
9
●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
小结：
（1） 向量组
1 , 2 , , n
S线性相关。由此部分向量组S扩充，得到 由命题3，1 , 2 , , m 线性相关,矛盾。
1 , 2 , , m
25
• 定理2.3 (1)线性相关向量组添加向量后仍 然线性相关; • (2)线性无关向量组的子向量组必线性无关; • (3)线性无关向量组中的每个向量扩大同样 的维数,得到的新向量组仍然线性无关.
定义2.9:如果向量组1 , 2
引理2.1: (1)设向量组1 , 2
如果向量组1 , 2
s与向量组1 , 2 , r
可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.
s可以由向量组1 , 2 , r 线性表示,如果s>r,则1 , 2 s 线性相关.
(2)两个等价的向量组秩相等.
1
推论1.5
若方程组中常数项全为零（齐次线性方程组），且 D不等于零，则该方程组有唯一零解，即若有非零解， 则系数行列式D等于零。 17
定理1.7
证明
A11 A12 A A 1n
a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2
不妨设1 0，则 1 1 0 2 0 m 0
注：单个零向量构成的向量组线性相关。单个 非零向量是线性无关的。
2.含有相同向量的向量组，总是线性相关的。
不妨设1 2，则 1 1 （-1） 2 0 m 0
24
3.线性相关的向量组添加若干向量后，仍是线性 相关的。
A (A ) A
A
I, n 1 n 2 1 1 1 且( A ) A , ( A ) A ( A ) A A .
20


n 1
A 又 A可逆， A 可逆，

n1
,
定理1.9
定义
分块对角矩阵
设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子 块都是方阵，即
14
性质1.8 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一 数 k， 等于用数 k 乘此行列式 。
a11 D ai1 an1 a12 ai 2 an 2 a1n ain ann a11 D1 kai1 an1 a12 kai 2 an 2 a1n kain k D ann
推论1 :行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以
A可逆 A 0 A非奇异
牢 记 这 个 定 理
19
(1,伴随阵性质.) 证 明 A A 证 若 A 0, 则 A 0 .

n 1
否 则, 若 A 0 1 1 ( A ) 1 A AA A I(A ) O A (A ) I A O Aij O A O , 与 A 0矛 盾 。
A1 O A O
O A2 O
O A1 O ห้องสมุดไป่ตู้ As
A2
As
()
其中 Ai (i 1,2,, s) 都是方阵，称A为分块对角矩阵
21
定理1.9 (1)
A A1 A2 As
11
推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
12
s中的每一个向量都可以 由向量组1 , 2 , r 线性表示,则称向量组1 , 2 s可以由向量组1 , 2 , r 线性表示.
若 A 0,
n
AA A I , A A A .
又 A
1


1
A A A
1
A

1
,

A A
A

n1
(2,伴随阵性质.) 设A可 逆 ， 证 明 ( A ) A n 2 A . 证 由伴随阵重要公式知, A ( A ) A I , 而
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
a 1n A11 a 2 n A12 A a nn 1n
A﹡重要公式
AA A A
A21 A22 A2 n
*
*
, s), 则 A 0, 并有
O O -1 As
（2）若 Ai 0(i 1, 2,
A11 O 1 A O
O 1 A2 O
22
伴随矩阵的性质：
1.
A 可 逆 A可 逆, 且( A )
1

1
A A n 2 n1 5. ( A ) A A 4. (kA) k A 证1. “” 由A可逆知A 0, 由伴随阵重要公式知, A A ,I ( A ) 1 1 A; AA A I A A 1 1 1 1 1 又A ( A ) A I ( A ) A A ( A) 1 3.
则方程组有向量形式
, n)
j 即为系数矩阵的第 j 列
x11 x22
xnn b
7
2.2 向量的线性关系
定义2.4
一组数 k1 , k2 ,
则称向量 可由向量组
判断向量 能否由向量组 1， 2 线性表示？如果可以，求出 表达式。 小结： 解 设 k11 k22
nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb??????????????????????m个方程n个未知数4非齐次线性方程组ax?bb?a矩阵形式a????????111212122212nnmmmnaaaaaaaa????????????11121121222212nnmmmnmaaabaaabbaaab???????????????????????系数矩阵增广矩阵ax矩阵形式记系数矩阵??12na?????矩阵形式的方程组可以写成等价的向量形式1?12?2n?nxxxb?????记矩阵??12nbb???????ab?b为增广矩阵方程组4有解的充分必要条件是它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等
1
由A可逆知 AA I , 两 边 取 行 列 式 ，
AA
1
1
1
A 1 A
1
1 A
A A
I 1 A 0， A
1
“”
由 A 0,
AA A A A I
1 1 1 1 A( A ) ( A ) A I A A A A A
用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初 等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改 变矩阵的秩，因此，可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵，就可较 快求出矩阵的秩。
13
； 说明：1） 其中 表示对所有n阶排列求和，共有n！项
j1 jn
）； 2） 对应于方阵A的行列式记为 A 或det（A

A
I
AA

A 0 A 0 0 A
An1 An 2 Ann
例如乘积阵的第2行元素分别为
A I.
18
定理1.8 n 阶方阵A 可逆的充要条件是 A 0. 且A 1 A A 证 “”
是向量组 1 （， 1 2， 1 ），2 （2,3,6）, =（5,8,13）， 例2 设
1 , 2 , , n 线性表示，或称向量 1 , 2 , , n 的线性组合。
, kn ，使得 k11 k22
设有同维向量 1 , 2 ,
,n ,
，如果存在
“”

2. A A A

n1
1 A ( A 1 ) A
A 可逆， 且AA A I A 0 . 否则 , 若 A 0 AA O A AA ( A ) 1 O
A O , 这 与A 可 逆 矛 盾 . A可 逆.
23
线性相关的一些命题(定理2.3部分蕴涵其中) 1. 含有零向量的向量组，总是线性相关的。