高一数学下学期开学考试试题含解析 3

历城第二中学2021-2021学年高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕
一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1.设211z i =
++〔i 是虚数单位〕，那么z =〔 〕
A. 2 D. 【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法那么将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()()()212112111i z i i i i -=+=+=-++-，因此，z ==应选：C.
【点睛】此题考察复数模长的计算，涉及复数的四那么运算法那么的应用，考察计算才能，属于根底题.
2.“幸福感指数〞是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.那么这组数据的75%分位数是〔 〕
A. 7
B. 7.5
C. 8
D. 8.5 【答案】C
【解析】
【分析】
先计算75%分位数的位置，再求出这个数即可.
【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，
因为75%107.5⨯=，
所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.
应选：C
【点睛】此题主要考察分位数的概念和计算，属于根底题.
3.向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，假设()
//2c a b +，那么λ=〔 〕
A. 2-
B. 1-
C. 12-
D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果.
【详解】()1,2a =，()2,2b =- ()24,2a b ∴+=
()//2c a b + 24λ∴=-，解得：2λ=-
应选：A
【点睛】此题考察根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确假设两向量平行，那么12210x y x y -=.
4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么以下对立的两个事件是〔 〕
A. “至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞
B. 恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞
C. “至少1名男生〞与“全是男生〞
D. “至少1名男生〞与“全是女生〞
【答案】D
【解析】
从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，
“至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞不互斥；
“恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞是互斥不对立事件；
“至少1名男生〞与“全是男生〞不互斥；
“至少1名男生〞与“全是女生〞是对立事件；
应选D
5.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53
cm ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A .那么蚂蚁爬行的最短路程长为〔 〕
A. 8cm
B.
C. 10cm
D. 5πcm
【答案】B
【解析】
【分析】
采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果.
【详解】由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，
爬行的最短路程长为1AA
如图
作1OC AA ⊥，
由圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53
cm ， 所以1510233
l AA ππ=== cm 由l OA α=，所以23πα= 即123AOA πα∠==，所以3
AOC π∠= 故53sin AC OA AOC =∠=
cm 所以1253A A C A ==应选：B
【点睛】此题考察圆锥的展开图，还考察了弧长公式，考验空间想象才能以及思维才能，属中档题.
6.如图，电路中4个开关闭合的概率都是12
，且是互相HY 的，灯亮的概率为〔 〕
A.
3
16
B.
3
4
C.
13
16
D.
1
4
【答案】C
【解析】
【分析】
灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY的，根据概率公式得到结果．
【详解】由题意知，此题是一个互相HY事件同时发生的概率，
灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY的，
∴灯泡不亮的概率是
1111111113
22222222216 111
222
⨯+⨯⨯⨯+⨯
⨯⨯⨯=⨯，
灯亮和灯不亮是两个对立事件，
∴灯亮的概率是
313
1
1616 -=，
应选：C．
【点睛】此题结合物理的电路考察了有关概率的知识，考察对立事件的概率和项和对立事件的概率，此题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比拟多，需要从反面来考虑，属于中档题．
7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2
AE EO
=，那么ED=〔〕
A. 1233AD AB -
B.
2133AD AB + C. 2133AD AB - D. 1233AD AB + 【答案】C
【解析】
【分析】 画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进展分解后可得结果．
【详解】画出图形，如以下图．
选取,?AB AD 为基底，那么()211333
AE AO AC AB AD ===+， ∴()
121 333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-． 应选C ．
【点睛】应用平面向量根本定理应注意的问题
〔1〕只要两个向量不一共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决详细问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
〔2〕利用向量表示未知向量，本质就是利用平行四边形法那么或者三角形法那么进展向量的加减运算或者数乘运算．
8.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 在边AB 上，且13
AM AB =，
2b =，CM =，2sin sin sin 2A B c B b -=，那么ABC S ∆=〔 〕
A. 4 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出C 的值，根据平面向量的线性表示求出CM ，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值.
【详解】解：ABC ∆中，
2sin sin sin 2A B c B b -=， ∴2sin sin sin sin 2sin A B C B B
-=， ∴2sin cos 2sin sin C B A B =-，
∴()2sin cos 2sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-， ∴1cos 2
C =， 又()0,C π∈，
∴60C =︒； 又13
AM AB =， ∴()
1133CM CA AM CA AB CA CB CA =+=+
=+-2133CA CB =+， ∴32CM CA CB =+， ∴222944CM CA CB CA CB =++⋅；
∴228164a a =++，
解得2a =或者6a =-〔不合题意，舍去〕，
∴ABC ∆的面积为122sin 602
ABC S ∆=
⨯⨯︒=应选：B.
【点睛】此题考察理解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量根本定理应用问题，属于根底题.
二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分．9.如图是我国2021年1月至12月石油进口量统计图〔其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比〕，那么以下说法错误的选项是〔〕
A. 2021年下半年我国原油进口总量高于2021年上半年
B. 2021年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨
C. 2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量
D. 2021年1月—5月各月与2021年同期相比拟，我国原油进口量有增有减
【答案】D
【解析】
【分析】
结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.
【详解】由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量，C 正确；2021年1月至5月的同比数据均为正数，故2021年1月—5月各月与2021年同期相比拟，我国原油进口量只增不减，D 错误.
应选：D
【点睛】此题主要考察统计图表的识别和判断，考察学生抽象概括才能和推理论证才能，属于根底题.
10.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据以下条件解三角形，其中有两解的是〔 〕
A. 10,45,70b A C ==︒=︒
B. 45,48,60b c B ===︒
C. 14,16,45a b A ===︒
D. 7,5,80a b A ===︒ 【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的断定方法，逐项断定，即可求解，得到答案.
【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B 中：因为csin sin 115
B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；
对于选项C 中：因为sin sin 17
b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A B a =
<，且b a <，所以角B 仅有一解. 应选：BC .
【点睛】此题主要考察了三角形解得个数的断定，其中解答中熟记三角形解得个数的断定方法是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.
11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，以下
结论中正确的选项是〔 〕
A. 四面体11ACB D 的体积等于
312a B. 1BD ⊥平面1ACB C. 11//B D 平面EFG
D. 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的断定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确．
【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ， 11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；
1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确； 以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为22
，故D 正确； 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为
3331114323
a a a -⨯⨯=，故A 不正确．
应选：BD
【点睛】此题考察了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题．
12.点O 在ABC ∆所在的平面内,那么以下说法正确的有( )
A. 假设0OA OB OC ++=,那么点O 为ABC ∆的重心
B. 假设0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,那么点O 为ABC ∆的垂心 C. 假设()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=,那么点O 为ABC ∆的外心
D. 假设OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,那么点O 为ABC ∆的内心
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐项进展分析即可.
【详解】解：选项A ，设D 为BC 的中点，由于()2OA OB OC OD =-+=-，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，所以O 为ABC ∆的重心；
选项B ，向量,||||
AC AB AC AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC '和AB '，那么它们的差是向量B C ''，那么当0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭
，即OA B C ''⊥时，点O 在BAC ∠的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，知点O 在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内
心；
选项C ，OA OB +是以,OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB ｜｜
是该平行四边形的另一条对角线，()0AB OA OB ⋅+=表示这个平行四边形是菱形，即||||OA OB =，同理有||||OB OC =，于是O 为ABC ∆的外心；
选项D ，由OA OB OB OC ⋅=⋅得0OA OB OB OC ⋅-⋅=，
∴()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，
∴OB CA ⊥．同理可证,OA CB OC AB ⊥⊥，
∴OB CA ⊥，OA CB ⊥，OC AB ⊥，即点O 是ABC ∆的垂心；
应选：AC ．
【点睛】此题主要考察平面向量在三角形中的应用，考察向量的数量积，考察三角形的“五心〞，属于中档题．
三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进展问卷调查，假如从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 ．
【答案】9
【解析】
130
⨯=10，故答案为10. 考点：本试题主要是考察了分层抽样的方法的运用．
点评：对于抽样方法，常考察的是分层抽样，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率为n:N,即为样本容量与总体的比值，这一点是解题的核心，属于根底题．
14.假设复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的一共轭复数，那么z 在复平面内对应的点位于第_____象限.
【答案】四
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出复数z ，再进展断定.
【详解】设z a bi =+，那么z a bi =-，代入可得3i =3i a b +-，由复数相等的定义可得 1,1a b ==-，即1z i =-，故z 在复平面内对应的在第四象限.
【点睛】此题主要考察一共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.
15.圆台的上、下底面都是球O 的截面，假设圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，那么球O 的外表积为__________．
【答案】80π
【解析】
【分析】
本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可．
【详解】设球半径为R ，球心O 到上外表间隔 为x ，那么球心到下外表间隔 为6-x,结合勾股定理，建立等式()222224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+= 因此外表积2480S R ππ==
【点睛】本道题考察了球外表积计算方法，难度中等．
16.O 是ABC ∆外接圆的圆心，假设4560OA OB OC ++=，那么cosC =__________．
【解析】
设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=，所以456OA OB OC +=-，那么2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，
解得cos C =四、解答题：此题一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17.复数()
()2z m 5m 6m 2i =-++-〔m R ∈〕． 〔1〕假设复数z 为纯虚数，务实数m 的值；
〔2〕假设复数z 在复平面内对应的点在第二象限，务实数m 的取值范围．
【答案】〔1〕3m =〔2〕〔2，3〕
【解析】
【分析】
〔1〕由纯虚数的概念列方程组求解即可；
〔2〕由复数的几何意义得2560{ 20
m m m -+<->，解不等式即可得解. 【详解】〔1〕因为复数z 为纯虚数，所以2560{ 20
m m m -+=-≠， 解之得，3m =．
〔2〕因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以2560{ 20
m m m -+<->， 解之得23{ 2
m m <<>，得23m <<． 所以实数m 的取值范围为〔2，3〕．
【点睛】此题主要考察了复数的概念及复数的几何意义，属于根底题.
18.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.
求证：〔1〕直线DE 平面A 1C 1F ；
〔2〕平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.
【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析
【解析】
试题分析：〔1〕利用线面平行断定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；〔2〕利用面面垂直断定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要屡次利用线面垂直性质定理与断定定理.
试题解析：证明：〔1〕在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，
在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，
所以DE AC ，于是11DE AC ，
又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，
所以直线DE//平面11AC F .
〔2〕在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面
因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，
又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .
因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.
又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，
所以111B D AC F ⊥平面.
因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面
【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：〔1〕证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；〔2〕证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；〔3〕证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；〔4〕证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.
19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos )cos 0(C A A B +=． 〔1〕求角B 的大小；
〔2〕假设1a c +=，求b 的取值范围．
【答案】〔1〕3B π=
；〔2〕1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
〔1〕根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小；
〔2〕根据余弦定理，由根本不等式即可求得12
b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围. 【详解】〔1
〕∵cos cos )cos 0(C A A B +=，
∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，
即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=，
∵sin 0A ≠，
∴tan B = ∴3B π
=．
〔2〕由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当12a c ==
时取等号， ∴12
b ≥，又1b a
c <+=， ∴b 的取值范围是1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭．
【点睛】此题考察了三角恒等变形的应用，由余弦定理及根本不等式求边的范围，属于中档题.
20. 对某校高三年级学生参加社区效劳次数进展统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区效劳的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
[20,25) m p
[25,30] 2
合计M 1
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)假设该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区效劳的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数、中位数以及平均数．
【答案】见解析
【解析】
(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以
M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.
(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60.
(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数是＝17.5.因为n ＝＝
0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区效劳人
数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋
27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区效劳人数的平均数是17.25.
考点：中位数、众数、平均数.
21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，〔1020x ≤≤，单位：公斤〕，其频率分布直方图如下图，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；假设供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；假设供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.
〔1〕求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；
〔2〕假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间[]580760，
内的概率. 【答案】(1) 30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩
【解析】
【分析】
〔1〕根据不同的需求量，整理出函数解析式；〔2〕①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概
率.
【详解】〔1〕商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：
()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪=⎨-⨯-≤<⎪⎩
化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩
〔2〕①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；
海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=；
海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=；
海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=；
海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=；
这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：
()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=〔元〕 ②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=
显然30280,142060140,1014
x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增， 58060140y x ==-，得12x =；
76030280y x ==+，得16x =；
日利润y 在区间[]
580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率： 0.240.300.54+=
【点睛】此题考察利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于可以纯熟掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.
22.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，
1B C 的中点．
〔1〕证明：DE ⊥平面11BCC B ；
〔2〕1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕
22
． 【解析】
【分析】 〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的断定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EF BB ，112
EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；
〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，根据〔1〕可知，DE ⊥平面1BCB ，那么D 到平面1BCB 间隔 22DE =，设1B 到面BCD 间隔 为d ，根据三棱锥等体积法有11
B BD
C
D BCB V V --=，得11133
BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得221d a =+因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．
【详解】解：〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ，
∵AB AC =∴AF BC ⊥，
∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，
∴1BB AF ⊥，
而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ，
∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EF DA ，EF DA =，
∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥． ∴DE ⊥平面11BCC B ．
〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，
那么BC =2
AF =，BD DC ==，
∴DF ==
∴12BDC S BC DF =⋅=△，1112
BCB S BB BC =⋅=，
D 到平面1BCB 间隔 2
DE =，设1B 到面BCD 间隔 为d ， 由11B BDC D BCB V V --=，得1113
3BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，
即11
323d ⋅=，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°， 所以
12sin 30d B C d ===︒，
而在直角三角形1B BC 中，1B C =
=
，解得a =
． 因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，
所以AF BC ⊥，
又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥，
所以BC ⊥平面DEFA ，
∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC
所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角， 而22DA AF ==， 可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，
那么2cos cos452
EFD ∠=︒=， 所以二面角1D BC B --的余弦值为22
．
【点睛】此题考察线面垂直的断定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求间隔 、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考察推理证明才能和计算才能.
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