《章末整合》三角函数

2023-11-08
contents •三角函数基础知识•正弦函数与余弦函数•正切函数与余切函数•三角函数的恒等变换•三角函数的应用
目录
01
三角函数基础知识
角的概念
周角
等于360度的角。

平角
等于180度的角。

钝角
大于90度但小于180度的角。

锐角
大于0度但小于90度的角。

直角
等于90度的角。

正弦函数（sine function）：sin(x) = y = o/r = y'x' = y''x''
余弦函数（cosine function）：cos(x) = r' = x/r = x'r' =
x''r''
正切函数（tangent function）：tan(x) = y' = y/x = y''/x''
余切函数（cotangent function）：cot(x) = x'/y' = x''/y''正割函数（secant function）：sec(x) = r'/y' = r''/y''余割函数（cosecant function）：csc(x) = r'/y = r''/y''
三角函数的定义
三角函数的图像与性质
一个周期内的图像呈波浪形，最高点为正弦波的峰，最低点为正弦波的谷。

正弦函数图像
余弦函数图像
正切函数图像
余切函数图像
一个周期内的图像呈曲线形，最高点为余弦波的峰，最低点为余弦波的谷。

一个周期内的图像呈直线形，无最高点和最低点，值域为正无穷大到负无穷大。

一个周期内的图像呈直线形，无最高点和最低点，值域为正无穷大到负无穷大。

02
正弦函数与余弦函数
图像
正弦函数图像呈现周期性波动，其基本周期为2π，在区间[0,2π]内，正弦函数从0开始逐渐增加，达到最大值1，然后逐渐减小到0，如此循环。

性质
正弦函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，同时它也是周期函数，具有重复性。

正弦函数的导数和积分都有相应的计算公式和性质。

正弦函数的图像与性质
余弦函数图像也呈现周期性波动，其基本周期也为2π，在区间[0,2π]内，余弦函数从1开始逐渐减小到0，然后逐渐增加到1，如此循环。

图像
余弦函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，同时它也是周期函数，具有重复性。

余弦函数的导数和积分也有相应的计算公式和性质。

性质
余弦函数的图像与性质
正弦函数和余弦函数之间存在密切的关系，它们可以通过一个角的不同表达形式来相互转换。

具体来说，一个角的正弦值和余弦值可以通过勾股定理联系起来，即sin(θ)² + cos(θ)² = 1。

在图像上，正弦函数和余弦函数图像也呈现出对称性，即当一个函数达到最大值时，另一个函数达到最小值，反之亦然。

这种对称性也反映了正弦函数和余弦函数之间的密切关系。

正弦函数与余弦函数的关系
03
正切函数与余切函数
值域周期性奇偶性定义域
${ x|x \neq \frac{1}{2}k\pi, k \in Z}$${ y|y \neq 0}$$y=\tan(x+\frac{\pi}{2})$$y=\tan x$在区间$(k\pi-\frac{\pi}{2},
k\pi+\frac{\pi}{2})$内是单调递增的，
具有奇偶性
${ x|x \neq k\pi, k \in Z}$定义域
${ y|y \neq 0}$
值域
$y=\cot(x+\frac{\pi}{2})$周期性$y=\cot x$在区间$(k\pi, k\pi+\pi)$内是单调递减的，具有奇偶性
奇偶性
正切函数与余切函数的关系
$\tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{\cot x}$$\cot(\frac{\pi}{2}-
x)=\frac{1}{\tan x}$ $\tan x=\cot(\frac{\pi}{2}-x)$
04
三角函数的恒等变换
两角和与差的三角函数公式
两角和的余弦公式
$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
两角和的正弦公式
$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
两角和的正切公式
$\tan(A+B)=(1-\tan A\tan B)/(\tan A+\tan B)$
两角差的正切公式
$\tan(A-B)=(\tan A-\tan B)/(\tan A\tan B+1)$
两角差的余弦公式
$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$
正弦的二倍角公式余弦的二倍角公式正切的二倍角公式
$\cos 2A=\cos^{2} A-\sin^{2} A$$\t a n2A=2\t a n A/(\tan^{2} A+1)$
03
二倍角公式
02 01
$\sin 2A=2\sin A\cos
A$
辅助角公式二
$\cos A=\frac{1-\tan^{2}(\frac{A}{2})}{1+\tan^
{2}(\frac{A}{2})}$
辅助角公式一
$\sin
A=\frac{2\tan(\frac{A}{2})}{1+
\tan^{2}(\frac{A}{2})}$
辅助角公式三
$\tan
A=\frac{2\tan(\frac{A}{2})}{1-
\tan^{2}(\frac{A}{2})}$
辅助角公式
05
三角函数的应用
三角函数可用于描述简谐振动的运动规律，如振幅、
频率、相位等。

简谐振动
水波、电磁波等波动现象可以用三角函数描述。

波动现象
行星、卫星等天体的运动轨迹可以用三角函数描述。

圆形天体运动
三角函数在物理中的应用
在土木工程和机械工程中，三
角函数可用于分析结构受力、位移等。

三角函数在工程中的应用
结构分析
在电子工程中，三角函数用于信号处理，如滤波、调制等。

信号处理
在计算机视觉和图像处理领域，三
角函数用于图像变换、滤波等。

图像处理
在平面几何中，三角函数用于证明定理、计算角
度、长度等。

平面几何
在数列求和问题中，三角函数用于求解和表达式
的值。

数列求和
在极坐标系中，三角函数用于描述点的位置、求
解距离等。

极坐标系三角函数在数学竞赛中的应用
THANKS。