高等几何模拟考试试题

《高等几何》试题
（A）
填空题（每题3分共15分）
1、_____ 是仿射不变量，是射影不变量
2、直线3x+ y=0上的无穷远点坐标为
3、过点（1,i,0 ）的实直线方程为______
4、二重元素参数为2与3的对合方程为
5、二次曲线6x2-y2+11y-24=0过点P（1,2）的切线方程判断题（每题2分共10分）
1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形
2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变
3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边
4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集
5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线( ( ( ( (
）
）
）
）
）
三、（7分）求一仿射变换，它使直线x+2y-1=0上的每个点都不变，且使点（1,-1）
变为（-1，2）
四、（8 分）求证：点A（12—1）,B（—1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求t,s
C =ta i +sb，(i
=1,2,3)
, 3x+2
五、（10分）设一直线上的点的射影变换是x，二3^二证明变换有两个自对应点，且这两自
X +4
对应点与任一对对应点的交比为常
数。

六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变
量。

七、（10分）
(1)求点(5, 1, 7)关于二阶曲线2x,2+3X22+%2-6x,X2—2X)X3—4X2X3 =0 的极线（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。

（写出作法，并画图）
八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理
九、（10分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5, -1]交点且属于二级曲线
4u12+出2-2 u2 =0勺直线
十、（10分）已知A, B, P,Q,R是共线不同点,
如果(PAQB) = —1,(QR, AB) = —1,求(PR, AB)
《高等几何》试题（B ）
填空题（每题3分共15 分）
< /
1、仿射变换/
x
-7x-y +1的不变点为
［y =4x+2y+4
2、 两点决定一条直线的对偶命题为
3、 直线［i ,2,1-i ］上的实点为 _
经过A （-3,2）和B （6,1）的直线AB 与直线x+3y-6 = 0相交于P ，求（ABP ）
（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群
（10 分）已知直线 L 1, L 2,L 3,L 4的方程分别
-y +1 =0,3x + y-2 =0,7x -y = 0,5x —1 = 0 求证四直线共点，并求 (L i L 2,L 3L 4)
4、若交比（AB,CD ）=2
则(AD,BC)=
5、二次曲线中的配极原则 ______________________ 判断题（每题 2分共10分） 1、 不变直线上的点都是不变点 2、 在一复直线上有唯一一个实点
3、 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应
4、 射影群n 仿射群二正交群
5、 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，
四直线的交比为常数
( ( ( ( ( ） ） ） ） ）
四、 2x
（10 分）
六、
利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点
七、（10分）求（1）二阶曲线皆_2%22+3X32 -x^ =0过点P（2,J|,1）的切线方程
（2）二级曲线q2+U22-17U32 =0在直线L[1 , 4, 1]上的切点方程
八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）
九、（10 分）已知二阶曲线（C）：2xj+4x,X2+6X,X3+%2=0
（1）求点P（1,2,1）关于曲线的极线
（2）求直线3x, — X2 +6X3 =0关于曲线的极点
十、（10分）
试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束
《高等几何》试题（C
一、填空题（每题 3分共15分）
2 2 2
二级曲线* +U 2 -17u 3 =0在直线上［1,4,1］的切点方程
判断题（每题2分共10分） 1、 仿射变换保持平行性不变
2、 射影对应保持交比不变，也保持单比不变
3、 线段中点与无穷远点调和分离两端点
4、如果P 点的极线过Q 点，则Q 点的极线也过P 点
5、不共线五点可以确定一条二阶曲线
, 2x
三、（7分）已知OX 轴上的射影变换，求坐标原点，无穷远点的对应点
X +3
四、（8分）已知直线 a,c, d 的方程分别为 2为+X 2-X 3 = O,x 1—X 2 +X 3 =0,为=0
（ab,cd ） = —2
求直线b 的方程。

3
五、（10 分）已知同一直线上的三点 A, B, C 求一射影变换使此三点顺次变为 B,C,A 并判断
6、 7、
P- /
X =2x + y-1 十曲込士
/
Y 下的像直线 :y *y + 3
X 轴丫轴上的无穷远点坐标分别为 _______________________
直线x+y-2=0在仿射变换. 9、 射影变换AA -2A -3=0自对应元素的参数为
10、
六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

变换的类型,
L
I
P x 1
=% +X 2
求射影变换《 P x 2
^ x 2
的不变点坐标
P X3 =X3
十、（10分）试证：双曲型对合的任何一对对应元素 P T P ,与其两个二重元素 E,F 调和共
轭即（PP ',EF ）=-1
七、（10分） 八、（10分） 叙述并证明帕斯卡定理 九、（10分） 求通过两直线 a[1,3,1],b[1,5, -1]交点且属于二级曲线 4u
12 +
U 22
-2u 32
=（的直线
六、（10分） 求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

五、证明：令 用'3X +2 X = X 田 x = ----
X +4 得x 2
+ x-2=0 解得 x^1,x 2 =-2
即有两个 注：结果
自对应点
4 对应，有（（1）（—2）,kk '）=-为常数
k +4
2
2 有一也对，
5
不过顺序有别。

10 分
六、证明：设两直线为:
a:y=k ,x + b,,b:y=k 2X +b 2
相似变换为:
x +by +c 'x =a .y = -bx +ay +d
a 2
+b 2
工0
将变换代入直线a 的方程得：人=凶同理可得k 2
a — k 1
b a — k 2b
高等几何标准答案（A ）
填空题：（每空3分共15分）
单比，交比
2、（ 1,-3,0）
3、x 3 =0
4、2凉-5（入 + A ）+12 = 0
1、 5、
12% +7x 2 —26x 3 =0 、判断题（每题 2分共10分） 1、错，2、错，3、对，4、错，5、对
三、解：在直线x+2y-1=0上任取两点 A （1,0）,B （-1,1） 由 A(1,0)T A(1,O),B(—1,1)T B(—1,1),(1,—1)T (—1,2)
设仿射变换为*X =a11
X+a 12y +a 13
将点的坐标代入可解得
〔y =a 21x+a 22y +a 23
I x =2x +2y -1
{ '
3—3
I 2
2
-1
四、证明：因为 -1
=0所以三点共线
-5
由：t-S =3,2t +s=0,_t +2s = -5 解得 t=1,s = -2
所以 G =4 -2bn(i =1,2,3)
「需即taZ'biz'A
即两直线的夹角是相似群的不变量
七、解：（1）设(5, 1 , 7) 为P点坐标,
10
二阶曲线矩阵为
A=-3
r1—3
-2
—2 所以点P的极线为S=0
(2
即S P =(5,1,7) I
—3
I-1-3
-2 X 2=0(2 )略
八（在后边）九、
[1 +k,3 +5k,1 -k]
2
27 k +42k +11=0
-2
通过直线a[ 1, 3, b] , H, 5勺交点的直线的线坐标为
若此直线属于二阶曲线则有4(1 + k)2+(3 + 5k)2-2(1-k)2=0
1 11
解得k =--,k =
3 9
解
10
(P A,QB) = —1,得(P AQB)=1-( PQAB)
P-A + WQ-A+k z B'R-A + k^AB, =( PQA B) = 2』点=2k2
k2 (qr,ab)=—1,得(AB,QR) =—= —1= k^ -k2 所以(P R, AB)= (AB, PR屮
k
3
10分
八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。

4分
证明；如图三点形ABC与A1B1C1的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点
1
高等几何标准答案（B）填空题：（每题3分共15分）
1、4、（―2，—2）,
2、两条直线确定一个交点，
3、（2,-
1,2）5、如果P点的极线过点Q则Q点的极线也过P点。

1、错, 判断题：（每题2分共10 分）
2,对，3、错，4、对5、对
三、解: 过A, B的直线方程为：x+9y-15=0
3 3
直线AB与x+3y-6 = 0的交点为P(—,—)
2 2 所以(AB P) = -1
四、
（X = X +
a
证明：设平移变换的表达式为T: 4 '
设任意两个平移变换为:
i x =x 乜T1«_1
[y = y 8
r' —
l x =x+a2
T2«'-
l y =y+b2
< '
则T2T1 : < X, = X + a1+ a2仍为一个平移变换4分J
= y+b i + b2
又对任意变换
X =x +a M _1
T:«'贝打：
:y * +b
：*x=x-a也是一个平移变换
:y =y—b
所以平移变换的集合关于变换的乘法构成
群。

五、
-x2+X3 =0,3为+X2 -2x3 =0,7为-X2 =0,5花-X3 =0
2 -1 1
3 1 -2
3 1 -2 =0且 7 -1 0 =0 所以四直线共点。

6分7 -1 0 5 0 -1
因为：L3 = 2L i + L2, L4 = L i + L2 1
所以：(L2L1 丄3L4)=2 故(L1L2,L3L4)=- 10 分
2
八、证明：如图
2x i
D
同理 mB - nC = -(m 1 B 1 — mG) = M nC - kA = —(R I G —kiA)
= N
考虑三点形PEH 与RGM 则GH 平行BC , RM 也平行BC 所以GH 与RM 相交于无穷 远处。

同理HE 与GM ,PE 与GR 相交于无穷远处。

故共线。

有的萨格定理，三点形对应 1X 3丿
八、证明：
（1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。

顶点连线共点。

即 P R,GE,HM
相交于一点。

10分
七、（1）因为点P 在二阶曲线上, 所以切线方程为:
S P =(2J |
,1
)
—2
X 2 =3x 4 - 2+ 4x 3 = 0 在二级曲线上所以切点方程为
i n 0
0、
T L =(1,4,1)
0 1 0
U 2
0 0
-17> <u 3>
=5 + 4u 2 -17u 3 =0
10分
故有 kA ，-(mB 中 gB 』=0 即 kA-mB = m 1B 1 —k 1A 1 = L
（2）因为直线［1，
4, 13分
1 n C
同理O=mB +miB O nC
九、解：（1） P 点的极线为:
伦 2 3Y x 1) S P =(1,2,1) |2 0 0 I X 2 (3 0 1 丿1X 3 丿
2丿
十、证明：如图
ABC 为圆内接正方形，P 为圆上任意点。

因为AD = AB 所以PA 为角DPB 的平分线。

PD, PA, PB,PC 构成调和线束。

高等几何标准答案（C ）
填空题：（每题3分共15分）
二、判断题：（每题2分共10 分） 1、 对，2、错，3、对，同理可证明 PC 是角EPB 平分线。

即PA,PC 是角DPB 的内外角平分线。

所以直线 1、2X —y —1=0 2、( 1, 0），（ 0，1，
0）
3、2% -X 3 =0
4、-1，3
5、5+4口2-17出=0 =9x 1+2X 2+4X 3=0 (2) 设直线的极点为（a,b,c ）则有
-1
解方程组可得极点（2,-丄，-6）
2
10分
10分
4、对，
5、错
I P x ； =2X 1 -X 2 f x ? = x^i +3x 2
三、解：变换化为齐次坐标形式:
E
1），无穷远点（1, 0）代入得对
应点分别为:
1）
d=a+c 设b=a +kc 贝U (ab,cd) = k
而(ac,bd) =1 -(ab,cd) =1 -(-2) =5
3 3
5
b=2x1+2x2-x3+3(x1-x2+x3)=0
整理得：11x1-2x2+2x3=0
五、解：在直线上建立适当坐标系使A, B,C的坐标分别为
A(0,1), B(1,1),C(1,0)
则有A(0,1)T B(1,1),B(1,1)T C(1,O),C(1,0)T A(O,1)
设变换为［臥^必乜必
L P X2 =a21x1 +a22x2
P x^ = X2
I
P x2 = 一为+ x2
非齐次形式为：xx -x +1=0
因方程x —X +1 =0无实数
解所以变换是椭圆
形。

10分
六、证明:
设两直线为: a: y = k,x +b,,b: ^k2x +
b2
相似变换为: j x =ax+by+c
f ' '
J =-bx +ay +d
a2+b2H0
将变换代入直线a的方程得：^=0同理可得k2'
k2^b
a -匕
b ^k2b
.k2 —k1
■k2'k1' 1+k2k1
即tan c a,btan <a ,b^ 即两直线的夹角是相似群的不变
量
七、解: 10
将坐标原点（0，
（-1，3 ）和
（2，
所以k = 5
3
将坐标代入可求得
由特征方程: 1 -A 1 0
=0得(1-Q3 = 0即几=1 0x1 +x^0
将A = 1代入方程组《0X2 = 0 得X2 = 0
[0 X3 = 0,故X2 =0上的点都是不变点
X2 =0时不变点列。

10分
八、对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形, 证明：
如图它的三对对边的交点在一条直线上。

对应边交点分别为L,M,N，以A1，A为射心A（A4,4，代，人）与人3（氏小2，人,人）成
射影对应，而A（A4, A2，A6，A5）与点列（A,L,E, A5）成透视
对应
A(A4, A2, A s, A与点列(F,M ,A6, A5)成透视对应
所以点列（A4,L,E, A）与（F,M,阳A S）成射影对应。

而A位自对应点，所以两点列成透 5 视对应。

故对应点连线共点。

即A4F, LM , EA B共点，A3A4与AA S交点N在LM上。

10分
九解：通过直线a[1,3,1],b[1,5,-1]的交点的直线的线坐标为[1+k,3+5k,1-k]
若此直线属于二阶曲线则有4(1 + k)2+(3 + 5k)2-2(1-k)2=0 即27k2+ 42k + 11 = 0
1 11
解得k=——,k=—一所求直线的坐标[1,2,2] 和[-1,-14,10] 10
3 9
十、证明：E,F为自对应元素，P与P对应则有（PP,EF） = （RP,EF）而
(PR,EF)=——1——所以(PR,EF) = 1
(RP ,EF) (P P,EF)
得（PP，EF）2=1 因为P,R不重合故（PP,EF） =-1 10分高等几
何试题
填空题（每题3分，共27 分）
如果两个三点形的对应顶点连线共点，贝y 这个点叫做（
点X = （ X , X , X 在一直线U = U j ,u 2U 13上的充要条件是
已知(P 1P 2, P 3 P 4)=3,贝 J (P 4P 3, P 2P 1)= ( ),(P 3PP 4 ) =(
不在二阶曲线上的两个点 P （P i P 2P 3）, Q （q i q 2q 3）关于二阶曲线
S 三S a j X i X j=o 成共轭点的充要条件是（
计算题（每题8分，共56分）
2 2
计算椭圆的面积（椭圆方程： 笃+与"a,bAO ）
a b
求共点四线 l i ：y=k ,x , l 2：y = k 2X , l 3：y = k 3X , l 4：y = k 4X 的交
1、 两个三角形面积之比是（
2、 相交于影消线的二直线必射影成（
3、 5、 6、 如果四直线 P 1, P 2, P 3, P 4 满足(P I P 2, P 3P 4) =-1 ,则称线偶 P 3, P 4 和 P 3, P 4 和 Pl , P 2
两个点列间的
对应是射线对应的充要条件是
8、 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（
1、 2、
比。

3、
P X i = —Xi
求射影变换｛P x；=x2的不变元素。

P X s' = X3
4
、
求二阶曲线6x i2-X22-24X32+1 1X2X3 = 0经过点P(1,2,1)的切线方程。

5
、
求双曲线X2+2xy-3y2+2x-4y = 0的渐近线方程。

6
、
求抛物线2x2+4xy + 2y2-4x+1 =0的主轴和顶点。

7、求使三点0(0严),E(1,1), P (1,—1)顺次变到点0亿3) , E(2,5) , PG-7)
的仿射变换。

三、已知A(1,2,3) , B(5,—1,2) , C(11,0,7) , D(6,1,5)，验证它们共线并求
（AB,CD）的值。

（8 分）
四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条
二阶曲线。

（9分）
答案:一、1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心
得（1 +卩）（1- 4）（1-卩）=0所以气=-1， 卩2=1
（重根）
9、这个变换使圆点保持不变
二、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为
I x'=x
,a y 「y
b
在仿射变换①之下，A T A -，B T B-，O T O-，所以L| AOB 对应□ AOB ，
取a: x 2 =0,b:x^0为基线，则有
l i (a -k i b),l 2 (a -k 2b),l 3(a -k 3b),l 4(a -kh)
-1-卩
0 0
4、 qx , +护2 +U 3X 3 =0
5、3 2
6、 调和分离
7、任何四个对应点的交比相等
S pq = 0
经过仿射变换
其对应图形为圆
,2 , 迄
2
X + y =a
其中A 三A ,根据定理
3.6推论2,有
椭圆面积圆面积
S
O *
比小椭圆面积
所以一; ----
lab
2
兀a 2
因此所给椭圆的面积为 nab 。

2、解：化为齐次方程:
1,: x 2 -k 1x^ 0 I 3: X 2 —k s X i =0
l 4: x 2 - k 4X 1 = 0
由定理1.11的推论，得
(-k 2+k 3)(-k 1+k 4)
3、解：由方程
解之，得k^1,k^-1，所以渐近线方程为
3
x + y +1 +(x-3y -2) =0禾n x + y + 1-1
(x —3y — 2) =0
3
化简，得所求为2x -2y -1=0和2x+6y+5 = 0。

2x + 2y —1=0
f 2
2
l2x +4xy +2y -4x + 1=0 I 2x+2y-1=0
得顶点之坐标为（
|，8）。

7、解：设所求仿射变换为［:：；：：；：：；：：：
(-1 -i)y i +0y 2 +0y 3 =0 将卩=1 代入(3.4.3)得*
0%+(1-1)y 2+0y 3 =0 [0% +0y 2 +(1-1)y 3 =0
于是得y , =0为不变点列（即y 轴），y , =0这条直线上的点都是不变点,
因此这条直线是不变直线。

4、解：将P 点的坐标代入二阶曲线方程中得 S pq =0
所以P 点在二阶曲线上，故切线方程为 Sp =0
1
6 0
即
(1,2,1) 0 -1 % X2
1
<0
1
%
—24
J
<X 3>
亦即
为所求切线方程。

5、解: 设渐近线的方程为 a ,,% + ^2X 2 +^3X 3 +k ⑻2为 +a 22X 2 +432X 3) =0 根据（2.9）有
2
-3k +2k +1=0 2 -2 2 0
= 4,42 =-
2 -2 2 0
=—4
代入（4.11），得主轴为
4 ( X + 2 - 2力 4<C2 y 2 )
解方程
+ 7X 2 -26X 3 =0
于是有2 =印3
3 = a
23
2
= a i1 + ^2 + a i3
1
,
c
a
12 = -
,
a
21 = /
, a
22 =
6
5 = a 2i + a 22 +
a 23
3 = aii — 日2 + a i3 —7 =a 2 1 —a 2 2 "I'a 2 xJx —1y+2 2 2
故所求的仿射变换为（ [y ‘ = _4x +6y +3
三、解：因为
1 2 3
1 2 3 5 -1 2 =0
且
5 -1 2 11 0 7
6
1
5
=0 C = A + iqB, D = A
+
所以A,B,C,D 共线。

由 11 =1 +2x 5,0 =2 +2x (-1),7 =3 +2x 2得 Z , =2
同理可得K =1所以（AB,CD ）=鱼=2
四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为:
a ，—扎乍・=0
( 2
) 由于它们是射影对应，所以，皿'满足:
a +
b A+
c A +
d =0 (ad — b
e h 0)
从(1) , (2), (3)中消去 '得a(p)(—)+b (B )+ c (倉)+ d =0
a a a' +
b a P+ C 出 W d P'O
(1.3
)
这里cc ,P ,xP 诸E 是关于 X i,X 2,X 3的一次齐次式，所以（1.3）式表
示一条二阶曲线。

由于a =0,P =0的交点坐标和"=0,P 丄0的交点坐标
都满足（1.3）。

所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲 线上。

解此方程组，得 a
13 = 2
, a
23 =3 , 41=1。