高中数学第三章导数的几何意义课时分层作业含解析新人教A版选修1_1

高中数学新人教A 版选修1_1：
课时分层作业(十四)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1,2)，则f ′(1)的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．2
B [∵二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，∴f ′(1)＝0，选B ．]
2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )
A ．2
B ．4
C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2
D ．6
D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝2 lim Δx →0
(Δx )3＋3x (Δx )2＋3x 2Δx Δx ＝2 lim Δx →0
[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.
∴y ′| x ＝1
＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.] 3．曲线f (x )＝－2x
在点M (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4
B ．y ＝－2x －4
C ．y ＝2x －4
D ．y ＝2x ＋4 C [Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx
，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以切线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.]
4．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4
的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)
C ．⎝⎛⎭⎫14，116
D ．⎝⎛⎭⎫12，14
D [∵y ＝x 2，
∴k ＝y ′＝lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ，
∴2x ＝tan π4
＝1， ∴x ＝12，则y ＝14
.] 5．若曲线y ＝x 2上的点P 处的切线与直线y ＝－12
x ＋1垂直，则过点P 处的切线方程为( )
A ．2x －y －1＝0
B ．2x －y －2＝0
C ．x ＋2y ＋2＝0
D ．2x －y ＋1＝0
A [与直线y ＝－12
x ＋1垂直的直线的斜率为k ＝2. 由y ＝x 2知，y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2
Δx ＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x . 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则2x 0＝2，即x 0＝1，故y 0＝1.
所以过P (1,1)且与直线y ＝－12
x ＋1垂直的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.] 二、填空题
6．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．
> [f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率．由图象可得f ′(a )>f ′(b )．]
7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，
则f ′(x 0)＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝lim Δx →0
2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]
8．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)＝__________.
2 [∵(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，∴1－2f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1.又f ′(1)＝12
，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.]
三、解答题
9．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，求：
(1)点P 处的切线的斜率；
(2)点P 处的切线方程．
[解] (1)由y ＝13x 3，得
y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－13x 3
Δx
＝13lim Δx →0
3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3
Δx
＝13lim Δx →0
[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2，
y ′|x ＝2＝22＝4.
所以点P 处的切线的斜率等于4.
(2)在点P 处的切线方程为
y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.
10．已知曲线y ＝2x 2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?
(2)过点P (3,9)与曲线相切的切线方程．
[解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)
Δx
＝
lim Δx →0
(4x ＋2Δx )＝4x .
(1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P (3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，
故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．
将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，
得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)，
解得x 0＝2或x 0＝4，
所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.
1．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0
f (1)－f (1－2Δx )2Δx
＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2 B [lim Δx →0
f (1)－f (1－2Δx )2Δx
＝lim Δx →0
f (1－2Δx )－f (1)－2Δx
＝f ′(1)＝－1.] 2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范
围为⎣⎡⎦
⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．⎣
⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．⎣⎡⎦⎤12，1
A [设P 点的横坐标为m ，先求出函数y ＝x 2＋2x ＋3在此处的导数．
Δy Δx ＝(m ＋Δx )2＋2(m ＋Δx )＋3－m 2－2m －3Δx
＝2m Δx ＋2Δx ＋(Δx )2
Δx
＝2m ＋2＋Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx
→2m ＋2.∴f ′(m )＝2m ＋2. 由于倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦
⎤0，π4， ∴0≤2m ＋2≤1⇒－1≤m ≤－12
.] 3.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．
x －y －2＝0 [根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.]
4．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x
，过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为________．
x －2y ＋1＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1， ∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，
得f ′(1)＝lim Δx →0 1＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12
， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12
(x －1)． 即x －2y ＋1＝0.]
5．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解] 由Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx
＝2x ＋Δx ，
得y′＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
(2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式得所求切线方程为：
y－y0＝2x0(x－x0)．
又因为切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，
所以a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，
即x20－2x0＋a－1＝0.因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．。