【学海导航】湖南省高中数学第2轮总复习 专题1第3讲 导数及应用课件 文 新人教

方 程 f x 0在 区 间 2,3 内 有 两 个 不 同 的 实 根 ，
0
所
以
f f
( 2) (3)
0
0 ，
2
a 3
3
解
得
3
a
9， 2
且
a
0.
所 以 a的 取 值 范 围 是 3 , 0 ( 0，9 )．
2
3 在 1的 条 件 下 ， 即 a 1，
要 使 f x x 3 x 2 1与
2
其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[0， )
B．(0， )
C．[2， )
D． 2, 0
2已知f x lnx a (a R)．
x
①求函数f x的极值；
②当a 1，且x 1时，证明x f x x 0.
解 析 ：1 由 题 意 f x 1 a x x 2 a x 1 0
g x x 4 5 x3 2 m x 2 1的 图 象 恰 有 三 个 交 点 ，
等 价 于 方 程 x 3 x 2 1 x 4 5 x 3 2 m x 2 1，
即 x 2 x 2 4 x 1 m 0恰 好 有 三 个 不 同 的 实 数 根 ．
因 为 x 0是 方 程 的 一 个 根 ， 所 以 应 使 方 程
•
【 点 评 】 利 用 导 数 可 讨 论 函 数 的 极 值 、 最 值 及 单 调 区 间 ． 对 含 参 问 题 注 意 参 数 对 问 题 结 论 及 解 法 的 影 响 ， 细 心 进 行 分 类 讨 论 ．
三、导数的综合应用
例31(2011岳阳模拟)若函数f x lnx ax x2 为
解析：1当a 1 时，f x x ex 1 1 x2，
2
2
f x ex 1 xex x ex 1 x 1．
当x (， 1)时，f x 0；
当x 1,0时，f x 0；
当x (0， )时，f x 0.
故f x 在(， 1)，(0， )上单调递增，
2
33
【点评】1熟练掌握导数公式及运算法则是
解决一切与导数有关问题的前提与保障．
2明确导数的几何意义，解决曲线在某一
点处的切线问题，特别注意切点坐标．
二、导数的基本应用 例2(2011北京东城区模拟)设函数
f x x ex 1 ax2.
1若a 1，求f x的单调区间； 2若当x20时，f x0，求a的取值范围．
的图象恰好有三个交点？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．
解 析 ：1 依 题 意 ， f ( 2 ) 0 .
3
因 为 f x 3 x 2 2 a x，
所 以 3 ( 2 )2 2 a 2 0， 所 以 a 1.
3
3
2 若 f x 在 区 间 2,3 内 有 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 则
⑦lnx 1；
x
⑧loga
x
1 x
logae.
[ f x g x] f x g x；
[ f x g x] f x g x f x g x；
[ f x] gx
f
x
g
x g2
f x
x
g
x
(
g
x
0)．
3．基本问题与方法
1 求可导函数的单调区间，实质上是解导数 不等式．若求减区间，则解不等式f x 0； 若求增区间，则解f x 0. 2证明可导函数f x在(a，b)上的单调性，实 质上是证明不等式．若证明f x在(a，b)上递 增，则证明f x 0在(a，b)上恒成立；若证 明f x在(a，b)上递减，则证明f x 0在
2①f x x 0． 令f x 0，得x e1a . 当x (0，e1a )时，f x 0； 当x (e1a， )时，f x 0. 所以f x 在x e1a处取得极大值，
f x 极大值 f e1a ea1，且f x 无极小值．
2 ② 证 明 ： 当 a 1时 ， f x lnx 1 .
不充分条件．
4 ．导数与函数、不等式、数列等问题综合时， 要注意综合应用函数与方程思想，转化与化 归思想来分析、探索问题的求解思路，要充 分利用等价转换和构造函数解决问题．
切 线 方 程 为 y 12 3 x 1．
令 x 0， 得 y 9， 故 选 C .
2 y ex xex 2，
则 切 线 的 斜 率 k e0 0 2 3，
所 以 切 线 方 程 为 y 3x 1，
与 x轴 及 直 线 x 3y 3 0围 成 的 图 形 的
面 积 为 1 1 [3 ( 1 )] 5 .
在 1,0上单调递减．
2 f x x e x 1 a x ．
令 g x e x 1 a x， 则 g x e x a.
若 a 1 ， 则 当 x ( 0， )时 ，
g x 0， g x 为 增 函 数 ． 而 g 0 0， 从 而 当 x 0时 ， g x 0， 所 以 f x 0. 若 a 1 ， 则 当 x (0， ln a )时 ， g x 0， g x 为 减 函 数 ， 而 g 0 0， 从 而 当 x (0， ln a )时 ， g x 0， 所 以 f x 0， 不 合 题 意 ．
x
x
在 ( 0， ) 上 恒 成 立 ．
又 因 为 x 0， 所 以 x 2 ax 1 0，
即 a (x 1 )恒 成 立 ． x
因 为 当 x 0时 ， x 1 2， x
所 以 当 a 2时 ， f x 0；
又 无 论 a取 何 值 ， f x不 恒 为 0.
所 以 当 a 2时 ， f x为 增 函 数 ． 故 选 C.
(a，b)上恒成立．
3求可导函数的极值，实质上是解方程， 即解方程f x 0，然后列表分析即可． 4求函数的最值，则在求得极值的基础
上与端点函数值比较再确定其最值．
5导数与方程的根的分布及不等式的综合
实质上是函数单调性、极值及最值的进一 步应用，常结合数形结合思想、转化化归 思想解决问题．
一、导数的计算及几何意义
专题一 集合、函数与导数
1． 基 本 知 识 导数的概念及其几何意义．
2． 基 本 公 式 及 运 算 法 则 ① C 0 (C 为 常 数 )；
② x n n x n 1， n N *；
③ sin x co sx； ④ co sx sin x；
⑤ e x e x； ⑥ a x a x l n a ；
x 又 x [1 ， )，
令 g x x f x x ln x 1 x， x [1 ， )．
要 证 xf x x 0， 即 证 g x 0.
因 为 g x 1 1 1 x 0，
x
x
所 以 g x 在 [1 ， ) 上 是 减 函 数 ，
所 以 g x g 1 0， 即 lnx 1 x 0，
综 上 ， a的 取 值 范 围 为 ( ，1]．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15
x2 4x 1 m 0有两个不相同的非零实根，
则
16 4(1 1 m 0
m
)
0，
解
得
m
3且
m
1.
所 以 存 在 m 3,1 (1， )， 使 函 数 f x 与 g x
的图象恰有三个不同的交点．
1． 熟 悉 导 数 的 基 本 公 式 与 运 算 性 质 ， 准 确 计 算 ． 2． 理 解 导 数 的 几 何 意 义 ， 会 求 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 ． 3． 导 数的 基 本应 用 主要 通 过导 数 求函 数 的单 调 区间 、 极值、最值，要注意极值与最值的区别和联系，连续 函 数 在 区 间[a， b ]上 的 最 大 值 与 最 小 值 是 通 过 比 较 区
例11(2011山东)曲线y x3 11在点P1,12处
的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．9
B．3
C．9
D．15
Hale Waihona Puke 2曲线y xex 2x1在点0,1处的切线与x轴
以及直线x3y 30所围成的三角形面积
为__________．
解 析 ：1 y 3 x 2 切 线 的 斜 率 k 3 ，
1若 在 f x 的 图 象 上 横 坐 标 为 2 的 点 处 存 在 垂
直 于 y轴 的 切 线 ， 求 a的 值 ； 3
2 若 f x 在 区 间 2,3内 有 两 个 不 同 的 极 值 点 ，
求 a的 取 值 范 围 ；
3 在 1的 条 件 下 ， 是 否 存 在 实 数 m， 使 得 函 数 g x x4 5x3 2 m x2 1的图象与函数f x
所 以 当 x 1时 ， xf x x 0成 立 ．
【点评】将导数与方程、不等式、解析 几何等综合在一起，这类问题涉及到 构造函数，并利用导数求函数的单调 区间、极值、最值等，从而转化化归 为不等式等问题．
备 选 题 (2010 湖 南 株 洲 调 研 )已 知 函 数
f x x3 ax 2 1(a R )．
间 (a， b )内 的 极 值 及 区 间 端 点 函 数 值 f a 、 f b 的 大 小
后确定的．而运用导数研究函数的单调性时，注意
f x 0是 f x单 调 递 增 的 充 分 条 件 ． 运 用 导 数 求 极 值 时 ， 注 意 f x0 0为 f x 在 x x0处 有 极 值 的 必 要