广西省玉林市名校2019-2020学年中考数学模拟试卷

广西省玉林市名校2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如左图所示．其俯视图不可能是（ ）
A. B. C. D.
3．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．3
D ．5
4．弹簧原长（不挂重物）15cm ，弹簧总长L （cm ）与重物质量x （kg ）的关系如下表所示：
A.22.5
B.25
C.27.5
D.30
5．如图，在边长为1的小正方形网格中，ABC ∆的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在
ABC ∆内部的概率是（）
A ．
14
B ．
38 C ．
516
D ．
12
6．如果a+b=2，那么代数式22
212b a b
a b a ab b -⎛⎫+⋅ ⎪
-++⎝
⎭的值是（ ）
A ．
12
B ．1
C
D ．2
7．2018年某区域GDP （区域内生产总值）总量为90.03亿元，用科学计数法表示90.03亿为（ ） A ．9.003×1010
B ．9.003×109
C ．9.003×108
D ．90.03×108
8．下列运算正确的是( )
＝﹣5
B.(x 3)2＝x 5
C.x 6÷x 3＝x 2
D.(﹣
14
)-2
＝16 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 在函数()0k
y x x
=
>的图象上，90ACB ∠=︒，边CB 在x 轴上，点D 为斜边AB 的中点，连续DC 并延长交y 轴于点E ，连结BE ，若CEB ∆的面积为4，则k 的值为 （ ）
A.2
B.4
C.8
D.16
10．如图，△ABC 中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为1：4．其中正确的有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 11．方程x 2＝4x 的解是（ ） A ．x ＝0
B ．x 1＝4，x 2＝0
C ．x ＝4
D ．x ＝2
12．下列命题中，假命题的是（ ） A ．正八边形的外角和为360° B ．两组对角相等的四边形是平行四边形 C ．位似图形必相似 D ．若两直线被第三条直线所截，则同位角相等
二、填空题
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．
14．二次函数y ＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是_____．
15．计算：（
2
）0
﹣1=_____． 16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．
17．以下四个命题：
①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形． ②当m ＞0时，y ＝﹣mx+1与y ＝
x
π
两个函数都是y 随着x 的增大而减小． ③甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S 2
甲＝4，S 2
乙＝9，这个过程中乙发挥比甲更稳定．
④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为18
． 其中正确的命题是_____（只需填正确命题的序号） 18．如果分式2
1
x -有意义，那么x 的取值范围是____________． 三、解答题
19．已知：如图，延长⊙O 的直径AB 到点C ，过点C 作⊙O 的切线CE 与⊙O 相切于点D ，AE ⊥EC 交⊙O 于点F ，垂足为点E ，连接AD ．
（1）若CD ＝2，CB ＝1，求⊙O 直径AB 的长； （2）求证：AD 2＝AC•AF．
20．如图1，P （m ，n ）在抛物线y=ax 2-4ax （a ＞0）上，E 为抛物线的顶点．
（1）求点E 的坐标（用含a 的式子表示）；
（2）若点P 在第一象限，线段OP 交抛物线的对称轴于点C ，过抛物线的顶点E 作x 轴的平行线DE ，过点P 作x 轴的垂线交DE 于点D ，连接CD ，求证：CD ∥OE ；
（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x 轴交于A 、B 两点，平移后的抛物线的顶点为Q ，P 是其x 轴上方的对称轴上的动点，直线AP 交抛物线于另一点D ，分别过Q 、D 作x 轴、y 轴的平行线交于点E ，且∠EPQ=2∠APQ ，求点P 的坐标．
21．如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向，求海轮行驶的路程AB （结保留根号）．
22．在如图菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．求证：OE ＝OF ．
23．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣3、2、3，它们除了数字不同外，其它都完全相同
（1）若随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；
（2）若小明先从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为k 的值，再把此小球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为b 的值，请用树状图或列表格写出k 、b 的所有可能的值，并求出直线y ＝kx+b 不经过第四象限的概率．
24．如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，以BE 为直径的AR 半圆D 与AC 相切于点F ，且EF ∥AD ，AD 交半圆D 于点G ．
（1）求证：AB 是半圆D 的切线； （2）若EF ＝2，AD ＝5，求切线长AB ．
25．已知A(m ，2)，B(﹣3，n)两点关于原点O 对称，反比例函数y ＝
k
x
的图象经过点A ． (1)求反比例函数的解析式并判断点B 是否在这个反比例函数的图象上；
(2)点P(x 1，y 1)也在这个反比例函数的图象上，﹣3＜x 1＜m 且x 1≠0，请直接写出y 1的范围．
【参考答案】*** 一、选择题
13．
18
14．()1,3--
15．0
16．1
17．①
18．x≠1
三、解答题
19．（1）3；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)根据切割线定理可以求出AC的长，从而求出AB的长；
(2)可以通过证明△AFD∽△ADC得出AD2＝AC×AF．
【详解】
(1)∵CD与⊙O相切，
∴CD2＝CB•CA＝CB•(CB+AB)，
又∵CD＝2，CB＝1，
∴4＝1•(1+AB)，
∴AB＝3；
(2)如图，连接FD、OD，
在△AFD和△ADC中，
∵EC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥EC，
∠1＝∠ADC①
又∵AE⊥EC，
∴AE∥OD，
∴∠4＝∠2，
而∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4 ②
由①、②可知△AFD∽△ADC，
∴AD AF AC AD
，
∴AD2＝AC•A F.．
【点睛】
本题综合考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
20．(1) E（2，﹣4a）；(2)见解析;(3) P（2）．
【解析】
【分析】
（1）将原式提取公因式然后化简即可解答
（2）设直线OE的解析式为：y＝k x，把E点代入可得直线OE的解析式为：y＝﹣2ax，由P（m，n）得
直线OP 的解析式为：y ＝nx m
，得到C （2，2n
m ），然后设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，得到：k ＝﹣
2a ，即可解答
（3）当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2
﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2
﹣4x+3＝（x ﹣2）2
﹣1，然后设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，D （3+t ，t 2
+2t ），Q （2，﹣1），E （3+t ，﹣1），再设PE 交x 轴于F ，即可解答 【详解】
解：（1）y ＝ax 2﹣4ax ＝a （x 2﹣4x+4﹣4）＝a （x ﹣2）2﹣4a ， ∴E （2，﹣4a ）；
（2）设直线OE 的解析式为：y ＝kx ， 把E （2，﹣4a ）代入得：2k ＝﹣4a ， k ＝﹣2a ，
∴直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ， 由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx
m
， ∴当x ＝2时，y ＝
2n m ，即C （2，2n
m
）， ∵D （m ，﹣4a ），
设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，
将点D 和C 的坐标代入得：422km b a
n k b m +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩
（n ＝am 2
﹣4am ），
解得：k ＝﹣2a ， 根据两直线系数相等， ∴OE ∥CD ；
（3）如图2，当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，
向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1， ∴Q （2，﹣1），A （1，0），B （3，0）， 设P （2，t ），
可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，
联立方程组为：243y tx t y x x =-⎧⎨=-+⎩ ，解得：11
10x y =⎧⎨=⎩ ，22
232x t
y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ， ∴D （3+t ，t 2
+2t ）， ∵Q （2，﹣1）， ∴E （3+t ，﹣1）， ∴PQ ＝QE ＝t+1， ∴∠EPQ ＝45°， ∵∠EPQ ＝2∠APQ ， ∴∠APQ ＝22.5°， 设PE 交x 轴于F ， ∵∠DEP ＝45°， ∴ME ＝FM ＝1，
∴∠FPA ＝∠PAF ＝67.5°， ∴PF ＝AF ＝t+1，
∵FP ，
t ＝t+1，
t
+1，
∴P （2 +1）．
【点睛】
此题为二次函数综合题，需要熟练掌握运算方法
21．海轮行驶的路程AB 为(+ 海里． 【解析】 【分析】
根据等腰直角三角形的性质分别求出CA 、CP ，根据正切的定义求出CB ，计算即可． 【详解】
在Rt △APC 中，∠APC ＝45°，
∴CA ＝CP ＝
2
AP ＝ ， 在Rt △APC 中，tanB ＝CP
CB
，
则CB ＝
tan CP
B
=
∴AB ＝AC+CB ＝，
答：海轮行驶的路程AB 为(+ 海里． 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．证明见解析 【解析】 【分析】
根据菱形ABCD ，可得AC ⊥BD ，所以可得△AOB 、△BOC 为直角三角形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明OE ＝OF ． 【详解】
解：∵AC ⊥BD ，∴△AOB 、△BOC 为直角三角形， ∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴OE ＝1
2AB ，OF ＝12
BC ， ∵AB ＝BC ，∴OE ＝OF ．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，应当熟练掌握，这是重点知识. 23．（1）13；（2）49
． 【解析】 【分析】
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先列表或画树状图，列出k 、b 的所有可能的值，进而得到直线y ＝kx+b 不经过第四象限的概率． 【详解】
解：（1）摸出的球为标有数字2的小球的概率为1
3
， 故答案为：
1
3
； （2）画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中k b 、均为正数的有4种可能性， 所以直线y kx b =+不经过第四象限的概率为49
． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
24．（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）连接DF ，根据切线的性质得到DF ⊥AC ，根据平行线的性质得到∠EFD ＝∠ADF ，∠FED ＝∠ADB ，由等腰三角形的性质得到∠EFD ＝∠FED ，求得∠ADF ＝∠ADB ，根据全等三角形的性质得到∠ABD ＝∠AFD ＝90°，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到
2
5
CE CF EF CD CA AD ===，设CE ＝2x ，于是得到CD ＝5x ，DF ＝DE ＝3x ，根据勾股定理得到CF ＝4x ，于是得到AF ＝6x ，在Rt △ADF 中根据勾股定理即可得到结论． 【详解】
（1）证明：连接DF ， ∵AC 与半圆D 相切于点F ， ∴DF ⊥AC ， ∴∠AFD ＝90°， ∵EF ∥AD ，
∴∠EFD ＝∠ADF ，∠FED ＝∠ADB ， 又∵DF ＝DE ， ∴∠EFD ＝∠FED ，
∴∠ADF＝∠ADB，
在△ABD与△AFD中
DB DF
ADB ADF AD AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△ABD≌△AFD （SAS），∴∠ABD＝∠AFD＝90°，
∴AB是半圆D的切线；（2）解：∵EF∥AD，
∴△CFE∽△CAD，
∴
2
5 CE CF EF
CD CA AD
===，
设CE＝2x，
∴CD＝5x，DF＝DE＝3x，
∴在Rt△DFC中，由勾股定理得CF＝4x，∴AF＝6x，
在Rt△ADF中，（6x）2+（3x）2＝52，
解得x
＝
3
∴AB＝AF＝6x
＝
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练正确切线的判定定理是解题的关键．
25．（1）
6
y
x
=，点B在这个反比例函数的图象上;（2）y1＜－2或y1＞2．
【解析】【分析】
(1)先求出m的值，进而得出A、B的坐标，代入
k
y
x
=，求出反比例函数的解析式，再判断点B是否在
反比例函数的图象上;
(2)根据反比例函数的性质求解即可.
【详解】
（1）∵A（m，2），B（－3，n）两点关于原点O对称，∴m＝3，n＝－2，即A（3，2），B（－3，－2），
∵反比例函数
k
y
x
=的图象经过点A，∴2
3
k
=，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为
6
y
x =．
当x＝－3时，
66
2
3
y
x
===-
-
，∴点B在这个反比例函数的图象上．
（2）根据k>0,y随x的增大而减小可得：y1＜－2或y1＞2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，注意数形结合数学思想的应用．。