广州市番禺区九年级综合训练数学试题(一)及答案

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广东省广州市番禺区九年级综合训练（一）
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分.考试用时120分钟。

注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名、座位号、准考证号等，再用2B 铅笔把号码对应的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的.） 1．4
3
-
的倒数是（※）. （A ） 34 （B ） 43 （C ） 43- （D ） 3
4-
2. 下面的计算中正确的是（※）.
（A ）336
2b b b += （B ）2
2
2
(3)9pq p q -=-
（C ）3
5
8
5315y y y = （D ）933
b b b ÷= 3. 下面左图所示的几何体的俯视图是（※）.
4．若一元二次方程2
20x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是（※）. （A ）1
2
m ≤
（B ）m >1 （C ）m ≤1 （D ）1m < 5．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（※）. (A) 44×105 （B ） 0.44×105 （C ） 4.4×106 （D ）
4.4×105 6．一袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色．随机从袋中同时摸出两个球，
这两个球颜色相同的概率是（※）. （A ）
12
（B ）
13
（C ）
23
（D ）
14
（A ） （B ） （C ） （D ）
第3题图
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7．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（※）.
（A ）0a b += （B ）b a < （C ）0ab > （D ）b a < 8．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =48︒，
则∠BCD 等于（※）.
（A ）96︒ （B ）42︒
（C ）48︒ （D ）64︒
9. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在
D '
处， 若3AB =，4AD =，则ED 的长为（※）.
（A ）
32 （B ）3 （C ）1 （D ）43
10．已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，
则下列结论中不．正确．．的是（※）. （A ）0c <
（B ）y 的最小值为负值
（C ）当1x >时，y 随x 的增大而减小
（D ）3x =是关于x 的方程2
0ax bx c ++=的一个根
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．若二次根式2x -有意义，则x 的取值范围是 ※ ．
12．计算：30
(2)(31)-+-= ※ ．
13．分解因式：2
4ab a -= ※ ．
14．若不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，则
m = ※ ． 15．如图，将一块斜边长为12cm ，60B ∠=°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋
转90°至A B C '''△的位置，再沿CB 向右平移，使点B '刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是 ※ cm ．
16. 已知圆锥的底面半径为10cm ，侧面积为2
260cm π，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则
cos θ的值为 ※ ．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分９分）
第10题图
第7题图
x
b a -1-22
10
第8题图
O D C
A 第9题图
D
C
B
A D '
A
()
C C ' B '
第15题图
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设23111x A B x x ==+--，， (1) 求当x 为何值时，2A =;
(2) 若A 与B 的值相等，求x 的值.
18．（本小题满分９分）
如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线． （1）利用尺规作出AC 的垂直平分线（要求保留 作图痕迹，不写作法）；
(2) 设AC 的垂直平分线分别与AB 、AC 、CD
交于点E 、O 、F ，求证：OE OF =．
19．（本小题满分10分）
某商场为了解市民对销量较大的开心果、榛子、松子、腰果（分别记为A 、B 、C 、D ）等四种干果的喜爱情况，在今年春节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）.
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）小明特别喜欢吃松子，参加调查时工作人员先随机从四种干果中取一种干果送给小
明试吃，再取另一种干果让小明品尝.请用列表或画树状图的方法，求小明两次试吃即可吃到松子的概率.
20．（本小题满分10分）
去年“十一”黄金周期间，某旅行社接待“广州一日游”和“广州三日游”的旅客共1600人，收取旅游费129万元，其中一日游每人收费150元，三日游每人收费1200元．该旅行社接待的一日游和三日游旅客各多少人？ 21．（本小题满分12分）
如图，某货船以24海里／时的速度将一批货物从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
第21
题图 北
60°
30°
A
B
C
M
第19题图
第18题图
C
A
B
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22．(本题满分12分)
如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2
k y x
=的图像交于(14)A ，，(3)B m ，两点． （1）求1k 、2k 的值； （2）求AOB △的面积．
23．（本小题满分１2分） 如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交切线AC 于点C OC ，与半圆O 交于点E ，连结BE DE 、． （1）求证：BED C ∠=∠；
（2）若58OA AD ==，，求切线AC 的长． 24．（本小题满分１4分）
如本题图1，在ABC △中，AB BC a ==，2AC b =且2a b >．ECD △由ABC
△沿BC 方向平移得到，连接BE 交AC 于点O ，连接AE ． （1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，并说明理由；
（2）如本题图2，P 是线段BC 上一动点（不与点B C 、重合），连接PO 并延长交线段
AE 于点Q ，再作QR BC ⊥于R ．试探究：点P 移动到何处时，PQR △与AOB △相似？
25．（本小题满分１4分）
在平面直角坐标系中，AOB Rt △的位置如图所示，已知
90AOB ∠=，AO BO =，点A 的坐标为(31)-，． （1）求点B 的坐标；
C
A O
B E D 第23题图
1
1-
1 O
A B x
y
第25题图
(3)B m ， x
y O (14)A ， 第22题图
第24题图1 A
B
O E D 第24题图2
D E O A
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（2）求过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
（3）设点P 为抛物线上到x 轴的距离为1的点，点B 关于抛物线的对称轴l 的对称点为
1B ，求点P 的坐标和1B PB △的面积．
番禺区九年级数学综合训练试题(一)
参考答案与评分说明
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
C
D
B
C
A
D
B
A
C
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 112x -x 的取值范围是 2x ≤．
12．计算：30
(2)31)-+= 7-．
13．分解因式：2
4ab a -=(2)(2)a b b +-．
14．若不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，则m =1-．
15．如图，将一块斜边长为12cm ，60B ∠=°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋
转90°至A B C '''△的位置，再沿CB 向右平移，使点B '刚好落在斜边AB 上，那么此三
角板向右平移的距离是623-cm ．
16. 已知圆锥的底面半径为10cm ，侧面积为2
260cm π，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则
cos θ的值为
1213
． 11．2x ≤；12．7-；13．(2)(2)a b b +-；14．1m =-；15．623 2.54-≈；16.
1213
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分９分）
设23111
x A B x x =
=+--，，(1) 求当x 为何值时，2A =; (2) 若A 与B 的值相等，求x 的值.
17解：（1）由2A =得
21
x
x =-， …………1分 即22x x -=，得2x = …………3分
检验：当2x =时，10x -≠，∴当2x =时，2A =。

…………4分
（2）当A B =时，
311(1)(1)
x x x x =+-+-．…………5分
6 / 12
两边同时乘以(1)(1)x x +-，得(1)3(1)(1)x x x x +=++-．…………6分
2231x x x +=+-．得2x =．…………8分
检验：当2x =时，(1)(1)30x x +-=≠．2x =∴是分式方程的根． 因此，当2x =时，A B =．…………9分
18．（本小题满分９分）
如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线．
（1）利用尺规作出AC 的垂直平分线（要求保留 作图痕迹，不写作法）；
(2) 设AC 的垂直平分线分别与AB 、AC 、CD
交于点E 、O 、F ，求证：OE OF =．
18解：（1）作图如右. …………4分
（2）证明：根据作图知，PQ 是AC 的垂直平分线， 所以AO CO =，且EF AC ⊥．…………5分
因为ABCD 是平行四边形，所以OAE OCF ∠=∠． 所以OAE OCF △≌△．…………8分 所以OE OF =．…………9分
19．（本小题满分10分）
某商场为了解市民对销量较大的开心果、榛子、松子、腰果（分别记为A 、B 、C 、D ）等四种干果的喜爱情况，在今年春节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）. 请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）小明特别喜欢吃松子，参加调查时工作人员先随机从四种干果中取一种干果送给小
明试吃，再取另一种干果让小明品尝.请用列表或画树状图的方法，求小明两次试吃即可吃到松子的概率.
19.解：（1）600人；
…………2分
（2）如右图；
…………6分
（3）如图：…………8分
(列表方法略，参照给分)
D Q
B
E A
C
O
P
F
7 / 12
()61
=
122
C P =含种. …………9分
答：小明两次品尝可以吃到松子的概率是12
.
…………10分
20．（本小题满分10分）
去年“十一”黄金周期间，某旅行社接待“广州一日游”和“广州三日游”的旅客共1600人，收取旅游费129万元，其中一日游每人收费150元，三日游每人收费1200元．该旅行社接待的一日游和三日游旅客各多少人？
20．解：设接待“广州一日游”旅客x 人，接待“广州三日游”旅客y 人，……2分
根据题意得：
160015012001290000
x y x y +=⎧
⎨
+=⎩ …………6分
解这个方程组，得600
1000
x y =⎧⎨
=⎩ …………8分
答：该旅行社接待一日游、三日游旅客分别为600人、1000人．…………10分
21．（本小题满分12分）
如图，某货船以24海里／时的速度将一批货物从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处
测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
21．解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，…………1分
由题意知∠CAB =30°,∠BCD =30°,∠ACD =60° ∴∠ACB =30°，…………2分
∴∠ACB=∠CA B ，∴BC =AB …………4分
∴BC =AB=24×
2
1
=12 （海里）. …………6分 在Rt △BCD 中,cos ∠BCD =BC CD
…………8分
∴30cos ⋅=BC CD °362
3
12=⨯= …………10分 ∵936>
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．…………12分
解(法二): 过点C 作CD ⊥AB 于D ，…………1分
8 / 12
由题意知∠ACD =60°，∠CBD =60°，∵AB =24×
2
1
=12…………3分 在Rt △CAD 中,tan60°=
CD AD , ∴CD AD
=3 ① …………5分 在Rt △CBD 中,tan60°=BD CD , ∴BD
CD
=3 ② …………6分
由 ①×②得 BD
AD
=3 ，∴AB +BD =3BD , ∴12+BD =3BD
∴BD =6 …………8分（下同）
22．(本题满分12分)
如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2
k y x
=
的图像交于(14)A ，，(3)B m ，两点．（1）求1k 、2k 的值；（2）求AOB △的面积． 22．解：（1）点(14)A ，在反比例函数2
k y x
=
的图像上， 所以2144k xy ==⨯=，故反比例函数解析式为4
y x
=
．…………2分
又(3)B m ，也在4y x =的图象上，∴43m =，即(3)B 4
，3
，…………3分
∴一次函数1y k x b =+过(14)A ，，433B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，两点，
所以114433k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， …………5分 解得143
163k b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，， 即143k =-，所求一次函数的解析式为416
33
y x =-+．…………7分
（2）解法一：过点A 作x 轴的垂线，交BO 于点F ．
因为433B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，所以直线BO 对应的正比例函数解析式为49y x =，…………8分
当1x =时，49y =，即点F 的坐标为419F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，…9分 所以432
499AF =-=，…………10分
所以AOB OAF ABF S S S =+△△△ 132132161(31)29293
=⨯⨯+⨯-⨯=，
即AOB △的面积为16
3
．…………12分 解法二（图略）：过A B ，分别作x y ，轴的垂线，垂足分别为E F ，．由(1
4)A ，，(3)B m ，
x
y O (14)A ， F
第18题
9 / 12
433B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，得(04)E ，，(30)F ，．设过AB 的直线l 分别交两坐标轴于C D ，两点， 由直线l 表达式41633y x =-+，可得(40)C ，，1603D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．…………9分
又AOB COD AOD BOC S S S S =--△△△△，…………10分
得111
222AOB S OC OD AE OD OC BF =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯△
=11614161423233-⨯⨯-⨯⨯=．即AOB △的面积为16
3
．…………12分
23．（本小题满分１2分）
如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交切线AC 于点C OC ，与半圆O 交于点E ，连结BE DE 、． （1）求证：BED C ∠=∠；
（2）若58OA AD ==，，求切线AC 的长．
23．解：（1）证明：如图，AC ∵是
O 的切线，AB 是O 直径，
AB AC ⊥∴．…………1分 则1290∠+∠=°． 又OC AD ⊥∵， 190C ∠+∠=∴°．
2C ∠=∠∴．…………3分 而2BED ∠=∠，…………5分 BED C ∠=∠∴．…………6分
（2）解：连接BD ． AB ∵是
O 直径，
90ADB ∠=∴°．…………7分
58OA AD ==，,
22221086BD AB AD =
-=-=∴．…………8分
在OAC BDA △和△中，2C ∠=∠，ADB CAO ∠=∠, OAC BDA ∴△∽△．…………10分
C
A
O
B
E
D
（第23题答案图） 1 2
10 / 12
::OA BD AC DA =∴．…………11分 即5:6:8AC =． 20
3
AC =∴．…………12分
24．（本小题满分１4分）
如本题图1，在ABC △中，AB BC a ==，2AC b =且2a b >．ECD △由ABC
△沿BC 方向平移得到，连接BE 交AC 于点O ，连接AE ． （1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，并说明理由；
（2）如本题图2，P 是线段BC 上一动点（不与点B C 、重合），连接PO 并延长交线段
AE 于点Q ，再作QR BC ⊥于R ．试探究：点P 移动到何处时，PQR △与AOB △相似？
24．解：（1）四边形ABCE 是菱形. …………1分 证明：ECD △是由ABC △沿BC 平移得到的， EC AB ∴∥，且EC AB =，…………3分 ∴四边形ABCE 是平行四边形，…………4分
又AB BC =，∴四边形ABCE 是菱形．……5分 (2) 四边形ABCE 是菱形, AC BE ∴⊥，AO OC b ==,BO OE =.……6分 如图2，当点P 在BC 上运动，使PQR Rt △与AOB Rt △相似时，
2∠是OBP △的外角，23ABO ∴∠>∠=∠，……8分
2∴∠不与ABO ∠对应，2∴∠与4∠ 对应，即必有24∠=∠，……9分
〖方法一〗：又,41AB BC =∴∠=∠,故有21∠=∠，OP OC b ∴== ……10分
过O 作OG BC ⊥于G ，则G 为PC 的中点，2PC PG =.
在Rt POGC △和Rt ABO △中，cos 2,cos 4,PG AO
OP AB
∴∠=
∠= 24∠=∠,2
,PG AO AO OP b PG OP AB AB a
⨯∴
=∴==……13分 222
222.b a b BP BC PC BC PG a a a
-∴=-=-=-⨯=22220a b,a b >∴->，
P 在BC 上. 即22
2a b BP a
-=
时，PQR △∽AOB △.……14分 〖方法二〗：设BP x =，由对称性QE x =.
A
E O B C D
Q P R 第24题图2 F 1 2
3 G
4
11 / 12
过E 作EH BD ⊥于F ,则//,AE BD QR BC ⊥,则四边形RFEQ 为矩形， QR EF ∴=，RF x =,2BF x PR ∴=+.…………① ……10分 又AB BC a ==，22BO a b ∴=-2222BE BO a b ==-由菱形ABCE 的面积1
2
s AC BE BC QR =⨯=⨯得：222b a b QR -=……11分
PQR △∽AOB △， ,QR BO
PR AO
∴=22AO b PR QR BO a ∴=⨯=. ……12分
又BEF Rt △∽BCO Rt △,BF OB
EF OC
∴=
,得2222a b BF a -=. ……13分 代入①得22
2a b BP a
-=，〖下同方法一〗。

〖方法三〗相似时，证R C 与重合。

25．（本小题满分１4分）
在平面直角坐标系中，AOB Rt △的位置如图所示，已知90AOB ∠=，AO BO =，点
A 的坐标为(31)
-，． （1）求点B 的坐标；
（2）求过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
（3）设点P 为抛物线上到x 轴的距离为1的点，点B 关于抛物线的对称轴l 的对称点为
1B ，求点P 的坐标和1B PB △的面积． 25解：（1）作AC x ⊥轴于C ，作BD x ⊥轴于D ．
则90ACO ODB ∠=∠=，90AOC OAC ∴∠+∠=．
又
90AOB ∠=，90AOC BOD ∴∠+∠= OAC BOD ∴∠=∠．……1分 又,AO BO = ACO ODB ∴△≌△．……2分 13OD AC DB OC ∴====，． ∴点B 的坐标为(13)，．……3分
（2）因为抛物线过原点，故可设所求抛物线的解析式
为：2
y ax bx =+．将(31)(13)A B -，，，两点代入，得
393 1.a b a b +=⎧⎨
-=⎩
，解得513
66a b ==；．……5分 故所求抛物线的解析式为2513
66
y x x =+．……6分
（3）在抛物线251366y x x =+
中，对称轴l 的方程是13
210
b x a =-=-． 1B 是B 关于抛物线的对称轴l 的对称点，故1B 坐标1835⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，……7分
∴11823
1()=55
B B =--.……8分
由题意，设抛物线上到x 轴的距离为1的点为(,1)P k 或(,1)P k -，则
O y
x
D
B
E F A C
1
1 1B
第25题
12 / 12
2513166k k +=或2513
166
k k +=-……9分 即：251360k k +-=或2
51360k k ++= 解得123423
3,,2,.55
k k k k =-==-=-……10分
即抛物线上到x 轴的距离为1的点为：
1P (31)-，、2P 2(1)5，、3P (21)-，-、1P 3
(1)5-，-. ……12分
在11B PB △中，底边1235B B =，高的长为2，故11B P B
S △12323
2255
=⨯⨯=,同理12235B P B S =△，1314465
B P B B P B S S ==△△.……14分。