江西省南昌二中九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1.在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是（）
A. 打开电视机，它正在播广告
B. 打开九年级数学课本，恰好翻到第12页
C. 初一晚上看见一轮圆盘似的月亮
D. 调查13名同学，至少有两人生日同月份
3.如图，用△ABC绕点O旋转，制成了一个正六边形的图案，
那么旋转角可以是（）
A. 30∘
B. 60∘
C. 90∘
D. 150∘
4.
如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是（）
A. x轴
B. y轴
C. 直线x=1
D. 直线y=x
5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读
数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）
A. 15∘
B. 28∘
C. 29∘
D. 34∘
6.图（1）所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图（2）
所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）
A. 当x=3时，EC<EM
B. 当y=9时，EC>EM
C. 当x增大时，EC⋅CF的值增大
D. 当x变化时，四边形BCDA的面积不变
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7.一只布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和
5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出黄球的概率是______．
8.如图，是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，其中轴截面△EOF
是一正三角形，母线OE长为10cm，则它的侧面展开图的面
积为______cm2（结果保留π）
9.运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图），其中AB
为8cm，小坑的最大深度为2cm，则该铅球的直径为______cm．
10.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE=3，AF=2，BF=4，将△BEF
绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为______．
11.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正
半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=kx
（x＞0）在第一象限内的图象经过点D，且与AB、
BC分别交于E、F两点，若四边形BEDF的面积为1，
则k的值为______．
12.如图，当α=0°时，正方形ABCD与正方形AEFG互相重合，现
将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，当α=______时（0°＜α＜
360°），正方形AEFG的顶点F会落在正方形ABCD的两对角
线AC或BD所在直线上．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
13.（1）化简：（a+2）2-2（2a-1）；
（2）解不等式组：x−1≥1−xx+8>4x−1．
四、解答题（本大题共10小题，共78.0分）
14.从一定高度落下的图钉，落地后图钉针尖可能着地，也可能不着地，雨薇同学在相
同条件下反复做了这个实验，并将数据记录如下：
（1）观察针尖着地的频率是否稳定，若稳定，请写出针尖着地的概率是多少（精确到0.01）；若不稳定，请说明理由．
（2）假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计图钉针尖着地的次数大约是多少？
15.如图，一次函数y=mx+4的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y=kx(x＞0)的图
象相交于点B（1，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P是x轴上一点，若S△APB=18，直接写出点P的坐标．
16.某地进行中考体育测试，规定测试项目分为必选项目与自选项目，男生自选项目是
50米跑（A）、立定跳远（B）、引体向上（C）、1分钟跳绳（D），每个男生要在四个项目抽选两项进行测试．测试前，每个学生先抽一个，确定一个，再在所剩三个项目中再抽一个．张强同学的这四个项目中，他自认为50米跑更擅长．
（1）若张强先抽到立定跳远，然后再从剩下的项目中随机选择一项参加测试，则他刚好选中50米跑的概率是______；
（2）若张强连续随机抽取两项，求其中抽中50米跑的概率．
17.如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上．
（1）如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB 于P；
（2）如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB 于Q．
18.如图，直线x=t（＞0）与双曲线y=k1x（x＞0）交于点A，
与双曲线y=k2x（x＜0）交于点B，连结OA，OB．
（1）当k1，k2分别为某一确定值时，随t值的增大，△AOB
的面积______（填增大、不变、或减小）．
（2）当k1+k2=0，S△AOB=8时，求k1、k2的值．
19.如图，边长为4的正方形AOCD的顶点A、C分别在y轴与x轴上，点P的坐标为
（2，0），以点P为圆心，OP的长为半径向正方形内部作一半圆，交线段DF于点F，线段DF的延长线交y轴于点E，已知DC=DF．
（1）求证：DF是半圆P的切线；
（2）求线段DF所在直线的解析式．
20.提出问题
国庆节期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者的受益程度的大小呢？我们可定义：优惠率p=km，其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品总金额，当优惠率p越大，消费者受益程度越大，反之就越小．
分析问题
经统计，顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为p甲=k甲m与p乙=k乙m，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保此定值请据图象分析：
（1）求出k甲的值并用m的代数式表示k乙的值；
（2）当购买总金额m元在200≤m＜400条件下时，指出甲、乙两家商场在采取的促销方案是什么？
解决问题
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m ＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱少些？请说明理由．
21.在数学课上，老师要求学生探究如下问题：
（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，PA=2，PB=3，PC=1，试求∠BPC 的度数．
李明同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP'，易得△P′PB是正三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPC=______；
（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，试求∠BPC的度数．
（3）在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA=a，QB=b，QC=c（a＞b，a ＞c），试猜想当a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论．
22.已知△ABC是等边三角形，点P是平面内一点，且四边形PBCD为平行四边形，将
线段CD绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF．
（1）如图1，当P为AC的中点时，求证：FC⊥PD；
（2）如图2，当P为△ABC内任一点时，连接PA，PF，AF试判断△PAF的形状，并证明你的结论；
（3）当B，P，F三点共线且AB=19，PB=3时，求PA的长．
23.如图1，已知直线y=mx分别与双曲线y=8x，y=kx（x＞0）交于P，Q两点，且OP=2OQ，
（1）求k的值；
（2）如图2，若A是双曲线y=8x上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=kx （x＞0）于B，C，连接BC，设A点的横坐标为t．
①分别写出A，B，C的坐标，并求△ABC的面积；
②当m=2时，D为直线y=2x上的一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行
四边形，求A点坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识，熟记概念是解题的关键．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选C．
2.【答案】D
【解析】
解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件，错误；
B、打开九年级数学课本，恰好翻到第12页是随机事件，错误；
C、初一晚上看见一轮圆盘似的月亮是不可能发生的事件，错误；
D、调查13名同学，至少有两人生日同月份是必然事件，正确；
故选：D．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】B
【解析】
解：如图，当经过一次旋转后点C旋转至点B的位置上，
此时∠COB==60°，
故选：B．
根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与O点连线的夹角即可求得旋转角．
本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大．
4.【答案】D
【解析】
解：由表格可得：y=，
故可得这个函数图象是轴对称图形，对称轴是y=x．
故选：D．
根据x、y的值可得y与x的函数关系式，继而可判断出函数图象的对称轴．本题考查了轴对称图形及函数表达式，解答本题的关键是确定y与x的函数
关系式．
5.【答案】B
【解析】
解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°-30°）÷2=28°．
故选：B．
根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．
此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角等于它所对的弧的度数的一半．
6.【答案】D
【解析】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD．
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴∠E=∠F=45°，
∴△BEC和△CDF均为等腰直角三角形．
∵BC=x，CD=y，
∴AE=x+y，
∴EC=x，CF=y，EF=（x+y）．
∵y与x满足的反比例函数关系，且点（3，3）在该函数图象上，
∴xy=9．
A、当x=3时，y==3，EC=3，EF=6．
又∵M为EF的中点，
∴EM=3=EC，选项A不符合题意；
B、当y=9时，x==1，
∴EC=，EM=EF=5，
∴EC＜EM，选项B不符合题意；
C、∵EC=x，CF=y，
∴EC•CF=2xy=2×9=18，选项C不符合题意；
=xy=9，
D、∵S
矩形BCDA
∴当x变化时，四边形BCDA的面积不变，选项D符合题意．
故选：D．
利用矩形的性质及等腰直角三角形的性质可得出AB=CD，∠E=∠F=45°，进而可得出△BEC和△CDF均为等腰直角三角形，结合BC=x，CD=y可得出EC= x，CF=y，EF=（x+y），再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出xy=9．
A、代入x=3可求出y，EC，EF的长，再结合M为EF的中点可得出EM=3
=EC，选项A不符合题意；
B、代入y=9可求出x，EC，EM的长，进而可得出EC＜EM，选项B不符合题意；
C、由EC=x，CF=y可得出EC•CF=2xy=2×9=18，选项C不符合题意；
D、利用矩形的面积公式结合xy=9可得出S
=xy=9，进而可得出当x
矩形BCDA
变化时，四边形BCDA的面积不变，选项D符合题意．
此题得解．
本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形
以及矩形的面积，利用排除法逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
7.【答案】310
【解析】
解：∵共有2+3+5=10个小球，3个黄球，
∴第10次摸出黄球的概率是．
故答案为．
根据概率的意义解答．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8.【答案】50π
【解析】
解：∵轴截面△EOF是一正三角形，母线OE长为10cm，
∴S圆锥
=×10×10π=50πcm2；
的侧面积
故答案为：50π．
根据扇形的面积公式计算即可得到结果．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于
圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开
成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
9.【答案】10
【解析】
解：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为2cm，
∴AD=AB=4cm．
设OA=rcm，则OD=（r-2）cm
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42，
解得r=5cm，
∴该铅球的直径为10cm，
故答案为10．
如图，作OD⊥AB于D．设OA=rcm，则OD=（r-2）cm在Rt△OAD中，根据OA2=OD2+AD2，构建方程即可解决问题．
本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
10.【答案】6
【解析】
解：正方形ABCD的边长AB=6，
而BE=3，则CE=3，
在Rt△BEF中，EF===5，
∵△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，
∴EF=EH=5，
在Rt△EHC中，CH==4，
∴CH=BF=4，
∴四边形BCHF为矩形，
∴FH=BC=6．
故答案为6．
先确定正方形ABCD的边长AB=6，则CE=3，再利用勾股定理计算出EF=5，根据旋转的性质得EF=EH=5，接着计算出CH=4，从而可得到CH=BF，于是可判定四边形BCHF为矩形，然后利用矩形的性质确定FH的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
11.【答案】23
【解析】
解：连接OF，EO，
∵点D为对角线OB的中点，四边形BEDF的面积
为1，
∴S△BDF=S△ODF，S△BDE=S△ODE，
∴四边形FOED的面积为1，
由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCF=，S△OAE=，
过点D作DG⊥y轴于点G，作DN⊥x轴于点N，则S□ONDG=k，
=4S□ONDG=4k，
又∵D为矩形ABCO对角线的交点，则S
矩形ABCO
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++2=4k，
解得：k=．
故答案为：．
根据反比例函数图象上的点E、F、D入手，分别找出△OCF、△OAE、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
12.【答案】60°或180°或300°
【解析】
解：依照题意画出图形，如图所示．
①当点F在BD上时：令AC、BD的
交点为O，设正方形ABCD的边长
为2a，
则AC=AF=2a，AO=AC=a．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠BAC=∠DAC=∠EAF=45°，
∴∠AOF=90°．
在Rt△AOF中，AO=a，AF=2a，
∴cos∠OAF==，
∴∠OAF=60°，
∴α=∠OAF=60°或α=360°-∠OAF=300°；
②当点F在AC上时，
∵C、A、F三点共线，∠EAF=∠BAC=45°，
∴B、A、E三点共线，
∴α=∠BAE=180°．
综上可知：当正方形的顶点F落在正方形的对角线AC或BD所在直线上时，α=60°或180°．
故答案为：60°或180°或300°．
分点F在BD上和点F在AC上两种情况考虑：①当点F在BD上时，设正方形ABCD的边长为2a，根据正方形的性质可得出AO和AF的长，在通过解直角三角形可得出∠OAF=60°，进而可得出α的值；②由点C、A、F三点共线，
可得出B、A、E三点共线，由此得出∠BAE=180°．综上即可得出结论．
本题考查了旋转的性质以及正方形的性质，解题的关键是分点F在BD上和
点F在AC上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用旋转的性质找出相等的边角关系是关键．
13.【答案】解：（1）原式=a2+4a+4-4a+2=a2+6；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3．
【解析】
（1）原式利用完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】解：（1）由观察针尖着地频率是稳定的，针尖着地的频率是常数，其概率为0.45；
（2）假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计针尖着地的次数大约是10000×0.45=4500．
【解析】
（1）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而得出针尖着地频率的概率；
（2）在相同条件下用实验次数乘以频率，即可得出答案．
此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】解：（1）把B（1，6）代入y=mx+4得：6=m+4，
m=2，
即一次函数的解析式是y=2x+4，
把B（1，6）代入y=kx得：6=k1，
k=6，
即反比例函数的解析式是y=6x；
（2）把y=0代入y=2x+4得：2x+4=0，
x=-2，
即A的坐标是（-2，0），
分为两种情况：①当P在A的右边时，
∵S△APB=18，
∴12×AP×6=18，
AP=6，
∵A（-2，0），
∴P（4，0）；
②当P在A的左边时，P的坐标是（-8，0）．
即P的坐标是（4，0）或（-8，0）．
【解析】
（1）把B的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式求出即可；
（2）求出A的坐标，根据三角形的面积求出AP的值，根据A的坐标即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
16.【答案】13
【解析】
解：（1）若张强先抽到立定跳远，则他再从剩下的项目中随机选择一项参加测试有3种结果，其中他刚好选中50米跑的只有1种结果，
∴他刚好选中50米跑的概率为，
故答案为：；
张强选择的方案共有12种等可能的结果，其中抽中50米跑的有6种，
所以抽中50米跑的概率为=．
（1）由从剩下的项目中随机选择一项参加测试有3种结果，其中他刚好选中50米跑的只有1种结果，利用概率公式计算可得；
（2）利用表格展示所有12种等可能的结果，其中抽中50米跑的有6种，根据概率的概念计算即可．
此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：（1）如图，延长AO交⊙O于点F，连接DF交AB于点P，点P即为所求；
（2）延长ED交⊙O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，点Q即为所求．
【解析】
（1）如图1中，延长AO交⊙O于点F，连接DF交AB于点P，因为EF是⊙O 直径，所以∠EDF=90°，利用平行线的性质，可知DP⊥AB．
（2）如图2中，延长ED交⊙O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，所以∠MEF=90°，利用平行线的性质，可知EQ⊥AB．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】不变
【解析】
解：（1）不变，
∵S△AOC=|k1|，S△BOC=|k2|，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=（|k1|+|k2|），
∵k1，k2分别为某一确定值，
∴△AOB的面积不变，
故答案为：不变；
（2）由题意可知：k1＞0，k2＜0，
∴S△AOB=k1-k2=8，
∵k1+k2=0，
解得k1=8，k2=-8．
（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可证明，△AOB的面积随t值的增大不变；
（2）由题意可知S△AOB=k1-k2=8，然后与k1+k2=0构成方程组，解得即可．
本题考查的是反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
19.【答案】解：（1）如图，连接PF，PD，
∵四边形AOCD是正方形，边长为4，又圆心P的坐标为（2，0），
∴∠DCO=90°，PC=PF，
∵PC=PF，CD=DF=4，DP=DP
∴△PCD≌△PFD（SSS）
∴∠PFD=∠PCD=90°，且PF是半径
∴DF是半圆P的切线．
（2）∵DF是半圆P的切线，AO是半圆P的切线，
∴OE=EF
设OE=x，则EF=x，AE=4-x，
在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2，
∴（4-x）2+16=（4+x）2，
∴x=1
∴点E坐标（0，1）
设线段DF所在直线的解析式为：y=kx+b，且过点E（0，1），点D（4，4）
∴b=14=4k+b
解得：k=34，b=1
∴线段DF所在直线的解析式为：y=34x+1
【解析】
（1）连接PF，PD，可得PF=PC，根据“SSS”可判定△PCD≌△PFD，可得
∠PFD=∠PCD=90°，即可证DF是半圆P的切线；
（2）根据切线长定理可得OE=EF，设OE=x，则EF=x，AE=4-x，根据勾股定理可求x的值，即可得点E的坐标，用待定系数法可求线段DF所在直线的解析式．
本题是一次函数综合题，考查用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，
全等三角形的判定和性质，正方形的性质，切线的判定和性质等知识，利用勾股定理求点E的坐标是本题的关键．
20.【答案】解：（1）把m=200，p甲=0.5代入p甲=k甲m中，
得k甲=100．
由于p乙始终为0.4，
即k乙m=0.4，
∴k乙=0.4m；
（2）由（1）及优惠率p的含义可知：
当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，
甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；
乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；
（3）由上可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m-100）元，乙家商场需花0.6m 元．
据m-100=0.6m，得m=250．即当m=250时，在两家商场购买花钱一样多．
再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．【解析】
（1）把m=200，p
甲=0.5代入p
甲
=中求得k
甲
=100，然后根据p
乙
始终为0.4，
得到p
乙=，从而求得k
乙
的值即可；
（2）当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，代入可得甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；乙家商场采取的促销方案是：打6折促销．（3）根据当200≤m＜400时，甲家商场需花（m-100）元，乙家商场需花0.6m 元．然后据m-100=0.6m，得m=250．即当m=250时，在两家商场购买花钱一样多．从而确定哪家更优惠．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从题目中整理出反比例函数模型，难度中等．
21.【答案】150°
【解析】
解：（1）∵△P′PB是正三角形，△P′PA是直角三角形，
∴∠BP'P=60°，∠AP'P=90°，
∴∠AP'B=150°，
∵将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，
∴∠BPC=∠AP'B=150°；
故答案为150°．
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，
∴BP=BP'=，∠PBP'=90°，PC=P'A，∠AP'B=∠BPC，
∴∠BP'P=45°，PP'==2，
∵P'P2+P'A2=5，PA2=5，
∴P'P2+P'A2=PA2，
∴∠AP'P=90°，
∴∠AP'B=∠AP'P+∠BP'P=135°，
∵∠AP'B=∠BPC，
∴∠BPC=135°，
（3）将△BQC绕点B逆时针旋转90°，得到△BQ'A，连接QQ'，
∴BQ=BQ'=b，∠QBQ'=90°，∠AQ'B=∠BQC=135°，QC=AQ'=c，
∴QQ'=b，∠BQ'Q=45°，
∴∠AQ'Q=∠AQ'B-∠BQ'Q=90°，
∴AQ2=Q'A2+Q'Q2，
∴a2=c2+2b2．
（1）由△P′PB是正三角形，△P′PA是直角三角形，可得∠BP'P=60°，∠AP'P=90°，可得∠AP'B=150°，根据旋转的性质可得∠BPC=∠AP'B=150°；
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，根据旋转的性质可得BP=BP'=，∠PBP'=90°，PC=P'A，∠AP'B=∠BPC，根据勾股定理定理可得PP'=2，根据勾股定理的逆定理可得∠AP'P=90°，则可求∠BPC的度数；
（3）将△BQC绕点B逆时针旋转90°，得到△BQ'A，连接QQ'，根据旋转性质可
得BQ=BQ'=b，∠QBQ'=90°，∠AQ'B=∠BQC=135°，QC=AQ'=c，可得QQ'=b，∠BQ'Q=45°，则可得∠AQ'Q=∠AQ'B-∠BQ'Q=90°，根据勾股定理可求
a2=c2+2b2．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
22.【答案】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
且P为AC的中点，
∴∠PBC=12∠ABC=12×60°=30°，
∵四边形PBCD为平行四边形，
∴∠D=∠PBC=30°．
∵∠FCD=60°
∴∠FCD+∠D=90°，
∴FC⊥PD．
（2）△PAF是等边三角形，理由如下：
如图2，延长BC，
证明∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∠2=60°-∠1，
∠4=180°-60°-60°-∠3=60°-∠3．
∵四边形PACD是平行四边形，
∴PB∥CD，PB=CD=FC．
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
又AB=AC，PB=FC，
∴△ABP≌△ACF（SAS）．
∴AP=AF，∠BAP=∠CAF．
∵∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAC+∠CAF=∠PAF=60°，
∴△PAF是等边三角形．
（3）①当点P在线段BF上时，如图3，
过A作AE⊥BF于E，由（2）可得∠APF=60°，
设PE=x，则AE=3x，
于是得：（x+3）2+32=19，
x1=1，x2=-52（不合题意，故舍去）
∴PA=2x=2．
②当点P落在线段FB的延长线上时，
如图4，过B作BE⊥PA于E，则
在Rt△PBE中，PB=3，由（2）可得∠BPE=60°，
∴∠PBE=30°．
∴PE=32，BE=332．
在Rt△ABE中，AB=19，BE=332．
∴AE=19−(332)2=72，
∴PA=PE+AE=5．
由于P点不可能线段BF的延长线上，所以，综上所述，PA的长为2或5．
【解析】
（1）如图1，由等边三角形和平行四边形的性质求得∠FCD+∠D=90°，易得
FC⊥PD．
（2）△PAF是等边三角形．如图2，连接PA，PF，延长BC，构造全等三角形：△ABP≌△ACF（SAS），由该全等三角形的对应边相等、对应角相等以及等边三角形的判定定理证得结论；
（3）需要分类讨论：当点P在线段BF上和当点P落在线段FB的延长线上两种情况，通过作辅助线，构造直角三角形，结合勾股定理求得线段PA的长度．本题是运动型综合题，涉及动点与动线，复杂度较高，难度较大．第（2）问中，善于利用全等三角形的判定与性质；第（3）问中，注意分类讨论周全，不要遗漏综合运用勾股定理，求得线段之间的关系式，最后列出方程求解．题中运算量较大，需要认真计算．
23.【答案】解：（1）设Q点坐标为（a，b），则P点的坐标为（2a，2b）．
∵P点在双曲线y=8x上，Q点在双曲线y=kx上，
∴2a•2b=8，
∴k=ab=2．
（2）①∵A点的横坐标为t，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴A点坐标为（t，8t），C点坐标为（t，2t），B点坐标为
（t4，8t），
∴AC=8t-2t=6t，AB=t-t4=3t4，
∴S△ABC=12AC•AB=12×6t×3t4=94．
②分两种情况考虑：
（i）当AC为边时，如图3所示．
∵四边形ADBC为平行四边形，
∴AC=BD，AC∥BD，
∴D点的坐标为（t4，t2），
∴BD=|8t-t2|=6t，即2t=t2或t2=14t，
解得：t1=2，t2=-2（舍去），t3=27，t4=-27（舍去），
∴A点的坐标为（2，4）或（27，477）；
（ii）当AC为对角线时，如图4所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴D点的坐标为（1t，2t），
∴CD=|1t-t|=3t4，即1t=7t4或1t=t4，
解得：t1=277，t2=-277（舍去），t3=2，t4=-2（舍去），
∴A点坐标为（277，47）或（2，4）．
综上所述，点A的坐标为（2，4）或（27，477）或（277，47）．
【解析】
（1）设Q点坐标为（a，b），则P点的坐标为（2a，2b），利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出2a•2b=8，进而可求出k=ab=2；
（2）①由A点的横坐标可得出A，B，C点的坐标，进而可得出AC，AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
②分AC为边及AC为对角线两种情况考虑：（i）当AC为边时，由平行四边形的性质可得出关于t的方程，解之取其正值，再将其代入点A的坐标即可得出结论；（ii）当AC为对角线时，由平行四边形的性质可得出关于t的方程，解之取其正值，再将其代入点A的坐标即可得出结论．综上，此题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）①由A点的横坐标，利用含t的代数式表示出AB，AC的长；②分AC为边及AC为对角线两种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的方程．。