四川射洪中学2020届高三上学期第四次大联考数学理科附答案解析

(1)求五年级一班的女生立定跳远成绩的中位数；
(2)在五年级一班的男生中任意选取 3 人，求至少有 2 人的成绩是合 格的概率；
(3)若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试，用 X 表示其中男生的人数，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望．
▲
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax sin x 1 a a R，a 0 ，
B．命题“若 a, b, c 成等比数列，则 b2 ac ”的逆命题为真命题
C．命题“若 (x 1)ex 1 0 ，则 x 0 ”的逆否命题为：“若 x 0 ，则 (x 1)ex 1 0 ”；
D．“命题 p q 为真”是“命题 p q 为真”的充分不必要条件；
4.二项式 2x
18．（本小题满分 12 分）
ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 2c cos A 2b a
（1）求角 C ； （2）若 D 是边 BC 的中点， AC 5, AD 21 .求 AB 的长；
▲
19．（本小题满分 12 分）
如图，在多面体 ABCDE 中， AE ⊥ 平面 ABC ，平面 BCD 平面
D. 48
7.函数
f
(x)

2 1 ex
1 sin
x
图象的大致形状是（
）
-1-
A
B
C
D
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 2 2
9.已知函数 f x log2 x 2 ，若在1,5 上随机取一个实数 x0 ，则 f x0 1的概率为
2
.当
t

4，
a

ln
2
时，
ABC
的面积为
15 ln2 2 ，故四个结论中，只有③不正 4
确.填①②④。
三、解答题
17.【答案】（1）
an

3n

2
；（2）
3n2 2
n

2n
1
（1） q

b3 b2
x x
n
的展开式中第
7
项是常数项，则
n
的值是（
）
A． 8
B． 9
C．10
D．11
5、已知曲线 y a x1 1(a 0 且 a 1) 过定点 k,b ，若 m n b 且
m 0, n 0 ，则 4 1 的最小值为（ ）. mn
A． 9
B．9
C．5
15) 4
作
g
(x)

x2
(x

0)
的切线，设切点为
(m,
m2
)(m

0)
,则
k切
=2m
，即切线方
程为 y m2 2m(x m) ,把点 ( 1 , 15) 代入切线方程，得 m 5 或 m 3 ,又 m 0 ，则
24
2
2
-6-
m


5 2
，k切 =2m= 5 又 a
四川射洪中学 2020 届高三上学期第四次大联考 数学理科试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1．已知集合 A x | x 3n 2, n Z, B x | 2 x 4 ，则 A B （ ）
（2）若不等式 f (x) g(x) 的解集包含 1,1 ，求实数 a 的取值范围．
▲
一、选择题
2020 届高三毕业班第四次大联考 数学试题（理科）参考答案
-5-
1-5 BDCBA 6-10 DCBBA 11-12 DB
10．钝角三角形三内角
A 、 B 、 C 的度数成等差数列，则 B

12．分段讨论：当 x 0 时， f (x) 2x 与 g(x) x2 有两个交
点 (2, 4), (4,16) ，两个零点.要使 y f (x) g(x) 有 4 个零
点,则当 x

0
时
f
(x)

a
x
1 2

15 4
与
g(
x)

x2 有两个
交点即可（如图）.
过点
(
1 2
,

▲．
-2-
15．已知三棱锥 P ABC 满足平面 PAB 平面 ABC ， AC BC ， AB 4 ， APB 300 ，
则该三棱锥的外接球的表面积为 ▲ .
16.ABC的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .已知 sin A : sin B : sin C ln 2 : ln 4 : ln t ， 且 CA • CB mc2 ，有下列结论：
-3-
ABC ， ABC 是边长为 2 的等边三角形， BD CD 5 ， AE 2 ． （1）证明：平面 EBD 平面 BCD ； （2）求平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
▲
20．（本小题满分 12 分）
射洪市某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生 30 人，测试立定跳远
b2 a
)
，
B(c,

b2 a
)
，则点
D
为
F1 A
的中点， D(0,
b2 2a
)
，由
BD

F1A
，得
kBD kF1A

1，即

b2 a
b2 b2 2a a
1，整理得
3b2 2ac ，
3(a2 c2 ) 2ac ，
c 2c
∴ 3e2 +2e 3 0 解得 e 3 ． 3
D． 5
2
2
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数
学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示
的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入 n, x 的值分别
为 3,3 .则输出 v 的值为（ ）
A. 15
B. 16
C. 47
()
A． 3 5
B． 5 6
C． 5 7
D． 6 7
10．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为 m ,则 m 的范围是
（）
A． 2,
B．2,
C． 3,
D．3,
11．椭圆
C
：x a
2 2

y2 b2
1(a
b 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于
3
3 tan A 3
3 ．令 t tan A ，且 3 t 3
m 3 t ( 3 t) 2 3 1 2 3
3t
3t
3t
3 ，则
因为函数 m 1 2 3 在 ( 3 ， 3) 上是增函数， m 2 ，
3t 3
11．由题意可得，
A(c,
Байду номын сангаас 3
，
AC

2 3
，
可设三个角分别为 3

A
，
3
， 3

A ．( 6

A

) 3
故
m

c a

sin( 3
sin(3

A) A)

3 2
cos
A

1 2
sin
A

3 cos A 1 sin A
2
2
3 tanA ． 3 tan A
又 A ，
6
的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm ）：男生成绩在 175 cm 以上（包括 175 cm ）定义为“合格”， 成绩在 175 cm 以下（不包括 175 cm ）定义为“不合格”．女生成绩在 165 cm 以上（包括 165 cm ） 定义为“合格”，成绩在 165 cm 以下（不包括 165 cm ）定义为“不合格”．
（一）必考题：共 60 分。
17．（本小题满分 12 分）
已知an 是等差数列，bn 是等比数列，且 b2 2 ， b3 4 ， a1 b1 ， a6 b5 .
（1）求an 的通项公式；
（2）设 cn an bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn .
▲
①2t 8；
② 2 m 2； 9
③ t 4 ，a ln 2 时，ABC 的面积为 15 ln2 2 ； 8
④当 2 5 t 8 时， ABC 为钝角三角形.
其中正确的是 ▲ ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
0
1 2
15 4

0 ，解得 a
15 ，所以实数 a 的取值范围是 (5, 15)
2
2
二、填空题
13. 3x y 2 0 . 14. 2
15．【答案】 64π 因为 AC BC ，所以 ABC 的外心为斜边 AB 的中点，
因为平面 PAB 平面 ABC ，所以三棱锥 P ABC 的外接球球心在平面 PAB 上，即球心就是

CA • CB
c2

5k 2 ln2 2 c2 2 c2

5k 2 ln2 2c2
2

1 2
.

k
ln
2

c

3k
ln
2
，∴
5k 2 18k 2 ln
2
2

5k 2 2c2

5k 2 2k 2 ln2 2
，即 5 18

5k 2 ln2 2 2c2

5 2
，∴

2 9

m

2 （1）讨论 f (x) 在[0, ] 上的单调性.
2
（2）当 a 0 时，若 f (x) 在 0,
2

上的最大值为
1 ，讨论：函数
f
(x)
在
(0,
) 内的
零点个数.
▲
-4-
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。
PAB
的外心，根据正弦定理
sin
AB APB

2R
，解得
R

4
，所以外接球的表面积为
64π
.
16.【答案】①②④sin A : sin B : sin C ln 2 : ln 4 : ln t ，∴a : b : c ln 2 : ln 4 : ln t ，
故可设 a k ln 2 ， b k ln 4 2k ln 2 ， c k ln t ， k 0 .b a c b a ，∴ k ln 2 c 3k ln 2 ，
A．
B．1, 2
C． 1
D．2
2. i 为虚数单位，复数 z 2 在复平面内对应的点位于（ ） 1 i
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．下列命题是真命题的是（ ）.
A．命题 p : x R,1 x2 1,则p : x0 R,1 x02 1
A ，B
两点， F1A 与 y 轴相交于点 D ，若 BD F1A ，则椭圆 C 的离心率等于（ ）
A． 1 3
B． 3
C． 1 2
D． 3 3
12．已知函数
f
(x)

a
2x,x 0 x 1 15 , x
24

，函数 g(x) 0

x2 ，若函数
y

f
(x)
g(x) 有
（1）求 C1 和 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 P 0, 2 ，直线 C1 交曲线 C2 于 M , N 两点，求 PM 2 PN 2 的值.
▲
23．（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f (x) x2 ax 8 ， g(x) | x 1| | x 1| ． （1）当 a 0 时，求不等式 f (x) g(x) 的解集；
22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系
xOy
中，直线
C1
的参数方程为

x y 2
3t 3
6 3
（其中
t
t
为参数）.以坐标原点
O
为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 cos2 3sin .
4个
零点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (5,)
B．

5,
15 2

C．

5,
19 2

D．

5,
19 2

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 曲线 y x2 ln x 在点（1，1）处的切线方程为 ▲
．
14.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的准线与圆 (x 3)2 y2 16 相切，则 p 的值为
则 2 t 8 ，当 2 5 t 8 时， a2 b2 c2 0 ，故 ABC 为钝角三角形.
面
CA CB

ab cos C

ab a2
b2
c2

a2
b2
c2

5k 2
ln 2
2 c2
，
2ab
2
2
又
CA •
CB

mc2
，∴
m