2018年高考数学模拟试题及答案(全国通用)

2018年高考数学模拟试题及答案
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题)两部分。

第一卷1至2页，第二卷3至4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟。

第一卷(选择题 共60分）
注意事项：
1。

作答第一卷前,请考生务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0。

5毫米的签字笔填写在答题卡上，并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否正确。

2。

第一卷答案必须用2B 铅笔填涂在答题卡上,在其他位置作答一律无效。

每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

参考公式：
三角函数的和差化积公式
sin sin 2sin cos 22+
-+= sin sin 2cos sin 22
+
--=
cos cos 2cos
cos 2
2
+
-+=
cos cos 2sin
sin
22
+-
-=- 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，由它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
()C (1)
k k n k
n n P k p p -=- 一组数据12,,,n x x x 的方差2222121
()()()n S x x x x x x n
⎡⎤=
-+-++-⎣⎦
其中x 为这组数据的平均值
一．选择题:本大题共有12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
(1) 设集合{}1,2A =,{}1,2,3B =，{}2,3,4C =,则()A
B C =
(A ){}1,2,3
（B ){}1,2,4
（C ）{}2,3,4
(D ）{}1,2,3,4
(2) 函数123()x y x -=+∈R 的反函数的解析表达式为
（A ）2
2log 3y x =- (B ）23
log 2
x y -= (C ）2
3log 2
x
y -= (D ）2
2log 3y x
=- (3) 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=
（A ) 33
（B ） 72
（C ） 84
(D ） 189
(4) 在正三棱柱111ABC A B C -中，若2AB =，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为
（A (B (C （D (5) ABC △中,3
A =
，3BC =,则ABC △的周长为
（A ）)33
B +
+ （B ))36
B +
+
（C ）6sin()33
B ++
（D ）6sin()36
B ++
(6) 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是
(A ）
1716
（B ）
1516
（C )
78
（D ） 0
(7) 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下:
9。

4
8。

4
9。

4
9.9
9。

6
9。

4
9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
(A ) 9。

4,0.484 (B ） 9。

4，0。

016 （C ) 9。

5,0。

04 （D ) 9.5，0。

016 (8) 设、、为两两不重合的平面,l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
① 若
⊥，⊥，则//；
② 若m ⊂，n ⊂
,//
m ，//n ，则//
；
③ 若//,l ⊂
,则//
l ；
④ 若l =,m =，
n =,//l ，则//m n ．
其中真命题的个数是
(A ） 1
（B ) 2
(C ） 3
（D ） 4
(9) 设1,2,3,4,5k =，则5(2)x +的展开式中k x 的系数不可能．．．
是 (A ) 10 （B ） 40
（C ） 50
(D ) 80
(10) 若1sin()63-=
,则2
cos(2)3+=
(A )79- (B )13- （C ）13
（D ）79
(11) 点(3,1)P -在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左准线上．过点P 且方向为(2,5)=-a 的光线,经
过直线2y =-反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为
（A (B ）
13
(C (D ）
12
(12) 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在
同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的．现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 (A ） 96
（B ) 48
(C ) 24
(D ) 0
第二卷(非选择题 共90分)
注意事项：
请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题卡上指定区域内作答,在试题卷上作答一律无效.
二．填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． (13) 命题“若a b >,则221a b >-"的否命题为 ▲ ． (14) 曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是 ▲ ． (15) 函
数y =的定义域为 ▲ ． (16) 若30.618a =,[,1)a k k ∈+，k ∈Z ，则k = ▲ ．
(17) 已知a 、b 为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，则5a b -=
▲ ．
(18) 在ABC △中,O 为中线AM 上的一个动点,若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ▲ ．
三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (19) (本小题满分12分）
如图圆1O 与圆2O 的半径都等于1，124O O =．过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、
PN （M 、N
分别为切点），使得PM ．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的
轨迹方程．
(20) （本小题满分12分，每小问满分4分）
甲、乙各两人射击一次，击中目标的概率分别是
23和3
4
互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (Ⅰ) 求甲射击4次，至少有1次未击中．．．
目标的概率； （Ⅱ） 求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ) 假设某人连续2次未击中．．．
目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
(21) (本小题满分14分，第一小问满分6分,第二、第三小问满分各4分）
如图，在五棱锥S ABCDE -中,SA ⊥底面
ABCDE ,2SA AB AE ===
，BC DE ==120BAE BCD CDE ∠=∠=∠=．
（Ⅰ） 求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示); （Ⅱ） 求证BC ⊥平面SAB ；
(Ⅲ) 用反三角函数值表示二面角B SC D --的大 小（本小
问不必写出解答过程）．
(22) (本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分)
已知a ∈R ，函数2()||f x x x a =-．
（Ⅰ） 当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合； （Ⅱ) 求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值．
(23) （本小题满分14分,第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =，26a =，311a =，且
1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+,1,2,3,
n =，
其中A 、B 为常数． （Ⅰ） 求A 与B 的值；
（Ⅱ） 证明数列{}n a 为等差数列；
（Ⅲ）
1->对任何正整数m 、n 都成立．
E D
C
A
B
S
参考答案
一．选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分,满分60分．
解析: (1） {}{}{}()
1,22,3,41,2,3,4A
B C ==．
（2） 由已知得,123x y -=-,∴21log (3)x y -=-,21log (3)x y =--，即2
2
log 3
x y =-，因此所求的反函数为2
2
log 3
y x =-． （3) 设数列{}n a 的公比为q (0)q >,则21(1)21a q q ++=，∵13a =,∴260q q +-=，这个方
程的正根为2q =,∴2345123()21484a a a a a a q ++=++=⨯=．
(4) 取BC 的中点M ，连结AM 、1A M ，可证平面1A AM ⊥平面1A BC ．作AH ⊥1A M ，垂足
为H ,则AH ⊥平面1A BC ．在1Rt A AM △中,11AA =，AM =12A M =，∴
AH
(5） 由正弦定理得，
sin sin sin a b c
A B C ==
，而3
A =,3BC =，∴b
B =，c
C =,
∴2
sin )sin()]3b c B C B B +=+=+-3sin cos()6cos()333
B B =-=-
6sin()6B =+．∴6sin()36
a b c B ++=++．
（6） 抛物线的标准方程为214x y =，1(0,)16F ，准线方程为1
16
y =-,00(,)M x y ，则由抛物线
的定义得，01116y =+,即015
16
y =．
(7） 去掉一个最高分9.9和一个最低分8。

4后，平均值为
1
(9.49.49.69.49.7)9.55x =++++=，方差为
2222221
[(0.1)(0.1)(0.1)(0.1)(0.2)]0.0165
S =-+-++-+=．
（8) 在四个命题中，①、②是假命题，③、④是真命题．
（9） 在5(2)x +的展开式中k x 的系数为5
C 2k k
,其值分别为1,10，40，80,80，32． （10)2227
cos(
2)cos[(2)]cos[2()]2sin ()133669+=--+=--=--=-． (11）首先23a
c
=，椭圆的左焦点(,0)F c -关于直线2y =-的对称点为(,4)G c --，则//PG a ，
由(3,5)PG c =--,(2,5)=-a ，得1c =．故a =e =
（12)记四棱锥为P ABCD -，首先,,,PA PB PC PD 必须存放在4个不同的仓库内，每个仓库内
不可能存放3种或3种以上的化工产品，所以每个仓库恰好存放2种化工产品，方案只有
{}{}{}{},,,,,,,PA BC PB CD PC DA PD AB 和{}{}{}{},,,,,,,PA CD PB DA PC AB PD BC 两种。

因此，安全存放的不同方法种数为44A 248⨯=．
二．填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题4分,满分24分．
（13）若a
b ，则 221a
b -．（14)410x y --=．（15）1
3
[,0)
(,1]4
4
-． （16)1-．（17)2． （18)2-．
解析：
(13)“若p 则q ”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”．
（14)231y x '=+,在点(1,3)处的切线的斜率为4，切线方程为34(1)y x -=-,即410x y --=． （15）由20.5log (43)0x x -，得20431x x <-，解得,104
x -
<或
3
14
x <． (16）∵
10.61813<<，即1
313
a <<,∴10a -<<．因此，1k =-． (17)对比()(1)(3)f x x x =++和()(4)(6)f ax
b x x +=++可知，3ax b x +=+或
7ax b x +=--，令5x =-，得52a b -=。

(18) ()222OA OB OC OA OM OA OM ⋅+=⋅=-⋅-，当且仅当O 为AM 的中点时取等号．
三．解答题：
(19）本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力．满分12分．
解：如图,以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,
则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,)P x y ， 则2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-, 同理22
2(2)1PN x y =-+-． ∵PM =,
∴2
2
2
2
(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=．
所以动点P 的轨迹方程为
22(6)33x y -+=．（或221230x y x +-+=)
(20)本小题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考查运用
概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）设事件A ={甲射击4次，至少1次未击中目标｝,
则A ={甲射击4次，全部击中目标｝．
4265
()1()1()381
P A P A =-=-=．
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为
65
81
． （Ⅱ）事件B ={甲射击4次,恰好2次击中目标｝,C ={乙射击4次,恰好3次击中目标｝,则
222334
421311
()()()C ()()C ()()33448
P B C P B P C ⋅=⋅==． 答：两人各射击4次，甲恰好2次击中目标且乙恰好3次击中目标的概率为
1
8
． （Ⅲ)事件D ={乙恰好射击5次后，被中止射击｝＝｛乙射击5次，前2次至少1次击中目
标，第3次击中目标，后2次未击中目标}．
2213145
()[1()]()4441024
P D =-⨯⨯=
． 答：乙恰好射击5次后,被中止射击的概率为
45
1024
． （21)本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系的
证明、角和距离的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分14分． 解:（Ⅰ）连结BE
，由BC DE =120BCD CDE ∠=∠=，由图形的对称性可知，
四边形BCDE 是等腰梯形，//BE CD ， ∴SBE ∠即为异面直线CD 与SB 所成的角． ∵SA ⊥平面ABCDE ，2SA AB AE ===, ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AE
，SB SE == 在ABE △,
∵2AB AE ==，120BAE ∠=,
∴BE = 在SBE △,
∵SB SE ==
BE =
∴cos SBE ∠=
，SBE ∠= 因此,异面直线CD 与SB
所成的角的 (Ⅱ)由(Ⅰ）知，四边形BCDE 是等腰梯形，ABE △是等腰三角形，
∴五边形ABCDE 是轴对称图形，
∴1
(540120120120)902
ABC AEC ∠=∠=
---=，即BC AB ⊥． S
B
A
C
D
E
又∵SA ⊥平面ABCDE ，∴SA BC ⊥．而SA AB A =，
∴BC ⊥平面SAB ． （Ⅲ）二面角B SC D --
的大小为
-．（提示：作出二面角的平面角DFG ∠．)
(22）本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想和分析推理能
力．满分14分．
解：（Ⅰ）当2a =时，2()|2|f x x x =-．方程()f x x =即为
2|2|0x x x x -=⇔=或22,21x x x >⎧⎨-=⎩或2
2,
21x x x <⎧⎨-=⎩
0x ⇔=
或1x =1x =． 因此,方程()f x x =
的解集为{0,1,1+． （Ⅱ）首先2()||0f x x x a =-恒成立． ①若1
2a ，则在区间[1,2]上,当x a =时，()f x 取最小值0;
②若1a <,则在区间[1,2]上，2()()f x x x a =-，2()32(32)0f x x ax x x a '=-=->，即
()f x 在区间[1,2]上是增函数，其最小值为(1)1f a =-;
③若2a >,则在区间[1,2]上，2()()f x x a x =-，22()323()3
a
f x x ax x x '=-+=--． 若23a <<,则()f x 在区间2[1,
]3a 上是增函数，在区间2[,2]3
a
上是减函数，其最小值为(1)1f a =-与(2)48f a =-的较小者． ∵(1)(2)73f f a -=-， ∴若7
23
a <<，则在区间[1,2]上,()f x 的最小值为(2)48f a =-; 若733
a <,则在区间[1,2]上,()f x 的最小值为(1)1f a =-; 若3a
，则()f x 在区间[1,2]上是增函数，其最小值为(1)1f a =-．
综上所述，函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值为
[]min
1,10,127()48,2371,3a a a f x a a a a -<⎧⎪⎪⎪
=⎨-<⎪
⎪->
⎪⎩
．
（23）本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法,考查思维能力、运算能力．满
分14分．
解：(Ⅰ）由11a =，26a =，311a =，得11S =,22S =,318S =．
把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,
248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩
解得，20A =-，8B =-．
(Ⅱ）由(Ⅰ)知,115()82208n n n n n S S S S n ++---=--,即
11582208n n n na S S n ++--=--，
①
又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②—①得,21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．
④
④—③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-=
=-=，又215a a -=,
因此,数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． (Ⅲ）由（Ⅱ)知，54,()n a n n *=-∈N ．考虑
55(54)2520mn a mn mn =-=-．
21)1
1m n m n m n a a a a a a =++++2515()9mn m n =-++．
∴2
51)15()29
1522910mn a m n -+-⨯-=>．
即251)mn a >,1>．
因此,1．。