高考数学讲义与习题奇偶性含详解

解集是__．
6．若函数
f
(x)
3
2 2x
x 1
1
sin
x
，则
f
(2019)
f
(2019)
.
3
9．已知 f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且 f（x）在[m，n]上的最大值为 a，则函数 F（x）＝f（x）＋3
在[m，n]上的最大值与最小值之和为
.
10．已知 a 0 ,设函数
f
(x)
2019x1 3 2019x 1
f log2a f x2 2x 2 恒成立，则 a 的取值范围是
.
【答案】
1 2
,
2
【解析】因为 f (x) 是偶函数，所以不等式 f (log2 a) f (x2 2x 2) 可化为 f ( log2 a ) f (x2 2x 2) ，
又 f (x) 在[0, ) 上单调递增，所以 log2 a x2 2x 2 ，而 x2 2x 2 (x 1)2 1 的最小值为 1，所
1.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－4x，则 f(x)＝ ________ .
x2－4x，x>0， 【答案】 0，x＝0，
－x2－4x，x<0
【解析】∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.
x2－4x，x>0， 又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则 f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝ 0，x＝0，
即
f
x1
f
x2 0 ，所以，函数
f (x) 在 (0， ) 上递增，因此，
f
3 2
f
5 2
f
5 2
f (3) ，
故选：C．
3．已知函数 f (x) e x x2 , 且 f (3a 2) f (a 1) ，则实数 a 的取值范围是
.
【答案】
,
1 2
3 4
,
【解析】因为 f x e x x 2 ，所以 f (x) f (x) , f x 为偶函数，
2
所以
f
1
f
1 2
32 2
。
考点四：奇偶性与单调性的综合
1．已知函数
f
x 为偶函数，当 x 0 时，
f
x
x2 4x
x 2x
，则（
）
A． f 2 f 9.10.2 f 30.3
B． f 30.3 f 9.10.2 f 2
C． f 2 f 30.3 f 9.10.2
对 B, y ln x 为非奇非偶函数函数,故 B 错误.
对 C,
y
1
x3
为奇函数且在
0,
上递增.故
C
正确.
对 D, y x 1 为奇函数但在 0, 先减再增,故 D 错误.故选：C
x
2.下列函数是偶函数，且在 0， 上是增函数的是（
）
A． f x＝x2 2x
【答案】C
B． f x＝x2 C． f x＝ x
因为 g 1 g 2 0 ，所以当 0 x 1时， g x 0 ，且 g x 单调递增.
又 0 9.10.2 90.2 30.4 30.3 1 ，所以 g 9.10.2 g 30.2 g 1 0 ，
f
x
g
x2
1 4
在 , 0 上单调递减，且
f
xmin
1 4
。
x
2
考点四：奇偶性与单调性的综合
1．已知函数
f
x 为偶函数，当 x 0 时，
f
x
x2 4x
x 2x
，则（
）
A． f 2 f 9.10.2 f 30.3
B． f 30.3 f 9.10.2 f 2
C． f 2 f 30.3 f 9.10.2
D． f 9.10.2 f 30.3 f 2
(0, ) 上是减函数;对于 C : f (x) | x || x | f (x) , f (x) 是偶函数,当 x 0 时 f (x) x 在 (0, ) 上是
增函数,符合题意;对于 D :
f (x)
x 1 x 1
x 1 x 1
1 f (x) ,所以 f (x) 不是偶函数,故选:C.
考点二：利用奇偶性求解析式
以
log2
a
1 ， 1≤ log2
a ≤1 ，解得
1 2
a
2．
9
5.已知函数 y f x 是 R 上的奇函数，且在区间 0, 单调递增，若 f 2 0 ，则不等式 xf x 0 的
解集是__．
【答案】 2,0 0, 2
【解析】函数 y f x 是 R 上的奇函数，在区间 0, 单调递增
【思维导图】
高考数学复习讲义考点 5：奇偶性
1
【常见考法】
考法一：奇偶性的判断
1.下列函数中，既是奇函数，又在区间 0, 上递增的是（ ）
A． y 2 x
B． y ln x
1
C． y x3
D． y x 1 x
2.下列函数是偶函数，且在 0， 上是增函数的是（
A． f x＝x2 2x
。
x
2
【答案】 3 2 2
【解析】由题意，函数 f x 2x a 2x 为偶函数，又由函数 y x 为奇函数，
x
所以函数 g x 2x a 2x 为奇函数，则 g 0 1 a 0 ，得 a 1，
所以
f
x
2x
2x x
，得
f
1
3, 2
f
1 2
f
1 2
2 2 2
1
2，
2．已知函数 g(x)
ex
ex ，
f
(x)
xg( x) ,若 a
f
5 2
,b
f
3 2
,c
f
(3)
，则
a,b,c
的大小关系为
（）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<a<c
D．b<c<a
3．已知函数 f (x) e x x2, 且 f (3a 2) f (a 1) ，则实数 a 的取值范围是
2．若函数 f (x) ax2 bx 1 是定义在[a 2, 3a 2] 上的偶函数,则 f x 的值域为
.
【答案】 1, 2
【解析】依题意 f x 为偶函数，所以 a 2 3a 2 0 ，解得 a 1，所以 f x x2 bx 1.另 f x f x ，即 x2 bx 1 x2 bx 1， 2bx 0,b 0 ，所以 f x x2 11 x 1 ，根据二次 函数的性质可知，当 x 1 时，函数 f x 有最大值为 2 ，当 x 0 时，函数 f x 有最小值为1.所以函数 f x 的值域为 1, 2 .
∴函数 f x 在 , 0 上单调递增，且 f 0 0 ，
∵ f 2 f 2 0 ，即 f 2 0 ．∴当 x 2 时， f x 0 ，
当 2 x 0 时， f x 0 ，当 0 x 2 时， f x 0 ，
当
x
Байду номын сангаас
2 时，
f
x
0
，那么：
xf
x
0 ，即
x
f
0
x
0
或
x
B． f x＝x2 C． f x＝ x
）
D．
f
x
x x
1 1
考点二：利用奇偶性求解析式 1.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－4x，则 f(x)＝ ________ .
2.已知 f (x) 是偶函数,若当 x 0 时, f (x) ex ln x ,则当 x 0 时, f (x)
f
0
x
0
，
∴得： 2 x 0 或 0 x 2 ．故答案为： 2, 0 0, 2 ．
6．若函数
f
(x)
3
2 2x
x 1
1
sin
x
，则
f
(2019)
f
(2019)
.
【答案】8
【解析】由题意得： f x 3 2
2x 1 2x 1
2
sin
x
5
2 2x 1
sin
x
f
x
5
2
2 x
1
sin
3.若函数
f
(x)
2x
x2 2ax
是奇函数，则
f
(a 1)
。
【答案】 - 2 3
【解析】由 f x f x 得 2a 2x 2x 2x 2x ，
∴ a 0 ，∴ f a 1 f 1 2 .
3
7
4.已知函数 f (x) 2x a 2x (a R) 为偶函数，则 f (1) f ( 1 )
8
f 2 f 2 g 2 2 1 1 故 f 9.10.2 f 30.2 f 2 .故选： D 44
2．已知函数 g(x) ex
ex ，
f
(x)
xg( x) ,若 a
f
5 2
,
b
f
3 2
,
c
f (3) ，则 a,b,c 的大小关系为
（）
A．a<b<c
B．c<b<a
所以当 x 0 时， f (x) ex ln(x)
考点三：求参数
1．若函数
f
(x)
(4x
5x 3)(x
a)
为奇函数,则
a
=
.
3
【答案】
4
5x
5x
【解析】由函数 f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴ 4x 3x a = 4x 3x a ，
∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0 即 a= 3 4
( x [a, a] )的最大值为 M ,
最小值为 N ,那么 M
N
=
.
4
【思维导图】
考点 5：奇偶性
5
【常见考法】
考法一：奇偶性的判断
1.下列函数中，既是奇函数，又在区间 0, 上递增的是（ ）
A． y 2 x
【答案】C
B． y ln x
1
C． y x3
D． y x 1 x
【解析】对 A, y 2 x 为偶函数.故 A 错误.
因为当 x 0 时， f x 单调递增，所以 f 3a 2 f a 1 等价于 f 3a 2 f a 1 ，即
3a 2 a 1 ， 9a2 12a 4 a2 2a 1,8a2 10a 3 0 a 3 或 a 1 ，
4
2
4 ． 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 在 0, 上 单 调 递 增 ， 若 对 于 任 意 x R ，
－x2－4x，x<0.
6
2.已知 f (x) 是偶函数,若当 x 0 时, f (x) ex ln x ,则当 x 0 时, f (x)
.
【答案】 ex ln(x)
【解析】当 x 0 时, f (x) ex ln x ，f (x) 是偶函数当 x 0 时，则 x 0 ，f (x) f (x) e x ln(x)
C．b<a<c
D．b<c<a
【答案】C
【解析】依题意，有 g(x) g(x) ，则 g(x) ex ex 为奇函数，且在 R 上单调递增，所以 f (x) 为偶函
数．当 x 0 时，有 g(x) g(0) ，
任取 x1 x2 0 ，则 g x1 g x2 0 ，由不等式的性质可得 x1g x1 x2g x2 0 ，
D．
f
x
x x
1 1
【解析】对于 A : f (x) x2 2x , f (x) (x)2 2(x) x2 2x ,所以 f (x) 不是偶函数;
对于 B : f ( x) x 2 , f (x) (x)2 x 2 f (x) , f (x) 是偶函数,但是根据幂函数的性质可知, f (x) 在
.
考点三：求参数
1．若函数
f
(x)
(4x
5x 3)(x
a)
为奇函数,则
a
=
.
2．若函数 f (x) ax2 bx 1 是定义在[a 2, 3a 2] 上的偶函数,则 f x 的值域为
.
3.若函数
f (x)
2x
x2 2ax
是奇函数，则
f
(a 1)
。
2
4.已知函数 f (x) 2x a 2x (a R) 为偶函数，则 f (1) f ( 1 )
D． f 9.10.2 f 30.3 f 2
【答案】D
【解析】
f
x
x2 4x
x 2x
x 2x
1 2
2
1 ，令 g x
4
x 2x
1 2
x 0
，
g
x
1
x ln 2x
2
.
当 0 x log2 e 时， g x 0 ， g x 单调递增；
当 x log2 e 时， g x 0 ， g x 单调递减.
x
5
2 2x 1 2x
sin
x
f x f x 10 2 8 f 2019 f 2019 8
9．已知 f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且 f（x）在[m，n]上的最大值为 a，则函数 F（x）＝f（x）＋3
在[m，n]上的最大值与最小值之和为
.
4 ． 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 在 0, 上 单 调 递 增 ， 若 对 于 任 意 x R ，
f log2a f x2 2x 2 恒成立，则 a 的取值范围是
.
5.已知函数 y f x 是 R 上的奇函数，且在区间 0, 单调递增，若 f 2 0 ，则不等式 xf x 0 的