机械工程测试技术基础1-2

A( )
2 1
M
M
0
0
（五）卷积特性
两个函数x1(t)与x2(t)的卷积定义为：


x1
(
)
x
2
(t


)d
记作：
x1 (t) * x2 (t)
若： x1(t) X1( f ) 则：x1(t) * x2 (t) X1( f ) X 2 ( f )
x2 (t) X 2 ( f )
δ(t)的图示可用一长度为一个单位的线段来表示，线段位于 原点，表示当时间t0=0有一冲击。若线段位于 t=t0点，则 可定义δ函数的延迟为：

(t

t0
)

0 1
t t0 t t0 ，积分值仍为1。
（2） 函数的采样性质：如果 函数与某一连续函数f(t)相 乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0) (t)，其余各点（t 0） 之乘积均为零。如果函数与某一连续函数f(t)相乘，并在
)dt

f (t0 )
由于经过此种处理，可将f(t)在任何时刻的值提取出来，所 以称其为筛选性质，或抽样性质。当对信号进行采样时，采 样的过程及采样后信号即可利用此种性质来进行描述.
（3） 函数的与其他函数的卷积：任何函数和函数 (t)的卷
积是一种最简单的卷积积分。例如，一个矩形函数x(t)与 函数
从面积（通常也称其为 函数的强度）的角度来看：


lim (t)dt

0
S (t)dt 1

(t)


0
t0 t 0
且
+
(t)dt 1
---称之为δ函数。
用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物理现象，如 云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。定义中积分等于1， 说明其强度为1，若强度为K的脉冲用kδ(t)表示。
（二）对称性 x(t) X ( f )
X (t) x( f )
（三）时间尺度改变特性
x(t) X ( f )
x(kt) 1 X f k k
证明： x kt e j2ftdt 1

xkte j2
f kt
k d kt
一. 随机过程及其描述 随机过程： {x(t)} {x1(t), x2(t),...., xn (t),...}
由同一试验条件下所有样本函数的集合（总体） 才能定义一个物理现象的随机过程。
总体平均值： ux (t)

lim
N
1 N
N i 1
xi
(t)
t的函数
• 1.什么是集合平均？ • 2.时间平均？ • 3.平稳随机过程？ • 4.非平稳随机过程？ • 5.各态历经随机过程？ • 6.工程上大多数情况下怎么 • 处理随机信号？
对于各态历经的随机过程，可以用三方面进行描述。
①幅值域： ux , x2 ,x2 ,概率密度，联合概率密度。
②时间域：自相关，互相关函数等。 ③频率域：自功率谱，互功率谱，相干函数等。
二. 幅值域描述
1．平均值：
1T
ux

lim T T
x(t)dt
0
――直流分量
2．方差：
x2
（4） 函数的频谱
( f ) (t)e j2ft dt e0 1
(t) 1e j2ft df
这说明δ函数的频 谱密度是常数1，即δ 函数是各种等强度的 各种频率成分所组成 的。
(t)
1
t
F ()

故知时域的 函数具有 无限宽广的频谱，而且在所 有的频段上都是等强度的， 即频谱密度在整个频率轴上 处处为１，这种频谱常称为 “均匀谱”。
x1(t)x2 (t) X1( f ) * X 2 ( f )
（六）微分和积分特性
x(t) X ( f )
d n x(t) ( j2f )n X ( f )
dt n
( j2t)n x(t) d n X ( f )
df n
t
1
x(t)dt
X(f)

j2f
几种典型信号的频谱
Re X ( f ) j Im X ( f )


Re X ( f ) x(t) cos 2ftdt Im X ( f ) x(t) sin 2ftdt


如果x(t)为实偶函数，则： X ( f ) Re X ( f ) X ( f )
如果x(t)为实奇函数，则： X ( f ) j Im X ( f ) X ( f )
（二） 函数及其频谱
（1） 函数的定义：在时间内激发一个矩形脉冲S (t)
（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积
为1。当 0时S (t)的极限就称为函数，记作 （t）。
函数也称为单位脉冲函数。 （t）的特点有：
从函数值极限角度看：

(t)

0
t 0 t0
傅立叶变换的主要性质
一个信号的时域描述和频域描述依靠傅里叶变换来确立彼此 一一对应的关系。熟悉傅里叶变换的主要性质，有助于了解信号 在某个域中的变化和运算将在另一域中产生何种相应的变化和运 算关系，最终有助于对复杂工程问题的分析和简化计算工作。
（一）奇偶虚实性
X ( f ) x(t)e j2ft dt
从严格的数学意义上讲，一个函数傅立叶变换 存在的条件是其在无限区间内满足绝对可积条件，即

x(t) dt
显然，周期函数不满足上述条件，然而，由于脉冲 函数的引入，在有些情况下绝对可积并不是傅立叶变 换存在的必要条件。比如，直流信号就不满足绝对可 积条件，但它的傅立叶变换存在，等于一个频域脉冲 函数δ(f)。由此可以预料，周期函数的傅立叶变换也是 存在的。而且由于周期函数频谱的离散性，它的傅立 叶变换必定由频域脉冲函数所组成。
（四）时移和频移特性
时移特性
x(t t0 ) X ( f )e j2ft0
很显然，信号在时域平移，相当于信号中各个频率 成分产生了相移，所以频谱中应反映出相移的大小。
频移特性
x(t)e j2f0t X ( f f0 )
即在时域乘以因子 e j2f0t ,导致频谱产生平移。
相似的，信号X(f/k)表示信号X(f)在频域中扩展了k 倍。这一性质说明了信号在时域中的压缩导致了 在频域中的频谱的扩展，反之，在时域中的扩展 相应地导致了频域中频谱的压缩。
尺度变换意味着信号在时域中越宽，则其频
谱越窄，反之亦然。即信号与其频带宽度成反比。 在通信系统中，为了快速传递信号，对信号进行 时域压缩，将以扩展频带为代价。
由脉冲函数的定义不难 看出，理想的脉冲函数是不 可能实现的．然而，与脉冲 函数类似，具有很小脉宽的 脉冲函数在实际生活中却比 比皆是，例如，力学中瞬间 作用的冲击力，电学中的脉 冲电击，数字通讯信号采样 的抽样脉冲等等．实际上， 脉冲函数的概念正是以这些 实际问题为背景引出的．
3、周期函数的傅立叶变换
例 5 已知信号f(t)的频谱函数如图所示，试求信号
a(t)= f(t) cos0t的频谱函数。(0>M)
解：F[a(t)]

F[
f
(t) cos0t]

1 2
F[
f
(t)e
j0t ]
1 2
F[
f
(t)e- j0t
]

1 2
F (
0 )

1 2
F (
0 )
F ()
1 ( f k )
Ts k
Ts
强度为1/Ts
第四节 随机信号
在工程测量时，通常用幅值随时间变化的函数关系 来测量，y=f(t) 随机信号：无法用明确的数学关系式来描述，具有 不确定性和事先不可预知性。
虽然这样，不能用时间的确定函数来描述，但都 能用概率论和数理统计的方法来描述。对随机信号在 有限时间内的观测结果称之为样本，所有可能样本的 集合称之为总体。总体描述了一个随机过程。比如： 对每日气温的观测，地球上温度的变化，只能以天为 单位，或以年为单位来进行分析。每天的观测构成一 个样本函数。
（，－ ）区间中积分，则有：



(t) f (t)dt (t) f (0)dt f (0) (t)dt f (0)



对于有延时t0的 函数 (t－t0)，则有：


(t t0 ) f (t)dt



(t

t0
)
f
(t0
例1 求双边指数信号的频谱
f (t) ea t (a >0)
f (t)
1
t
解: F()
f (t)e jt dt

ea

t
e jt dt

2a
a2 2
F ()
2 a1
F
(
)

a
2
2a

2
,
(
)

0
a
a

性质1结论：
①当x(t)是实偶函数时,频谱函数x(f)是实偶函数。 ②当x(t)是实奇函数时,频谱函数x(f)是虚奇函数。 ③当x(t)是虚偶函数时,频谱函数x(f)是虚偶函数。 ④当x(t)是虚奇函数时,频谱函数x(f)是实奇函数。
j 1 [ ( f
2

f0) ( f

f0 )]
c os 2f 0 t

1 [ ( f
2

f0) ( f

f0 )]
４、周期单位脉冲序列的频谱
等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数， 并用comb(t,Ts)表示：
def
comb(t,Ts ) (t nTs ) n
(t)的卷积为:
x(t) * (t)

x( ) (t )d

x( ) ( t)d x(t)



x(t) * (t t0 ) x( ) (t t0 )d

x(t t0 )
x(t)函数和 δ 函数的卷 积的结果， 就是在发生 δ 函数的坐 标位置上简 单地将x(t) 重新构图。
1
X
f


k
k k
若k>1,则波形压缩，若0<k<1,则波形展宽。 信号在时域压缩k倍，信号随时间变化加快k倍， 所以它包含的频率分量增加k倍，即频谱宽了k倍。 根据能量守恒原理，各频率分量的大小必须减小k 倍。
性质3结论： 信号x(kt)表示信号x(t)在时间上压缩了k倍，
一、矩形窗函数的频谱
公式：
t

1 0
t T 2
t T 2
频谱：
W
f
t e dt
j 2ft

1
e e jfT
jfT
j2f
F ( )
T
1 2f
TT
一个在时域有限区间内有值的信
号，其频谱却延伸至无限频率。若 在信号中截取信号的一段记录长度， 则相当于原信号和矩形窗函数之乘 积，因而所得频谱将是原信号频域 函数和sinc函数的卷积，它将是连 续的、频率无限延伸的频谱。从其 频谱图上可以看到，在f=0~±1/T 之间的谱峰,幅值最大,称为主瓣.两 侧其他各谱峰的峰值较低,称为旁瓣. 主瓣宽度为2/T,与时域窗宽度T成反 比.可见时域窗宽T越大,即截取信号 时长越长,主瓣宽度越小.
combt,Ts 1
comb f , fs
1




2Ts Ts 0
Ts 2Ts t
3/Ts 1/Ts0 1/Ts 3/Ts f
其FS为 comb t,Ts
def


c e j 2nfst k
k
式中f s 1/ Ts , 系数ck为
ck
简谐函数的频谱密度函数
由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直
接进行傅里叶变换，而需在傅里叶变换时引如 函数：
sin 2f0t

j1 2
e j 2f0t
e j 2f0t
c os2f 0 t

1 2
e j 2f0t
e j2f0t
sin 2f0t


1 lim T T
T 0
[
x(t
)

ux
]2
dt
――波动程度
3．均方值：

2 x

1 lim T T
T x2 (t)dt
0
――信号的强度或平均功率
4．概率密度函数：描述某一时刻随机数据落在给定 区间的概率。
1 Ts
Ts
2 Ts
comb
t, Ts
e j 2kf st dt
2
1
Ts
comb t,Ts
其频谱为
de f

1 e j 2kfst
Ts k
comb f
,
f
s


1 Ts

(
k
f
kfs )
周期脉冲序列 的频谱依然是 一个周期脉冲 序列，只是周 期为1/Ts,脉冲