高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数及其性质的应用课

2．2.2 对数函数及其性质(二)
课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．
1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( )
A ．5 B.1
5
C.1e
D.12
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A ．y ＝x 2和y ＝(x )2
B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3
C ．y ＝log a x 2
和y ＝2log a x
D ．y ＝x 和y ＝log a a x
3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12
log x )的定义域是( )
A ．[1
2，1] B ．[4,16]
C ．[116，1
4
] D ．[2,4]
4．函数f (x )＝log 2(3x
＋1)的值域为( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.
6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．
一、选择题
1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2
，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c
2．已知函数y ＝f (2x
)的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )
A ．[－1,1]
B ．[1
2，2]
C ．[1,2]
D ．[2，4]
3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)
4．函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )
A.14
B.1
2
C ．2
D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x
1＋x
，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )
A ．b
B ．－b C.1b D ．－1b
6．函数y ＝3x
(－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13
log x (x >0)
B ．y ＝log 3x (x >0)
C ．y ＝log 3x (1
3≤x <1)
D ．y ＝13
log x (1
3
≤x <1)
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．函数f (x )＝lg(2x
－b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________． 8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________． 9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题
10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．
11．已知函数f (x )＝1
2
1log 1ax
x --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；
(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12
log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2 010)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 010)的值等于( )
A．4 B．8
C．16 D．2log48
13．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．
1．在对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响
无论a取何值，对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a<1时函数单调递减，当a>1时函数单调递增．
2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来
比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
2．2.2 对数函数及其性质(二)
双基演练 1．A
2．D [y ＝log a a x
＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．]
3．C [由题意得：2≤12
log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12
)4
，
即116≤x ≤1
4
.] 4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x
＋1)>0.] 5．2
解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2. 6．(3,1)
解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1. 作业设计
1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]
2．D [∵－1≤x ≤1，
∴2－1≤2x
≤2，即12
≤2x ≤2.
∴y ＝f (x )的定义域为[1
2
，2]
即1
2
≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.] 3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]
4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x
，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1
＝a x
与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2
＋1＋0＝a ，解得a ＝1
2.]
5．B [f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x
1＋x
＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]
6．C [由y ＝3x
(－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13
≤x <1)，
故选C.] 7．b ≤1
解析 由题意，x ≥1时，2x
－b ≥1.
又2x
≥2，∴b ≤1.
8．[1
2
，1)∪(1,2]
解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1，
变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1
a
当x ＝2时，令|y |＝1，
则有log a 2＝1或log a 2＝－1，
∴a ＝2或a ＝1
2
.
要使x >2时，|y |>1.
如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或1
2
≤a <1.
9．(0,1)∪(2，＋∞)
解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2
<2，得0<a <2，所以0<a <1；
若a >1，由于y ＝log a x 是增函数，
则a 2
>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.
10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0，
故3－2a >0，即a <3
2
.
综上可得，a 的取值范围是1<a <3
2
.
11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，
即12
log 1＋ax －x －1＝－12
log 1－ax x －1＝12
log x －1
1－ax
，
解得a ＝－1或a ＝1(舍)． (2)f (x )＋12
log (x －1)＝1
2
log 1＋x
x －1
＋12
log (x －1) ＝12
log (1＋x )，
当x >1时，12
log (1＋x )<－1，
∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12
log (x －1)<m 恒成立，
∴m ≥－1.
12．C [∵f (x 1x 2…x 2 010)＝log a (x 1x 2…x 2 010)＝8，
f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 010)＝lo
g a (x 21x 22…x 2
2 010) ＝2log a (x 1x 2…x 2 010)＝2×8＝16.] 13．解
数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.。