数列讲义

数列讲义（共五讲）
第一讲 数列的概念及简单表示方法
考点自测
1．(课本改编题)已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________． 2．(课本改编题)已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项． 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝__________，数列{na n }中数值最小的项是第________项．
4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156
n (n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是
( )
A ．a 12
B ．a 13
C ．a 12或a 13
D ．不存在
5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于
(
)
A ．1
B ．－1
C ．5
D ．－5
题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，61
64
，…；
(4)32，1，710，9
17
，…； (5)0,1,0,1，…. 练习：写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，3
6
，…；(4)3,33,333,3 333，….
题型二 已知数列的递推公式求通项公式
例2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1
n a n －1
(n ≥2)；
(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 练习：根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．
(1)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2
n ，a 1＝3；
(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n
2a n ＋1
；
(3)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1；
(4)在数列{a n }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足a n ＋2－4a n ＋1＋3a n ＝0.
题型三 由a n 与S n 的关系求通项a n
例3 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. 求{a n }的通项公式．
练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S n
n
＋2 (n －1) (n ∈N *)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；
(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n
n －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，
请说明理由．
第一次作业
A 组 专项基础训练题组
1．下列说法正确的是
( )
A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C ．数列⎩⎨
⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1
k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 2．数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有正整数n 都成立，则a 10等于 ( )
A ．34
B ．55
C ．89
D ．100 3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝3
2
a n －3，那么这个数列的通项公式是
( )
A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1)
B ．a n ＝3·2n
C ．a n ＝3n ＋1
D ．a n ＝2·3n
4．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝1
9，a 36＝________.
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －1
3，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为______，
k 的值为______．
6．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________. 三、解答题
7．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？
B 组 专项能力提升题组
1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n
1－a n
(n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 011的值为
( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．3
2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )
A ．5 B.72 C.92 D.13
2
3．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )
A.6116
B.259
C.2516
D.3115
4．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n
(n ≥2)，则a 16＝________.
5．数列53，108，17
a ＋b
，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )是______________．
6．(2011·浙江)若数列⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________. 7．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1
a ＋2(n －1) (n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．
(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．
第二讲 等差数列及其前n 项和
考点自测
1．(课本改编题)有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{a n }的通项公式a n ＝______________.
2．(课本精选题)已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1
b 2－b 1
的值为
________．
3．(课本改编题)已知数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2 (n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.
5．(2011·江西)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
题型一 等差数列的判定或证明
例1 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1
(n ∈N *)．
(1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．
练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －1
2S n －1＋1
(n ≥2)，a 1＝2.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．
题型二 等差数列的基本量的计算
例2 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围． 练习：(2011·福建)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
题型三 等差数列的前n 项和及综合应用
例3 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 练习：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.
(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .
试题：(12分)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .
第二次作业
A 组 专项基础训练题组
1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( )
A ．31
B ．32
C ．33
D ．34 2．数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400 D ．20 3．(2011·大纲全国)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于
( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
4．(2011·辽宁)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数)． (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．
B 组 专项能力提升题组
1．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
11＋a n 是等差数列，则a 11等于
( )
A ．0 B.16 C.13 D.1
2
2．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2 3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是
( )
A ．85
B ．90
C ．95
D ．100
4．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
5．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前10项和为________．
6．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3
b 8＋b 4
的
值为________．
7．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝
S n
n ＋c
(n ∈N *
)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；
若不存在，请说明理由．
第三讲 等比数列及其前n 项和
考点自测
1．(课本改编题)在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是____________． 2．(课本精选题)在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 3．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.
4．(2011·广东)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 5．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是 ( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
题型一 等比数列的基本量的运算
例1 (1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8；
(2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项．
练习：设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．
题型二 等比数列的定义及判定
例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .
(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．
练习：设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.
(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
题型三 等比数列的性质及应用
例3 在等比数列{a n }中，
(1)若已知a 2＝4，a 5＝－1
2，求a n ；
(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
练习：(1)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10；
(2)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值； (3)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.
题型四 等差、等比数列的综合应用
例4 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n
b n
＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.
练习：已知数列{a n }满足a 1＝12，3(a n ＋1－a n )1＋a n ＋1＝1－a n ＋1
a n ＋1＋a n
，且a n ＋1·a n <0 (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a 2n ＋1－a 2
n ，试问数列{b n }中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求出满
足条件的等差数列；若不存在，说明理由． 试题：(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝
a n ＋a n ＋1
2
，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．
第三次作业
A 组 专项基础训练题组
1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，S n 等于( ) A ．2n ＋
1－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n －1
2．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为
( )
A ．1
B ．－12
C ．1或－12
D ．－1或1
2
3．(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为
( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若a n ＝64，则n 的值为________．
5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是______． 6．设等比数列{a n }的公比q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 7．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .
8．S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和1
3S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等
比中项． (1)求S 2和S 3；
(2)求此数列{a n }的前n 项和公式； (3)求数列{S n }的前n 项和．
B 组 专项能力提升题组
1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4
，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )
A ．16(1－4－n )
B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－
n )
2．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m
n
等于( )
A.32
B.32或23
C.23
D ．以上都不对 3．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n
＝f (n ) (n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ( )
A.⎣⎡⎭⎫12，2
B.⎣⎡⎦⎤12，2
C.⎣⎡⎦⎤12，1
D.⎣⎡⎭⎫12，1 4．在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.
5．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝__. 6．已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 3＋a 4＝12，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为________． 7．等比数列{a n }的公比q >1，a 1与a 4的等比中项是42，a 2和a 3的等差中项为6，数列{b n }满足b n ＝log 2a n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．
8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3 (n ∈N *)，其中m 为常数，m ≠ －3且m ≠0.
(1)求证：{a n }是等比数列；
(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1) (n ∈N *，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1b n 为等差数
列，并求b n .
第四讲 数列求和
考点自测
1．(课本改编题)数列1，11＋2，1
1＋2＋3
，…的前n 项和S n ＝________.
2．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.
3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其中前n 项和S n ＝321
64
，则项数n ＝________.
4．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为
( ) A ．－110
B ．－90
C ．90
D ．110
5．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于 ( )
A.3n ＋12
B.3n ＋32
C.3n －12
D.3n －32
题型一 分组转化求和
例1 求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋65
16＋…＋n ·2n ＋12n
；
(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝
⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 练习：求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋1
4＋…＋⎝
⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 题型二 错位相减法求和
例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
1a n ＝n 3
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n
a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．
(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式
T n －2
2n －1
>2 013的n 的最小值． 题型三 裂项相消法求和
例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝
⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1
，求{b n }的前n 项和T n .
练习：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1
2
S n (n ＝1,2,3，…)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当b n ＝32
log (3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n
1＋n .
试题：(12分)(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1
a 2n －1
(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .
第四次作业
A 组 专项基础训练题组
1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为
( )
A ．2n ＋n 2－1
B ．2n ＋
1＋n 2－1 C ．2n ＋
1＋n 2－2 D ．2n ＋n －2
2． a n ＝1n (n ＋1)
，其前n 项之和为9
10，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在纵截距为 ( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
3．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于
( )
A ．2 008
B ．2 010
C ．1
D ．0
4．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝________.
5．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________. 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.
7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2 (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n . 8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .
B 组 专项能力提升题组
1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前5项和为 ( )
A.15
8或5 B.3116或5 C.31
16
D.15
8 2．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于
( )
A ．126
B ．130
C ．132
D ．134 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －
1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于
( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
4．已知等差数列的公差d <0，前n 项和记为S n ，满足S 20>0，S 21<0，则当n ＝______时，S n 达到最大值．
5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n
n ＋1＝__________.
6．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．
7．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根．则数列{a n }的通
项公式是a n ＝________；若b n ＝a n ＋1
2n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝__________.
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
第五讲 数列的综合应用
题型一 等差数列与等比数列的综合应用
例1 在等比数列{a n } (n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.
(1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小．
练习：已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1 (n ≥2，q ≠0)．
(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．
题型二 数列与函数的综合应用
例2 已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2n a
)＝2n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．
练习：已知定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)的图像被f (x )的图像截得的弦长为417，数列{a n }满足a 1＝2，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0 (n ∈N *)．
(1)求函数f (x )的解析式； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)设b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)，求数列{b n }的最值及相应的n .
题型三 数列与不等式的综合应用
例3 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n
1－a 2n
.
(1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；
(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n <b n .
练习：已知函数f (x )＝2x ＋33x
，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *
， (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；
(3)令b n ＝1
a n －1a n
(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0032对一切n ∈N *成立，求最小
正整数m .
试题：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1
2
，a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n
.
第五次作业
A 组 专项基础训练题组
1．(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 2．(2010·福建)等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝ ( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1f (n ) (n ∈N *)的前n 项和是( )
A.n n ＋1
B.n ＋2n ＋1
C.n
n －1
D.n ＋1n
4．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．
5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1
a n
，则该数列前26项的和为________．
6．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________. 7．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n 12
log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋
1>50成立的最小正整数n 的值．
B 组 专项能力提升题组
1．{a n }是等差数列，a 2＝8，S 10＝185，从{a n }中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n 项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，则b n 等于 ( )
A ．3n ＋1＋2
B ．3n ＋
1－2 C ．3n ＋2 D ．3n －2
2．已知数列{a n }通项公式为a n ＝log 2n ＋1
n ＋2
(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )
A ．有最小值63
B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最大值31
3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4 (n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1
125
的最
小正整数n 是 ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 4．(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………
按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________．
6．对正整数n ，若y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n ＋1的前n 项和为____．
7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n －1
n (n ＋1)
.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
8．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1n (a n ＋3)
(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t
36总
成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
不等式及不等关系
考点自测
1．(课本改编题)已知a >b >0，c <0，则下列不等式成立的所有序号是________．
①ac >bc ；②ab >ac ；③ab <bc ；④c a <c b ；⑤c a >c
b
.
2．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1
b
成立的充分条件有________
3．(课本改编题)已知a >b >0，且c >d >0，则a d 与b
c 的大小关系是________．
4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是__________.
题型一 不等式的性质
例1 对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．
(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2；
(4)若a <b <0，则1a >1b ； (5)若a <b <0，则b a >a
b .
练习：适当增加不等式条件使得下列命题成立：
(1)若a >b ，则ac ≤bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a 2>b 2； (3)若a >b ，则lg(a ＋1)>lg(b ＋1)．
题型二 比较实数或代数式的大小
例2 已知a ≠1且a ∈R ，试比较1
1－a
与1＋a 的大小．
练习:已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．
题型三 不等式性质的应用
例3 设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．
练习：（1）(2010·江苏)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2
≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y
4的最大值是________．
（2）已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y
≤3，求lg x
3
3y
的取值范围．
题型四 与一元二次不等式有关的恒成立问题
例4设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
练习：1.已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________ 2.若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为__________
3．若关于x 的不等式x 2＋1
2x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是______．
4．若关于x 的不等式4x －2x ＋
1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．
5．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是___． 6．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．
课外作业
A 组 专项基础训练题组
1．若a >b >0，则
( )
A ．a 2c >b 2c (c ∈R )
B.b
a
>1 C ．lg(a －b )>0 D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b 2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是
( )
A.1a >1b
B.1a －b >1a C ．|a |>－b
D.－a >－b
3．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．c ≥b >a
B ．a >c ≥b
C ．c >b >a
D ．a >c >b
4．若角α、β满足－π2<α<β<π
2
，则2α－β的取值范围是____________．
5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，1a >1
b ，则a >0，
b <0.其中真命题为______．(把正确命题的序号写在横线上)
6．给出条件：①1<a <b ；②0<a <b <1；③0<a <1<b .其中，能推出log b 1b <log a 1
b <log a b 成立的条件的序号是____．
7．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；
(2)当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .
8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c
a
的取值范围．
B 组 专项能力提升题组
1．若a >0，b >0，则不等式－b <1
x
<a 等价于
( )
A ．－1b <x <0或0<x <1a
B ．－1a <x <1b
C ．x <－1a 或x >1b
D ．x <－1b 或x >1
a
2．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：
①若a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >b
c －a .
其中正确命题的序号是
( ) A ．①④
B ．①②④
C ．③④
D ．②③
3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是
( )
A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1
a
D.2a ＋b a ＋2b >a b
4．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b
x 这五个式子中，恒成立
的所有不等式的序号是________．
5．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是_________．
6．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝1
2n
(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是_______．
7．已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y
y ＋b .
8．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；
(2)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．。