5-2理想低通滤波器、系统的物理可实现性

H ( j )
1 c c H ( j ) 0 c
c
c
是否满足无 失真条件？
( )
( ) t0
e jt0 c c H ( j ) other 0
t0
作用：使频率低于c的分量无失真的通过，高于c的分量 完全衰减为0；
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二、系统的物理可实现性、佩利—维纳准则 1．理想低通滤波器物理不可实现，但可设计出接近 理想低通的电路 例3. 已知 R +
L ，求H ( j ) C
L
C
+
v1 (t )

R
v2 (t )

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sin(ct ) u ( c ) u( c ) 解： ct c
sin(c t ) u ( c ) u ( c ) t
h(t ) j u( c ) u( c ) H ( j) u( c ) u( c )
2．因果系统 H ( j )的实部 R ( ) 和虚部 X ( ) 的关系 h(t ) h(t )u(t ) 1 F[h(t )] {F[h(t )] F[u(t )] 2 H ( j ) R() jX () 1 1 R( ) jX ( ) {[ R( ) jX ( )] [ ( ) ]} 2 j 1 1 j 1 [ R( ) ( ) X ( ) ] [ X ( ) ( ) R( ) ] 2 2 R( ) 1 X ( ) X ( ) 1 R( ) d j[ d] 2 2 2 2
h(t )
2c 3
e

ct
2
3 sin( ct )u(t ) 2
2． h(t ) 0 (t 0) 是系统物理可实现的 充要条件
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3．频域特性（幅度） 佩利—维纳准则（必要条件）
H ( j ) 2 d 为什么是 必要条件? ln H ( j ) d 2 1 ① 在某段频带内 H ( j ) 0 ，则系统一定非因果。即
3.理想低通滤波器的阶跃响应
u(t )
e ① H ( j ) 0
j t0
c c

H ( j )
g (t ) ?
c
E ( j ) ( )
1 j
1 G( j ) H ( j ) E ( j ) [ ( ) ] e jt0 j 1 c 1 jt0 jt 1 g (t ) F [G( j )] [ ( ) ]e e d c 2 j 1 1 c cos (t t0 ) 1 c sin (t t0 ) d d c c 2 2 j 2
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§5.2理想低通滤波器、系统的物理可实现性
一、理想低通滤波器 1．理想低通滤波器的频率特性 ① 理想模型 信号：冲激函数、阶跃函数 系统：理想低通、高通、带通、带阻滤波器 ② 理想低通滤波器：矩形幅度、线性相位
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Review
1. 理想低通滤波器
H ( j) e jt0 [u( c ) u( c )]
c Sa[c (t t0 )] （1）冲激响应： h(t ) 1 1 （2）阶跃响应： g (t ) Si[c (t t0 )] 2
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2.理想低通滤波器的冲激响应 1 1 1 j t H ( j )e d ① h(t ) F [ H ( j )] 2 2


c
c
e jt0 e jt d
1 e j ( t t0 ) c c sin c (t t0 ) c Sa[c (t t0 )] h(t ) 2 j (t t0 ) c c (t t0 )
称为希尔伯特变换对
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例5．证明 h(t ) e3t u(t )的 H ( j )的 R( j )、 X ( j )
满足希尔伯特变换对 1 3 H ( j ) j 解： j 3 2 9 2 9 3 R ( ) 2 X ( ) 2 9 9 1 X ( ) 1 d d 2 ( 9)( ) 1 9 ( 2 2 )d 2 ( 9) 9 9
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② 定义上升时间 2 1 tr 2 c c B
c 越低，上升越缓慢
B为系统的截止频率，上升时间反比于截止频率
1 1.8514 1.0895 ③ g (t ) max 2
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3 3 arctg ( ) R( ) 2 2 ( 9) 3 9 1

同理可证

1




R ( ) d X ( )
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3.对于最小相移系统 ln H ( j ) 与 ( )也满足一定的变换关系
，上升时间远小于矩形脉宽
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5.吉布斯振荡 Si( ) 1.8514
r (t )
max
1 1.8514 1.0895 2
max

r (t )
r (t )


r (t )
9%
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2. 物理可实现条件 （1）充要条件：因果性 h(t ) h(t )u (t ) （2） 佩利-维纳准则（必要条件） （3）希尔伯特变换：因果系统 H ( j )的实部与虚部满足的关系
2
物理不可实现
证明：⑴ 钟形信号的傅氏变换为钟形信号，而且钟形信号从 t 开始，故 h(t )不是因果信号 ⑵



H ( j ) d 能够满足
2
2


ln H ( j ) 1

d

ln e

2 d d 2 2 1 1

2
B 1 lim( arctg ) (1 )d B 2 B 1
lim( B arctgB) 2(lim ) B B 2

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三、利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性 1．系统可实现性的实质是因果性： h(t ) h(t )u(t )
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2 1 E ( j ) Sa ， 。求 r (t ) 例1． 已知 H ( j ) 2 2 0 解： E ( j ) Sa e(t ) u (t ) u (t ) 2 2 2
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4.理想低通滤波器对矩形脉冲的响应 e1 (t ) 1

e1 (t ) u (t ) u (t ) r1 (t ) g (t ) g (t )
2 条件： c
1

{Si[c (t t0 )] Si[c (t t0 )]
1 1 c sin (t t0 ) x (t t0 ) 1 1 c (t t0 ) sin x d dx 2 0 2 0 x
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令Si ( y ) 0
y
sin x 1 1 dx（正弦积分），则 g (t ) Si[ c (t t0 )] x 2
H ( j ) 只允许在不连续的有限点上为零
② 有理多项式函数总能满足上述条件 ③高斯函数幅度特性无法实现，即 H ( j ) 的衰减特性 不能太迅速 ④ 只从幅度上考虑可实现性
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例4．证明 H ( j ) e
c ( ) arctg[ ] 2 1 ( ) c
c
c
c 2
2 c

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2c H ( j ) 3 c 3 ( j ) 2 ( c ) 2 2 2 3 c 2
1 2 2 r (t ) g (t ) g (t ) Si[ (t )] Si[ (t )] 2 2 2 2


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例2．已知 h(t )
d sin(c t ) [ ] ，求 H ( j) dt t
h(t )
0
t0
t
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(t )
t 0 时刻加入
H ( j )
h(t )
② 由于h(t )在t 0 时有值，未卜先知，所以物理上不可能实现
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R V ( j ) 1 1 j RC 解：H ( j ) 2 R L V1 ( j ) j L 2 1 LC j 1 1 j RC R 令 c ，则 LC H ( j) 1 1 H ( j ) H ( j ) e j ( ) 2 1 ( ) j c c c c 1 ( ) H ( j ) 22 2 [(1 ) ] ( )
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R( ) 1 X ( ) 1 X ( ) R( ) d R( ) d 2 2 X ( ) X ( ) 1 R( ) d X ( ) 1 R( ) d 2 2 1 1 R( ) X ( ) X ( ) 1 R( ) 1