弹塑性力学第10章结构的塑性极限分析与安定性

下限定理
下限定理表述为：任何一个静力容许的内
力场所对应的载荷是极限载荷的下限，或 者说，静力容许载荷系数是极限载荷系数 的下限，即 s l 其中， s为静力容许载荷系数；l为塑性极 限载荷系数。 下限定理条件——放松破坏机构条件，即 结构的内力（广义应力）场满足平衡条件， 并不违背极限条件，这样的内力场称为静 力容许的内力场。
上限定理
上限定理表述为：任何一个机动容许的位移（速
度）场所对应的载荷（破坏载荷）是极限载荷的 上限，或者说，机动容许载荷系数是极限载荷系 数的上限，即 k l 其中， k 为静力容许载荷系数； l为塑性极限载 荷系数。 上限定理条件——放松极限条件，选择破坏机构， 并使载荷在其位移速度场上所作总功为正，则该 位移速度场称为机动容许的位移（速度）场，相 应的载荷称为破坏载荷。位移速度场对应的内力 场也是静力容许的。
图示刚架中有哪些基本机构？有哪些叠加机构？
机构叠加法——基本原理
叠加机构的外功等于各基本机构的外功之
和，而叠加过程中塑性铰的消失使叠加机 构的内功小于各基本机构的内功之和，由 此可以得到较小的破坏载荷。利用机构的 叠加可以获得上限解的最小可能值，对于 较复杂的刚架，Pl+min 对应的破坏机构可能 由几个基本机构叠加而成。
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp 。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的 一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
10－1 梁的弹塑性弯曲
基本假设：
（1）在梁横截面上，只考虑正应力，忽略挤 压应力；由于塑性区的剪应力分量为零， 在梁的屈服条件中仅包含正应力。 （2）在弯曲变形时，梁的横截面始终保持为 平面，且与变形后的梁轴相垂直。 （3）在梁达到塑性极限状态的瞬间之前，其 挠度与横截面尺寸相比为一个小量，即梁 在发生无约束塑性变形之前，关于小挠度 的假设依然成立。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
注意——在确定静力容许的内力场时，若
能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数， 则得到的解答可以接近或等于完全解。若 确定的弯矩绝对值等于 Mp 的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余 的弯矩为驻值的截面，它们的数值不应超 过 Mp ，否则，其内力场不是静力容许的， 对应的载荷也不是下限解。
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系； （2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）； （3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。 在假设若干个截面达到塑性极限弯矩后， 必须对其余控制弯矩进行检验，只有它们 的数值小于Mp 时，该内力场才是静力容许 的，否则，求得的解答将是一个上限解。
极限条件
极限条件又称广义屈服条件，它是梁截面
全部进入塑性时其内力组合达到临界值的 条件。由应力分量表示的屈服条件以及在 极限状态下对截面上应力分布的假设可以 得到极限条件 M = Mp 对于静定梁，当跨中截面M = Mp，即出现 一个塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失 继续承载的能力。若为超静定梁，则需要 形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏机 构。
静力法求解步骤
（1）建立静力容许的应力场，即取满足平衡条件且 不违背屈服（极限）条件的应力（内力）场。例 如在梁的极限分析时，应先确定弯矩图，并取某 些弯矩的驻值为Mp，整个内力场中有Mx Mp。 （2）由静力容许的应力（内力）场确定所对应的载 荷，且为极限载荷的下限Pl-（或 s）。 （3）在若干个极限载荷的下限解中取其最大值 Pl-max。检查在该载荷作用下结构能否成为破坏机 构，即是否存在一个对应的机动容许的位移场。 若能成为机构，则Pl-max为极限载荷的完全解，即 Pl-max= Pl；否则， Pl-max为Pl的一个近似解，且为 其下限。
【例3】左端固支、右端简 支的梁，截面的塑性极 限弯矩为Mp。 静力法——首先确定其弯 矩图，为此可由两个静 定梁的弯矩图叠加而成。 令 MA = -M1 = -Mp MC = (Pl - M1)/2 = Mp
则该内力场是静力容许的， 得
Pl- = 3Mp/l
机动法——取破坏机构
如图（c）所示，塑性铰 数r = n + 1 = 2，位于截 面A、C处，该机构使外 力作功为正，是机动容 许的。外力功与内力功 分别为 We= P = Pl Wi = Mp + 2Mp = 3Mp 由We= Wi 得 Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该 结果即为完全解。
由于上限解与下限解相 同，该结果即为极限 载荷的完全解。
小结——在该梁上仅承受垂直载荷的作用，
可以不考虑沿梁轴方向的位移约束，此时 固支条件与简支条件相同，即可将该梁视 为二次超静定的。设梁的超静定次数为n， 形成塑性铰的数目为r，在一般情况下，当r = n + 1时，梁可成为破坏机构。通常在梁 的固支端以及集中载荷作用处截面（弯矩 为驻值的截面）形成塑性铰。
M max Pl / 2 M p
完全解Pl = 2Mp/l
【例2】两端固定梁，截 面的塑性极限弯矩为 Mp。 静力法——首先确定其 弯矩图，为此可由相 应的两个静定梁（图a） 的弯矩叠加而成。取 静力容许内力场 MA = MB = -M1 = -Mp MC= Pl/4 - M1 = Mp
得
机动法
（1）首先建立机动容许的位移场，选择破坏 机构不仅是几何可能的，而且使外力所作 总功为正； （2）然后由外功与内功相等的条件求得各破 坏机构所对应的载荷Pl+； （3）最后由Pl+min 检查所对应的内力场，若 满足M Mp，则Pl+min为其完全解，否则只 为其近似解。
基本机构与叠加机构
机动法求解步骤
（1）选择一个破坏机构，该机构不仅是几何 上允许的，而且应使外力所做总功为正， 由此建立机动容许的位移（速度）场。 （2）由外功（率）与内功（率）相等的条件 求得破坏载荷Pl+（或 k）。 （3）在若干个破坏载荷中取最小值Pl+min 。 检查在该载荷作用下的内力场是否为静力 所容许，即是否违背极限条件。若内力场 是静力容许的，则Pl+min 为极限载荷的完全 解，即Pl+min= Pl ；否则，Pl+min 为Pl 的一个 近似解，且为其上限。
塑性铰
当截面全部进入塑性时，其弯矩Mp 称为截
面的塑性极限弯矩。 由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通， 将使跨中左右两边的截面产生相对转动， 正如普通结构铰的作用一样，跨中出现了 塑性铰。 塑性铰与结构铰的比较：
相同点——允许梁产生转动； 不同点——①塑性铰的存在是由于该截面上存 在弯矩M = Mp；②塑性铰为单向铰，即梁截面 的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致，否则 将使塑性铰消失。
Pl- = 8Mp/l
机动法——在A、B、C 处令其形成塑性铰 （图c），其位移场 使外力作正功，是机 动容许的。外力功与 内力功分别为 We= P Wi = Mp + 2Mp + Mp 由We= Wi 以及 = 2/l得 Pl+ = 8Mp/l
Pl- = Pl+ = Pl = 8Mp/l
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲
2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析
4. 刚架的极限分析
5. 轴对称圆板的极限分析
6. 结构的安定性
弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力
的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。 为了确定结构的塑性极限载荷，可以采用弹塑性 分析的方法，即随着载荷的不断增加，结构由弹 性状态进入弹塑性状态，最后达到塑性极限状态。 在这种分析方法中，需要了解整个加载过程，而 且由于材料的物理关系是非线性的，只有对于比 较简单的问题求解是方便的。 如果不考虑结构的变形过程，而直接分析它的塑 性极限状态，则使问题的分析大为简化，所得塑 性极限载荷与按弹塑性分析方法所得结果是完全 一样的，这就是塑性极限分析的方法。
由上、下限定理可知
k l s
当上式取等式时，由静力容许的应力场求
得 s 与由机动容许位移速度场求得 k 相等， 该载荷系数同时满足三个方面的条件，即 为极限载荷系数的完全解l。 利用上、下限定理，可以求得极限载荷 （系数）的上、下限解或完全解，相应的 方法称为机动法与静力法。
结构在性极限的临界状态下应满 足的条件
（1）平衡条件，即满足平衡方程及静力边界条件。 （2）极限条件，即结构达到塑性极限状态时的内力 场不违背极限条件。 （3）破坏机构条件，即在塑性极限状态下，结构丧 失承载力时形成破坏机构的形式，它表征了结构 破坏时的运动趋势（规律）。 满足以上三个条件的解称为极限分析的完全解。 塑性极限分析定理则给出了放松一个方面条件时 所得解答的性质，并由此导出了极限分析的方法。
（a） （b） （c） （a）弹性极限荷载；（b）弹塑性荷载；（c）塑性极限荷载
2 2 M e bh s , 3
1 he 2 M s bh2 s 1 , 3 h
M p bh2 s
塑性铰
简支梁塑性铰 （a）理想弹塑性材料；（b）刚塑性材料
梁截面的塑性极限弯矩与塑性铰
材料为理想弹塑性，只有正应力x= (x, z)，其余
应力分量均为零。正应力与弯矩M之间的关系为
M 2b zdz
0
h
应变与梁轴挠曲曲率K之间的关系为
x = -Kz
曲率K与挠度w之间的关系为
d w K dx 2
梁截面上的屈服条件为
2
= s
对结构进行塑性极限分析可以得到以下三
个方面的结果，即： （1）结构的塑性极限载荷； （2）达到塑性极限状态时的应力（或内力） 分布； （3）结构达到塑性极限状态的瞬间所形成的 破损机构。 在变值载荷作用下，对结构的破坏型式与 承载能力进行分析，则是结构塑性安定性 的研究内容。在一般情况下，结构实现安 定性的载荷值要比塑性极限载荷低得多； 在有些情况下，安定载荷接近或等于塑性 极限载荷。
如令 MA= -3Pl/8 = -Mp
则
MC = 5Mp/6 < Mp
B A
C
静 力 容 许 ， Pl- = 8Mp/(3l)。 如令 MC = 5Pl/16 = Mp 则 MC = -6Mp/5 < -Mp 静 力 不 容 许 ， Pl* = 16Mp/(5l) 不是下限解。
例4～例6自己看，主要注意原则、思路和方法。
弯矩与曲率的关系
Ks M s 3 1 Kp M p
1 / 2
10－2 塑性极限分析的定理与方法
结构塑性极限分析中的几个假设：
（1）材料的应力－应变模型是理想刚塑性的， 即不考虑材料的弹性变形及强化效应。 （2）在达到塑性极限状态的瞬间之前，结构 的变形足够小，且不会失去稳定性。 （3）所有外载荷都按同一比例增加。
10－4 刚架的极限分析
在外载荷的作用下，刚架的内力有弯矩、
轴力以及剪力。在门式刚架中，轴向力比 较小，可以不考虑它对截面进入极限状态 的影响；在极限状态下，剪应力分量为零。 因此，刚架的极限条件与梁分析时的极限 条件完全相同。 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
静力法
基本机构： 梁机构——刚架中受弯杆件 层机构——在水平载荷作用下，柱的顶端与底 部出现塑性铰，使同一层或若干层一起发生侧 向运动而形成的破坏机构 节点机构——节点由三杆或三杆以上组成时， 在相交端各自出现塑性铰时，使节点发生刚性 转动的节点转动机构 叠加机构——两种或以上基本机构叠加起来的 机构