江西初三初中数学开学考试带答案解析

江西初三初中数学开学考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.1．下列运算中，正确的是（）.
A．x+x="2x"B．2x﹣x="1"C．（x3）3=x6D．x8÷x2=x4
2.在正三角形、正方形、正五边、正六边形中不能单独镶嵌平面的是（）.
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
3.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）.
A．70°B．65°C．50°D．25°
4.如图，数轴上两点A、B在线段AB上任意取一点C，则点C到表示1的距离不大于2的概率是（）.
A． B． C． D．
5.已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）.
A．2B．3C．6D．54
6.如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）.
A．B．C．D．
二、填空题
1.若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为．
2.关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，则k的取值范围是．
3.已知正数a、b、c满足a2+c2=16，b2+c2=25，则k=a2+b2的取值范围为．
4.如图1是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图2所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图1中的圆与扇环的面积比为．
5.如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为B （3，0），则由图象可知，
不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是 ．
6.王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n 个“中”字形图案需 根火柴
棒．
三、解答题
1.解方程：+
=1．
2.化简求值：
，其中x=
．
3.如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面
上．
（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？
（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．
4.在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽为16 cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的，你认为符合条件的等腰三角形，（分别在下列矩形中画出示意图）并分别计算剪下的等腰三角形的面积．（位置不同，形状全等的将视为一种结果）
5.已知x 1，x 2是方程x 2﹣2x+a=0的两个实数根，且x 1+2x 2=3﹣． （1）求x 1，x 2及a 的值；
（2）求x 13﹣3x 12+2x 1+x 2的值．
6.在平面直角坐标系中，将A （1，0）、B （0，2）、C （2，3）、D （3，1）用线段依次连接起来形成一个图案（图案①）．将图案①绕点O 逆时针旋转90°得到图案②；以点O 为位似中心，位似比为1：2将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③．
（1）在坐标系中分别画出图案②和图案③；
（2）若点D 在图案②中对应的点记为点E ，在图案③中对应的点记为点F ，则S △DEF = ；
（3）若图案①上任一点P （A 、B 除外）的坐标为（a ，b ），图案②中与之对应的点记为点Q ，图案③中与之对
应的点记为点R，则S
= ．（用含有a、b的代数式表示）
△PQR
7.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．
8.为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：
组别次数x频数（人数）
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a= ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120不合格；120≤x＜140为合格；140≤x＜160为良；
x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或八年级同学提一条合理化建
议：．
9.如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的
纵坐标如下：
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF，若点M不在抛物线P上，求k
的取值范围．
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀
速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回，点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速
运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BC﹣CP于点E．点P、Q同
时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
江西初三初中数学开学考试答案及解析
一、选择题
1.1．下列运算中，正确的是（）.
A．x+x="2x"B．2x﹣x="1"C．（x3）3=x6D．x8÷x2=x4
【答案】A.
【解析】根据合并同类项法则，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变,A、x+x=2x，正确；B、应为2x﹣x=x，故本选项错误；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，C、应为（x3）3=x9，故本选项错误；根据同底数幂相除，
底数不变，指数相加减，D、应为x8÷x2=x6，故本选项错误．故选A．
【考点】1.幂的乘方与积的乘方；2.合并同类项；3.同底数幂的除法．
2.在正三角形、正方形、正五边、正六边形中不能单独镶嵌平面的是（）.
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【答案】C.
【解析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断．A．正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B．正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C．正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D．正六边形的每个内角是120°，A,B,D,3个能密铺，故选C．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
3.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）.
A．70°B．65°C．50°D．25°
【答案】C.
【解析】由平行可求得∠DEF，又由折叠的性质可得∠DEF=∠D′EF，结合平角可求得∠AED′．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°，又由折叠角相等可得∠D′EF=∠DEF=65°，∴∠AED′=180°﹣65°﹣65°=50°，故选C．
【考点】1.平行线的性质；2.翻折变换（折叠问题）．
4.如图，数轴上两点A、B在线段AB上任意取一点C，则点C到表示1的距离不大于2的概率是（）.
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】先求出AB两点间的距离，根据距离的定义找出符合条件的点，再根据概率公式即可得出答案．∵AB间距离为6，点C到表示1的点的距离不大于2的点是﹣1到3之间的点，满足条件的点组成的线段的长是4．∴点
C到表示1的距离不大于2的概率为=；故选D．
【考点】1.几何概率；2.数轴．
5.已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）.
A．2B．3C．6D．54
【答案】C.
【解析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周
长．∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1，∵△ABC的周长为18，
∴△DEF的周长为6．故选C．
【考点】相似三角形的性质．
6.如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）.
A．B．C．D．
【答案】A.
【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．随着圆的穿行开始，阴影部分的面
积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D．故选A．
【考点】动点问题的函数图象．
二、填空题
1.若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为．
【答案】1.
【解析】由m，n互为倒数可知mn=1，代入代数式即可．因为m，n互为倒数可得mn=1，所以mn2﹣（n﹣1）
=n﹣（n﹣1）=1．
【考点】1.代数式求值；2.倒数．
2.关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，则k的取值范围是．
【答案】k＞2．
【解析】先解方程，然后根据解为正实数，可以得到关于k的不等式，从而可以确定出k的范围．∵kx﹣1=2x，
∴（k﹣2）x=1，解得，x=，∵关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，∴＞0，解得，k＞2，故答
案为：k＞2．
【考点】一元一次方程的解．
3.已知正数a、b、c满足a2+c2=16，b2+c2=25，则k=a2+b2的取值范围为．
【答案】9＜k＜41．
【解析】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围．∵正数a、b、c满足a2+c2=16，b2+c2=25，∴c2=16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16，同理：有c2=25﹣b2得到0＜c2＜25，两式结合可得：0＜c2＜16，将a2+c2=16，b2+c2=25，两式相加：a2+b2+2c2=41，即a2+b2=41﹣2c2，又∵﹣16＜﹣c2＜0，即﹣32＜﹣2c2＜0，∴9＜41﹣2c2＜41，即9＜k＜41．
【考点】不等式的性质．
4.如图1是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图2所示，ABCD是正方形，⊙O是该正
方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图1中的圆与
扇环的面积比为．
【答案】4：9．
【解析】要求图1中的圆与扇环的面积比，就要先根据面积公式先计算出面积．再计算比．设正方形的边长为2，
则圆的半径为1，圆的面积为π，扇环的面积为（4π﹣π）=π，所以图1中的圆与扇环的面积比为π：π=4：9．
【考点】扇形面积的计算．
5.如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，
不等式ax2+bx+c＞0的解集是．
【答案】x＜﹣1或x＞3．
【解析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（﹣1，0），又y=ax2+bx+c
＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．∵抛物线与x轴的一个交点（3，0），而对称轴x=1，∴
抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0），当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方，此时x＜﹣1或x＞3.故答案为：x
＜﹣1或x＞3．
【考点】二次函数与不等式（组）．
6.王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需根火柴
棒．
【答案】6n+3．
【解析】通过观察发现后边的图形总比前边的图形多的根数，即可解决．观察图形发现：第一个图形中有9根，第二个图形中有15根，第三个图形中有21根，后边是多一个图形，多6根．根据这一规律，则第n个图形中，需要9+6（n﹣1）=6n+3根．故答案为6n+3．
【考点】规律型：图形的变化类．
三、解答题
1.解方程：+=1．
【答案】x=3.
【解析】解分式方程是先去分母转化为整式方程，注意不要漏乘没有分母的项，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可得到分式方程的解．
试题解析：先去分母转化为整式方程得：3﹣x﹣1=x﹣4，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故此分式方程的解是x=3.
【考点】解分式方程．
2.化简求值：，其中x=．
【答案】化简结果；值为-1.
【解析】首先把能因式分解的要因式分解，然后把除法运算转化成乘法运算，约分，再进行减法运算，最后代值计算．
试题解析：原式把能因式分解的要因式分解，把除法运算转化成乘法，约分，再进行减法运算，原式=
===；
当x=时，原式=．
【考点】分式的化简求值．
3.如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面
上．
（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？
（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．（1）从中随机抽取卡片，共有四种等可能结果，其中抽到的卡片是眼睛的结果有两种，根据概率公式即可求出其概率；（2）根据题意列表或画树状图，列出所有等可能情况，再看符合条件的有几种情况，根据概率公式求出其概率.
试题解析：（1）从中随机抽取卡片，共有四种等可能结果，即眼睛，眼睛，耳朵，鼻子，其中抽到的卡片是眼睛
的结果有两种，所以抽到的卡片是眼睛的概率是；（2）随机抽取两次，列表如下：
（列表法）
由列表可知，共有12种等可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为
．
【考点】1.用列表法与树状图法求随机事件的概率；2.概率公式．
4.在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽为16 cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出不同类型的，你认为符合条件的等腰三角形，（分别在下列矩形中画出示意图）并分别计算剪下的等腰三角形的面积．（位置不同，形状全等的将视为一种结果）
【答案】画图参见解析，50cm 2；40cm 2；5cm 2．
【解析】（1）在BA 、BC 上分别截取BE=BF=10cm ；（2）在BA 上截取BE=10，以E 为圆心，10长为半径作弧，交AD 于F ；（3）在BC 上截取BF=10，以F 为圆心10为半径作弧，交CD 于E ．
试题解析：如图所示：
（1）以B 为等腰三角形的一个顶点，在BA 、BC 上分别截取BE=BF=10cm ，则等腰三角形的面积是10×10÷2=50cm 2；（2）B 点作为等腰三角形的一个顶点，在BA 上截取BE=10，以E 为圆心，10长为半径作弧，交AD 于F ；AE=16﹣10=6cm ，AF=
=8cm ，则此等腰三角形的面积是10×8÷2=40cm 2；（3）B 点作
为等腰三角形的一个顶点，在BC 上截取BF=10，以F 为圆心，10为半径作弧，交CD 于E ．CF=17﹣10=7cm ， EC=
=
cm ，则此等腰三角形的面积是10×
÷2=5
cm 2．
【考点】作图—应用与设计作图．
5.已知x 1，x 2是方程x 2﹣2x+a=0的两个实数根，且x 1+2x 2=3﹣．
（1）求x 1，x 2及a 的值；
（2）求x 13﹣3x 12+2x 1+x 2的值． 【答案】（1）x 1=1+
，x 2=1﹣
．a==﹣1；（2）1．
【解析】（1）将x 1+2x 2=3﹣与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组即可求出x 1，x 2及a 的值； （2）欲求x 13﹣3x 12+2x 1+x 2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出x 13﹣3x 12+2x 1+x 2的值．
试题解析：（1）由两根之和公式及已知，得
，解得x 1=1+，x 2=1﹣．所以a=x 1•x 2=
（1+）（1﹣）=﹣1；（2）由题意，得x 12﹣2x 1﹣1=0，即x 12﹣2x 1=1，∴x 13﹣3x 12+2x 1+x 2=x 13﹣2x 12﹣x 12+2x 1+x 2=x 1（x 12﹣2x 1）﹣（x 12﹣2x 1）+x 2=x 1﹣1+x 2=（x 1+x 2）﹣1=2﹣1=1． 【考点】1.根与系数的关系；2.解二元一次方程组；3.一元二次方程的解．
6.在平面直角坐标系中，将A （1，0）、B （0，2）、C （2，3）、D （3，1）用线段依次连接起来形成一个图案（图案①）．将图案①绕点O 逆时针旋转90°得到图案②；以点O 为位似中心，位似比为1：2将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③．
（1）在坐标系中分别画出图案②和图案③；
（2）若点D 在图案②中对应的点记为点E ，在图案③中对应的点记为点F ，则S △DEF = ；
（3）若图案①上任一点P （A 、B 除外）的坐标为（a ，b ），图案②中与之对应的点记为点Q ，图案③中与之对
应的点记为点R ，则S △PQR = ．（用含有a 、b 的代数式表示）
【答案】（1）作图参见解析；（2）15；（3）
（a 2+b 2）.
【解析】（1）将图案①中的各顶点绕点O 逆时针旋转90°得到知顶点的对应点，顺次连接对应点得到图案②；以点O 为位似中心，位似比为1：2将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③；即连接OA ，OB ，OC ，OD ，并延长到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA ，OB ，OC ，OD 的2倍，顺次连接各点即可；（2）根据网格分析S △DEF 是由哪几个图形组成，利用面积公式计算．从图中可看出三角形是矩形的面积﹣三个三角形的面积．所以S △DEF =9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）以特殊点点C 看作点P,P （a ，b ），则Q 点坐标（-b,a ）,R 点坐标为（-2a,-2b ）,首先从图中找出这个三角形的三点，然后再连线组成三角形，观察网格得到三角形的面积公式=矩形﹣3个三角形的面积，列出式子计算．
试题解析：（1）将图案①中的各顶点绕点O 逆时针旋转90°得到各个顶点的对应点，顺次连接对应点得到图案②；以点O 为位似中心，位似比为1：2将图案①在位似中心的异侧进行放大得到图案③；即连接OA ，OB ，OC ，OD ，并延长到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA ，OB ，OC ，OD 的2倍，顺次连接各点，如图②和图
③；
（2）从图中可看出三角形DEF 的面积是矩形的面积﹣三个三角形的面积．所以S △DEF =9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）∵点P （在第一象限内）的坐标为（a ，b ），∴点Q 的坐标为（-b ，a ），点R 的坐标为（-2a ，-2b ），不妨设a ＞b ，S △PQR =（2a+a ）（a+2b ）-(2a-b)(2b+a)-(a+b)(a-b)-(2a+a)(2b+b)=3a 2+6ab-(2a 2-
2b2+3ab+a2-b2+9ab)=3a2+6ab-a2+b2-6ab=（a2+b2）.
【考点】1.作图-位似变换；2.三角形的面积；3.矩形的性质．
7.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．
【答案】(1)画图参见解析；（2）不在；（3）证明参见解析.
【解析】（1）利用“两弦垂直平分线的交点为圆心”可确定圆心位置；（2）先根据A、B、C三点坐标，用待定系
数法求出抛物线的解析式，然后将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点D是否在抛物线的图象上；（3）由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可
根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
试题解析：（1）如下图，连接AB,BC，作线段AB,BC的垂直平分线，两线的交点M即为所求；（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）,设经过点A、B、C的抛物线的解析式为
y=ax2+bx+4
依题意，解得,所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4,把点D（7，0）的横坐标x=7代入上述解析式，得y=-×49+×7+4=≠0,所以点D不在经过A、B、C的抛物线上；（3）
如图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD
由图可知：CE=2，ME=4，ED=1，MD=5,在Rt△CEM中，∠CEM=90°,∴MC2=ME2+CE2=42+22=20,在Rt△CED 中，∠CED=90°,∴CD2=ED2+CE2=12+22=5,∴MD2=MC2+CD2,∴∠MCD=90°,∵MC为半径,∴直线CD是⊙M的切线．
【考点】1.待定系数法求二次函数解析式；2.确定圆的条件；3.切线的判定．
8.为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，
以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a= ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120不合格；120≤x＜140为合格；140≤x＜160为良；
x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或八年级同学提一条合理化建
议：．
【答案】（1）a=12；（2）补图参见解析；（3）落在第三组；（4）要让80﹣100次数的6人多锻炼（答案不唯一）．
【解析】（1）根据直方图的意义，各组频数之和即样本容量，结合题意只需用总数减所有频数就是a的值；（2）根据（1）的答案，补全直方图即可；（3）根据中位数的求法，先将数据按从小到大的顺序排列，中间位置的那
个数或中间的两个数的平均数就是中位数；从图中可看出是中位数的所在的位置；（4）根据题意，结合统计表的
信息，给出合理的建议即可．
试题解析：（1）根据题意用总数减所有频数，a=50﹣6﹣8﹣18﹣6=12；（2）根据（1）的答案，补全直方图如
图所示；
（3）根据中位数的求法，先将数据按从小到大的顺序排列，读图可得：共50人，第25、26名都在第3组，
所以这个样本数据的中位数落在第三组；（4）根据直方图的信息，给出合理的建议，答案不唯一，如要让80﹣
100次数的6人多锻炼．
【考点】1.频数（率）分布直方图；2.频数（率）分布表；3.中位数．
9.如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对
应的纵坐标如下：
x…﹣3﹣212…
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）若点D 的坐标为（m ，0），矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；
（3）当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k•DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k
的取值范围．
【答案】(1)A （2，0），B （﹣4，0），C （0，﹣4）；(2)S DEFG =12m ﹣6m 2（0＜m ＜2）；(3)k≠
且k ＞
0．
【解析】（1）根据图表可以得到，抛物线经过的四点的坐标，根据待定系数法，设y=ax 2+bx+c,把其中三点的坐标代入，就可以求得函数解析式．进而可以求出A 、B 、C 的坐标；（2）表示出矩形的长和宽是解决问题的关键，先证△ADG ∽△AOC ，AD=2﹣m ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以用m 表示出DG 的长，再根据△BEF ∽△BOC ，就可以表示出BE ，进而得到OE ，于是ED 就可以表示出来．因而S 与m 的函数关系就可以得到；（3）当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，就是函数的值是最大值时，根据二次函数的性质就可以求出相应的m 的值．则矩形的四个顶点的坐标就可以求出，根据待定系数法就可以求出直线DF 的解析式．可以求出直线DF 与抛物线的交点的坐标，根据FM=k•DF ，就可以表示出M 的坐标，把M 的坐标代入函数就可以得到一个关于k 的方程，求出k 的值，判断是否满足函数的解析式即可．
试题解析：（1）根据待定系数法，设y=ax 2+bx+c （a≠0），任取x ，y 的三组值代入，求出解析式为y=
x 2+x ﹣4，
令y=0，求出x 1=﹣4，x 2=2；令x=0，得y=﹣4，∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （2，0），B （﹣4，0），C （0，﹣4）．（2）由题意，△ADG ∽△AOC ，所以，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m ，故DG=4﹣2m ，
又△BEF ∽△BOC ，所以
，EF=DG ，得BE=4﹣2m ，∴DE=3m ，∴S DEFG =DG•DE=（4﹣2m ）
3m=12m ﹣6m 2（0＜m ＜2），故S=12m ﹣6m 2（0＜m ＜2）；（3）如下图，连接DF 并延长，∵S DEFG =12m ﹣6m 2（0＜m ＜2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D （1，0），G （1，﹣2），F （﹣2，﹣2），E （﹣2，0），设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=，b=﹣
，∴y=
x ﹣
，又可求得抛物线P 的解析式为：y=
x 2+x ﹣4，令
x ﹣
=
x 2+x ﹣4，可求出x=
．设射线DF 与抛
物线P 相交于点N ，则N 的横坐标为，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有==
，点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是k≠且k ＞
0．
【考点】二次函数综合题．
10.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回，点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB ﹣BC ﹣CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t=2时，AP= ，点Q 到AC 的距离是 ；
（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
【答案】(1)1，；(2)S=﹣t2+t；(3)能．t=或；(4)t=或t=．
【解析】（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离；（2）过点Q作QF⊥AC于
点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S与t的函数解析式；（3）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，
△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t；（4）①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC2=QC2解得t；②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t．
试题解析：（1）如图1，过点Q作QF⊥AC于点F，
∵AC=3，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴当t=2时，AP=3﹣2=1；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．∴BC=4，∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，∴△ACB∽△AFQ，∴，∴=，解得：QF=；故答案为：1，；（2）如图1，
过点Q作QF⊥AC于点F，如图1，AQ=CP=t，∴AP=3﹣t．由△AQF∽△ABC，得=．∴QF=t．∴S=（3﹣t）•t，即S=﹣t2+t；（3）能成为直角梯形．①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图
2．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，此时∠AQP=90°．由△APQ∽△ABC，得，即．解得t=；②如图3，
当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ=90°．由△AQP∽△ABC，得，即
．解得t=，综上所述：在点E从B向C运动的过程中，当t=或时，四边形QBED能成为直角梯形；（4）①点P由C向A运动，DE经过点C．连接QC，作QG⊥BC于点G，如图4．
∵sinB===，∴QG=（5﹣t），同理BG=（5﹣t），∴CG=4﹣（5﹣t），∴PC=t，
QC2=QG2+CG2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2．∵CD是PQ的中垂线，∴PC=QC，则PC2=QC2，得t2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，解得t=；②点P由A向C运动，DE经过点C，如图5．
可知PC=6﹣t，QC2=QG2+CG2，由PC2=QC2可知：（6﹣t）2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，即t=．综上所述：t=或t=．
【考点】1.四边形综合题；2.三角形相似的判定与性质；3.动点问题.。