2022年人教版中考模拟检测《数学试题》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一．选择题(共10小题)
1. 下列各数中，比﹣2小的数是( )
A. 0
B. 1
2
C. ﹣1.5
D. ﹣3
2. 下列手机软件图标中，属于中心对称的是( )
A. B. C. D.
3. 微信抢红包活动已经超越了红包本身，成为我们中国人春节前后释放情感、满足心理诉求和社交的重要载体，2019年除夕到初五期间，共有8.23亿人次收发微信红包同比增长7.12%，用科学记数法表示8.23亿这个数为( )
A. 8.23×107
B. 8.23×108
C. 8.23×109
D. 0.83×109
4. 株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为( )
9：00–10：00 10：00–11：00 14：00–15：00 15：00–16：00
进馆人数50 24 55 32
出馆人数30 65 28 45
A. 9：00–10：00
B. 10：00–11：00
C. 14：00–15：00
D. 15：00–16：00
5. 不等式组
24
11
x
x
>-
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集，在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 一张面积为240的长方形彩纸，长比宽大8，设它的宽为x，可列方程( )
A. 8x＝240
B. x(x﹣8)＝240
C. x(x+8)＝240
D. 8(8+x)＝240
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF，设AD交EF于点O，连结BE、OC．下列结论中，不一定成立的是( )
A AE⊥BE B. EF平分∠AE
B C. OA＝O
C D. AB＝BE+EC
8. 设x1为一元二次方程x2﹣2x＝5
8
较小根，则( )
A. 0＜x1＜1
B. ﹣1＜x1＜0
C. ﹣2＜x1＜﹣1
D. ﹣5＜x1＜﹣4
9. 如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，E是AD的中点，连结BE交对角线AC于点F，连结DF，则tan∠DFE的值为( )
A.
3
4
B.
3
5
C.
3
6
D.
3
7
10. 已知：实数x满足2a﹣3≤x≤2a+2，y1＝x+a，y2＝﹣2x+a+3，对于每一个x，p都取y1，y2中的较大值．若p的最小值是a2﹣1，则a的值是( )
A. 0或﹣3
B. 2或﹣1
C. 1或2
D. 2或﹣3
二．填空题(共6小题)
11. 分解因式：2a2－a＝________．
12. 如图，AB∥CD∥EF，点E，F分别在线段AD，BC上，已知BF＝4，CF＝6，AE＝5，则DE的长为_____．
13. 从6张上面分别写着”少”“年”“强”“则”“国”“强”这6个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着”强”字的概率是_____．
14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的”赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，
中间的小正方形ABCD的边长为2，分别以A，C为圆心，2为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为_____．
15. 如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣3
x
(x＜0)与y＝
6
x
(x＞0)图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，
则△AOB的面积为_____．
16. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．
(1)CD的长是_____;
(2)当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是_____．
三．解答题(共8小题)
17. (1)计算：sin30°﹣32)0+2﹣1;
(2)解方程组：
22
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
18. 先化简，再求值：
2
2
13
11
x x
x x
-+
-
+-
，其中|x|≤1，且x为整数．
小海同学的解法如下：
解：原式＝
1
1
x
x
-
+
﹣
23
(1)(1)
x
x x
+
+-
⋯①
＝(x﹣1)2﹣x2+3 ⋯②＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3 ⋯③＝﹣2x+2．⋯④
当x＝﹣1时，⋯⑤
原式＝﹣2×(﹣1)+2⋯⑥
＝2+2＝4．⋯⑦
请指出他解答过程中的错误(写出相应的序号，多写不给分)，并写出正确的解答过程．
19. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
(1)求证：BE＝CF．
(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
20. 某中学为合理开展”体艺2+1”活动，随机抽取部分学生进行问卷调查(每位学生只选择一种自己喜欢的项目)，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)参加调查的学生有人，在扇形统计图中，表示参加”绘画”学生的扇形的圆心角为;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该中学有1 450名学生，则估计该中学喜欢”篮球”的学生共有多少人?
21. 我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C
(1)若∠ADB＝53°，∠B＝60°，求A到BD的距离及C、D两点间的距离(结果精确到1cm)．
(2)老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点E，点E正好在CD的垂直平分线上，且∠BDE ＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．(结果精确到1cm)
参考数据：sin53°≈080，cos53°≈0.60，．tan53°≈1.332≈1.413)
22. 如图，二次函数y1＝x2+bx+c与y2＝x2+cx+b(b＜c)的图象相交于点A，分别与y轴相交于点C，B，连接AB、AC．
(1)过点(1，0)作直线l平行于y轴，判断点A与直线l的位置关系，并说明理由．
(2)当A、C两点是二次函数y1＝x2+bx+c图象上的对称点时，求b的值．
(3)当△ABC是等边三角形时，求点B的坐标．
23. 某电视台摄制组乘船往返于A码头和B码头进行拍摄，在A、B两码头间设置拍摄中心C．在往返过程中，假设船在A、B、C处均不停留，船离开B码头的距离s(千米)与航行的时间t(小时)之间的函数关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
(1)求船从B码头返回A码头时的速度及返回时s关于t的函数表达式．
(2)求水流的速度．
(3)若拍摄中心C设在离A码头12千米处，摄制组在拍摄中心分两组拍摄，其中一组乘橡皮艇漂流到B码头处，另一组同时乘船到达A码头后马上返回，求两摄制组相遇时离拍摄中心C的距离．
24. 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D、E分别是AB、BC中点，把△BDE绕点B旋转，连接AD、AE、CD、CE，如图2．
(1)求证：△BDE∽△BAC．
(2)求△ABE面积最大时，△ADE的面积．
(3)在旋转过程中，当点D落在△ACE边所在直线上时，直接写出CE的长．
答案与解析一．选择题(共10小题)
1. 下列各数中，比﹣2小的数是( )
A. 0
B. 1
2
C. ﹣1.5
D. ﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据负数的绝对值越大负数反而小，可得答案．
【详解】∵|﹣3|＞|﹣2|，
∴﹣3＜﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用负数的绝对值越大负数反而小是解题关键．
2. 下列手机软件图标中，属于中心对称的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念一一判断．
【详解】解：将A、B、D图绕任意点旋转180°后，都不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，将C图绕着圆心旋转180°后，能与原来的图形重合，是中心对称图形，故本选项正确;
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 微信抢红包活动已经超越了红包本身，成为我们中国人春节前后释放情感、满足心理诉求和社交的重要载体，2019年除夕到初五期间，共有8.23亿人次收发微信红包同比增长7.12%，用科学记数法表示8.23亿这个数为( )
A. 8.23×107
B. 8.23×108
C. 8.23×109
D. 0.83×109
【答案】B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵8.23亿=82 300 000，
∴用科学记数法表示8.23亿这个数为8.23×108．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，关键是确定a的值以及n的值．
4. 株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下，则馆内人数变化最大时间段为( )
9：00–10：00 10：00–11：00 14：00–15：00 15：00–16：00
进馆人数50 24 55 32
出馆人数30 65 28 45
A. 9：00–10：00
B. 10：00–11：00
C. 14：00–15：00
D. 15：00–16：00
【答案】B
【解析】
分析】
根据表格数据得出10：00﹣11：00，进馆24人，出馆65人，从而求解．
【详解】解：由统计表可得：10：00﹣11：00，进馆24人，出馆65人，差之最大，
故选B．
【点睛】本题考查统计表，题目比较简单．
5. 不等式组
24
11
x
x
>-
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集，在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D. 【答案】B
分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项．
详解：
24
11
x
x
-
⎧
⎨
-≤
⎩
＞①
②
∵解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤2，
在数轴上表示为，
故选B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
6. 一张面积为240的长方形彩纸，长比宽大8，设它的宽为x，可列方程( )
A. 8x＝240
B. x(x﹣8)＝240
C. x(x+8)＝240
D. 8(8+x)＝240
【答案】C
【解析】
【分析】
设它的宽为x，则长为(x+8)，根据长方形的面积公式结合彩纸的面积为240，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设它宽为x，则长为(x+8)，
根据题意得：x(x+8)＝240．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF，设AD交EF于点O，连结BE、OC．下列结论中，不一定成立的是( )
A. AE⊥BE
B. EF平分∠AEB
C. OA＝OC
D. AB＝BE+EC
【答案】A
【解析】
【分析】
由图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB．根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定与性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴OB＝OC，
∵EF垂直平分AB，
∴OA＝OB，BE＝AE，
∴OA＝OC，故选项C结论成立;
∵BE＝AE，EF垂直平分AB，
∴EF平分∠AEB，故选项B结论成立;
∵BE＝AE，AB＝AC，
∴AB＝AC＝AE+EC＝BE+EC，故选项D结论成立;
当∠BAC＝45°时，AE⊥BE，故选项A不一定成立．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
8. 设x1为一元二次方程x2﹣2x＝5
8
较小的根，则( )
A. 0＜x1＜1
B. ﹣1＜x1＜0
C. ﹣2＜x1＜﹣1
D. ﹣5＜x1＜﹣4 【答案】B
【解析】
【分析】
先把方程化为一般式，用公式法求出方程的解，再利用估算法得到较小根的范围．
【详解】解：2
5 2
8
x x
-=，2
81650
x x
--=，
∵()2
(16)485=1=6260∆--⨯⨯-⨯>， ∴()
216(16)485426164x ±--⨯⨯-±==，
1x 为一元二次方程2528
x x -=
较小的根， 142626144x -∴==-， 5266<<，
110x ∴-<<．
故选：B ．
【点睛】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小，关键是读懂题意，理清思路．
9. 如图，在▱ABCD 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，E 是AD 的中点，连结BE 交对角线AC 于点F ，连结DF ，则tan ∠DFE 的值为( )
3333【答案】B
【解析】
【分析】
作DG BE ⊥交BE 的延长线于G ，作FH AD ⊥于H ，由直角三角形的性质得出2BC AB =，得出AE DE AB ==，证出30AEB EAF ∠=︒=∠，得出AF EF =，得出2AE EH =，2EF FH =，233EF AE ==，由直角三角形的性质得出2DE DG =，3EG DG =，设DG x =，则3EG x =，2AE DE x ==，23EF x =
，由三角函数即可得出结果． 【详解】解：作DG ⊥BE 交BE 的延长线于G ，作FH ⊥AD 于H ，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴AD＝BC，∠BAD＝120°，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝30°，∠EAF＝30°，
∴BC＝2AB，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝AB，
∴∠AEB＝30°＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∵FH⊥AD，
∴AE＝2EH，EF＝2FH，
233
EF EH AE
==,
∵∠DEG＝∠AEB＝30°，DG⊥BE，∴DE＝2DG，EG3，
设DG＝x，则EG3，AE＝DE＝2x，EF 23
x，
∴
3
5
23
3
3
tan DFE
x x
∠=
+
;
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10. 已知：实数x满足2a﹣3≤x≤2a+2，y1＝x+a，y2＝﹣2x+a+3，对于每一个x，p都取y1，y2中的较大值．若p的最小值是a2﹣1，则a的值是( )
A. 0或﹣3
B. 2或﹣1
C. 1或2
D. 2或﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出两直线的交点坐标(1，a +1)，画出草图，分左、中、右三种情况讨论交点的横坐标1和2a ﹣3≤x ≤2a +2的关系，结合图象和x 的取值范围，找到并求出相应的p 的最小值，根据题意列出关于a 的方程并解出即可.
【详解】解：解方程x +a ＝﹣2x +a +3，解得x ＝1，当x ＝1时，y 1＝a +1，
所以直线y 1＝x +a ，y 2＝﹣2x +a +3的交点坐标为(1，a +1)，
①当23122a a ≤≤+﹣，即1-22
a ≤≤时， 由图可知：当1x =时，p 取最小值是a +1．
所以a 2﹣1=a +1
所以(a ﹣2)(a +1)＝0．
所以a ＝2或a =﹣1， 又∵1-22
a ≤≤ ∴a ＝2;
②当123a <﹣，即2a >时，
由图可知：当23x a =-时，p 取最小值是y 1＝2a -3+a ．
∴a 2﹣1=3a-3
∴a =2或a =1，
又∵2a >，
∴a 无解;
③当2a +2<1，即12
a <-, 由图可知：当2+2x a =时，p 取最小值是y 2=-2(2a +2)+a +3
∴a 2﹣1=-3a-1,
∴a =-3或a =0，
又∵
1
2
a<-，
∴a=-3;
综上所述：2或﹣3
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，数形结合、分类讨论是解题的关键．
二．填空题(共6小题)
11. 分解因式：2a2－a＝________．
【答案】a(2a－1)
【解析】
【分析】
提取个公因式a即可得2a2－a= a(2a－1).
【详解】2a2－a= a(2a－1).
故答案a(2a－1).
【点睛】本题考查的知识点是因式分解，解题的关键是熟练的掌握因式分解.
12. 如图，AB∥CD∥EF，点E，F分别在线段AD，BC上，已知BF＝4，CF＝6，AE＝5，则DE的长为_____．
【答案】15 2
.
【解析】【分析】
根据平行线分线段成比例的定理即可得出AE BF
DE CF
=，分别将BF＝4，CF＝6，AE＝5代入，可求DE的长
度.
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴AE BF
DE CF
=，即
54
6
DE
=，
∴DE
15 2 =，
故答案为：15
2
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理.三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
13. 从6张上面分别写着”少”“年”“强”“则”“国”“强”这6个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着”强”字的概率是_____．
【答案】1 3
【解析】【分析】
根据概率公式
m
p
n
=进行求解.
【详解】从6张上面分别写着”少”“年”“强”“则”“国”“强”这6个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张，共6种情况，这张卡片上面恰好写着”强”字的情况有2种，则这张卡片上面恰好写
着”强”字的概率是2
6
，即
1
3
故答案为1 3 .
【点睛】本题考查的知识点是概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式.
14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的”赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，中间的小正方形ABCD的边长为2，分别以A，C为圆心，2为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】2π﹣4．
【解析】
【分析】
阴影部分的面积是两个圆心角为90︒，且半径为1的扇形的面积与正方形的面积的差．
【详解】解：阴影部分的面积为S阴影＝2S扇形﹣S正方形＝
2
2
902
2224
360
π
π
⋅⨯
⨯-=-，
故答案为2π-4．
【点睛】本题考查扇形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键将求阴影部分面积转化为求扇形的面积与正方形的面积的问题．
15. 如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣3
x
(x＜0)与y＝
6
x
(x＞0)图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，
则△AOB的面积为_____．
【答案】62． 【解析】
【分析】
过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACO 与三角形ODB 相似，由A 、B 分别在反比例函数
3(0)y x x =-<与6(0)y x x
=>图象上，利用反比例函数k 的几何意义求出三角形AOC 与三角形BOD 面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为OA 与OB 之比，设出OA x =，2OB x =，在直角三角形AOB 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出OA 与OB 的长，即可求出三角形AOB 的面积．
【详解】解：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，
又∵OA ⊥OB ，
∴∠AOC +∠BOD ＝90°，∠AOC +∠CAO ＝90°，
∴∠BOD ＝∠CAO ，
又∵∠ACO ＝∠BDO ＝90°， ∴△ACO ∽△ODB ，
∵点A ，B 分别分别在反比例函数y ＝﹣
3x (x ＜0)与y ＝6x (x ＞0)图象上， ∴13322AOC S =⨯-=，1632
BOD S =⨯=，即S △AOC ：S △BOD ＝1：2， ∴OA ：OB ＝12
在Rt △AOB 中，设OA ＝x ，则OB 2，AB ＝6，
根据勾股定理得：AB 2＝OA 2+OB 2，即36＝x 2+2x 2，
解得：x＝23，
∴OA＝23，OB＝26，
则S△AOB＝1
2
OA•OB＝62．
故答案为：62．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
16. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．
(1)CD的长是_____;
(2)当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是_____．
【答案】(1). 2(2). 5+3
【解析】
【分析】
(1)延长DA，CB交于点H，由”ASA”可证ADE≌AHE，可得AH AD
=，由平行得相似，依据相似的性质即可求解;
(2)先证明A，D，C，E四点共圆，因为F是AC中点，依据垂径定理，得到DF是AC的中垂线，依据线段的垂直平分线的性质可求得AD的长度，作AH CD
⊥于H，可证四边形ABCH是矩形，依据矩形的性质，结合线段长度，可得AH是CD的中垂线，由此可得AC的长度，在三角形ABC中，依据勾股定理可求得BC的长度，只需把各边相加即可得到四边形ABCD的周长.
【详解】解：(1)如图1中，延长DA，CB交于点H，
∵EA平分∠BED，
∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，∴△ADE≌△AHE(ASA)
∴AH＝AD，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB∥CD，
∴△ABH∽△DCH,
∴AB AH
CD DH
=，且AB＝1，AH＝AD＝1
2
HD，
∴CD＝2，
(2)如图2中，作AH⊥CD于H，
∵∠DAE＝∠DCE＝90°，
∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点，又∵AF＝CF，
∴DE⊥AC，
∴DA＝DC，
∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴CH＝AB＝1，
∵CD＝2，
∴CH＝HD＝1，
又∵AH⊥CD，
∴AD＝AC，
∴AD＝CD＝AC＝2，
∴2222
213
BC AC AB
=-=-，
四边形ABCD
的周长为2215+++=+
故答案为：(1)2
;(2)5+
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造中垂线、相似三角形、直角三角形，建立未知线段与已知线段之间等量的关系．
三．解答题(共8小题)
17. (1)计算：sin30°﹣
2)0+2﹣1;
(2)解方程组：220x y x y +=⎧⎨+=⎩
． 【答案】(1)0;(2)22x y =⎧⎨=-⎩
． 【解析】
【分析】
()1原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值;
()2方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：()1原式111022
=-+=; (2)220x y x y +=⎧⎨+=⎩
①②， -①②得：2x =，
把2x =代入②得：2y =-，
则方程组的解为22x y =⎧⎨=-⎩
． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：221311
x x x x -+-+-，其中|x |≤1，且x 为整数． 小海同学的解法如下： 解：原式＝11x x -+﹣23(1)(1)
x x x ++- ⋯①
＝(x ﹣1)2﹣x 2+3 ⋯②
＝x 2﹣2x ﹣1﹣x 2+3 ⋯③
＝﹣2x +2．⋯④
当x ＝﹣1时，⋯⑤
原式＝﹣2×(﹣1)+2⋯⑥
＝2+2＝4．⋯⑦
请指出他解答过程中的错误(写出相应的序号，多写不给分)，并写出正确的解答过程．
【答案】第②步错误，原式=﹣21x -，当x =0时，原式=2． 【解析】
【分析】
第二步错误，代数式的化简通分过程中，不能去分母，不能和解分式方程混淆;正确的化简过程：先通分，再对分子进行去括号、合并同类项与因式分解，最后进行约分;求值过程，先将能取的几个整数代入到最简公分母中检验，只有x =0时，公分母不为0，求出此时原式的值即可.
【详解】解：第②步错误， 正确解答过程为：原式()()()()()()()()()2222113(1)321111111111
x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+=-=-==-++-+-+-+--， 由|x |≤1，得到﹣1≤x ≤1，即整数x ＝﹣1，0，1，
又∵最简公分母(1)(1)0x x +-≠，
∴x =0，此时，原式=2．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，注意化简过程必须是恒等变形，分式中未知数的值必须要使得最简公分母不为0，才能使得分式有意义．
19. 如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ．
(1)求证：BE ＝CF ．
(2)若AB ＝CF ，∠B ＝40°，求∠D 的度数．
【答案】(1)证明见解析;(2)70°
【解析】
【分析】
(1)由平行线的性质得出B C ∠=∠，结合已知条件，依据AAS 即可证明ABE ≌DCF ;
()2由()1得：40C B ∠=∠=︒，ABE ≌DCF ，由全等三角形的性质得出AB CD =，证出CD CF =，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】(1)证明：∵AB ∥CD ，
∴∠B ＝∠C ，
∵在△ABE 和△DCF 中， A D B C
AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△DCF (AAS )，
∴BE ＝CF ;
(2)解：由(1)得：∠C ＝∠B ＝40°，△ABE ≌△DCF ，
∴AB ＝CD ，
又∵AB ＝CF ，
∴CD ＝CF ，
∴∠D ＝∠CFD ＝12
(180°﹣40°)＝70°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的等边对等角的性质以及三角形内角和定理;利用全等的性质求证线段相等是一种常见思路，利用三角形内角和求角度也是常见思路，关键是将已知条件转化到目标三角形中．
20. 某中学为合理开展”体艺2+1”活动，随机抽取部分学生进行问卷调查(每位学生只选择一种自己喜欢的项目)，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)参加调查的学生有 人，在扇形统计图中，表示 参加”绘画”学生的扇形的圆心角为 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该中学有1 450名学生，则估计该中学喜欢”篮球”的学生共有多少人?
【答案】(1)200，36°;(2)补图见解析;(3)580人
【解析】
【分析】
(1)由喜欢”足球”的学生数除以占的百分比求出调查的学生总数，用绘画的人数20除以被调查的总人数，求出喜欢”绘画”的百分比，乘以360度即可得到参加”绘画”学生的扇形的圆心角;
()2先运用人数=百分百×总数，求出喜欢”乒乓球”的人数，再用被调查的总人数减去其他各项的人数，得到喜欢”羽毛球”的学生数，补全统计图即可;
()3先用百分比=人数÷总数，求出喜欢”篮球”的百分比，乘以1450即可得到结果．
【详解】解：(1)根据题意得：40÷20%＝200(人)，
则参加调查的学生有200人;
参加”绘画”的学生为360°×80
200
＝36°，
(2)”乒乓球”的人数为200×15%＝30(人);”羽毛球”的人数为200﹣(80+40+30+20)＝30(人)，补全条形统计图，如图所示：
(3)由题意可得：80
200
×1450＝580(人)．
答：估计该中学喜欢”篮球”的学生共有580人．
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意、灵活运用频率=频数÷总数及其变形公式是解本题关键.
21. 我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C
(1)若∠ADB＝53°，∠B＝60°，求A到BD的距离及C、D两点间的距离(结果精确到1cm)．
(2)老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点E，点E正好在CD的垂直平分线上，且∠BDE ＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．(结果精确到1cm)
参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，．tan53°≈1.33，2≈1.41，3≈1.73)
【答案】(1)A 到BD 的距离为24cm ，C 、D 两点间的距离为20cm ;(2)眼睛所在的位置应上升的距离为7cm ．
【解析】
【分析】
(1)由图1知AD =30cm ，BC =12cm ，过A 作AH BD ⊥于H ，则90AHD AHB ∠=∠=︒，解直角三角形即可得到A 到BD 的距离AH 的长，及BH 的长;而CD=AH+BH-BC ;
(2)过E 作EG CD ⊥，过A 作AF EG ⊥交GE 的延长线于F ，得到四边形AFGH 是矩形，求得
24FG AH ==，根据线段垂直平分线的性质得到1102
DG CD ==，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：(1)过A 作AH ⊥BD 于H (见下图)，
则∠AHD =∠AHB ＝90°，
又∵由图1得AD ＝30，∠ADB ＝53°，
∴AH ＝AD •sin53°＝30×0.80≈24，DH ＝AD •cos53°＝30×
0.60＝18， 又∵∠B =60°，
∴BH 33
=14， ∴BD =BH +DH =32，
又∵由图1得BC =12，
∴CD =32﹣12=20，
答：A 到BD 的距离为24cm ，C 、D 两点间的距离为20cm ;
(2)过E 作EG ⊥CD ，
过A 作AF ⊥EG 交GE 的延长线于F ，
则四边形AFGH是矩形，
∴FG＝AH＝24，
∵点E正好在CD的垂直平分线上，
∴DG＝1
2
CD＝10，
∵∠EDC＝60°，
∴EG＝3DG＝103≈17.3，
∴EF＝FG﹣EG≈7cm，
答：眼睛所在的位置应上升的距离为7cm．
【点睛】本题考查解直角三角形、线段的垂直平分线的性质、视点、视角和盲区等知识，解题的关键是将实际问题抽象为数学问题，并通过做辅助线，构造熟悉的模型，解决实际问题．
22. 如图，二次函数y1＝x2+bx+c与y2＝x2+cx+b(b＜c)的图象相交于点A，分别与y轴相交于点C，B，连接AB、AC．
(1)过点(1，0)作直线l平行于y轴，判断点A与直线l的位置关系，并说明理由．
(2)当A、C两点是二次函数y1＝x2+bx+c图象上的对称点时，求b的值．
(3)当△ABC是等边三角形时，求点B的坐标．
【答案】(1)直线l过点A;(2)b＝﹣1;(3)B(0，﹣33
3
)．
【解析】【分析】
(1)联立1y 、2y 并解得：1x =，故点()1,1A b c ++，又因为l ：1x =，故可判定点在直线l 上;
(2)先写出、C 两点的坐标，因为、C 两点是二次函数21y x bx c =++图象上的对称点，故点A 、C 的纵坐
标相同，可以据此列出方程，求解即可;
(3)先根据解析式写出 A 、B 、C 的坐标，过等边三角形的点A 作AH ⊥BC ，得到AH =1，根据三线合一得到H 是BC 中点，将H 的坐标、BH 的长度用b 、c 表示，可以运用三角函数表示BH 与OA 的关系，同时A 、H 的纵坐标相同，就建立了关于b 、c 的两个方程，解出来代入B 点坐标即可.
【详解】解：(1)联立y 1、y 2并解得：x ＝1，y ＝1+b+c ，
∴点A (1，1+b +c )，
∴直线l ：1x =过点A ;
(2)由题意得：点B (0，b )、C (0，c )，
∵A 、C 两点是二次函数y 1＝x 2+bx +c 图象上的对称点，故点A 、C 的纵坐标相同，
即：1+b +c ＝c ，
解得：b ＝﹣1;
(3)如下图所示，过等边三角形的点A (1,1+b+c )作AH ⊥BC ，
∴H 是B (0，b )、C (0，c )中点，则点0,
2b c H +⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12b c b c +=++， ∴1AH =，2
b c HB b +=-, 又∵60B ∠=︒,AH HB tan B
=∠， ∴132603
b c b tan +-==︒， 又∵12
b c b c +=++， 解得：33b +=
故点
33
0,.
3
B
⎛⎫
+
-
⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、点的对称性、等边三角形的性质等，本题的关键在于弄清楚点的坐标间的关系，以建立了关于b、c的两个方程．
23. 某电视台摄制组乘船往返于A码头和B码头进行拍摄，在A、B两码头间设置拍摄中心C．在往返过程中，假设船在A、B、C处均不停留，船离开B码头的距离s(千米)与航行的时间t(小时)之间的函数关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
(1)求船从B码头返回A码头时的速度及返回时s关于t的函数表达式．
(2)求水流的速度．
(3)若拍摄中心C设在离A码头12千米处，摄制组在拍摄中心分两组拍摄，其中一组乘橡皮艇漂流到B码头处，另一组同时乘船到达A码头后马上返回，求两摄制组相遇时离拍摄中心C的距离．
【答案】(1)s＝9t;(2)4.5千米/时;(3)12千米
【解析】
【分析】
(1)根据题意，船从B码头返回A码头时的速度27÷3＝9千米/时，
设返回时s关于t的函数表达式为s＝kt，过(3，27)，即可得出k＝9，进而求出s关于t的函数表达式为s ＝9t(0≤t≤3)
(2)首先分别求出船由B到A的速度和由A到B的速度，再根据：顺水速﹣逆水速＝水速的2倍即可得出水流的速度;
(3)首先求出当船到达A地用时，再求出此时橡皮艇行至距C地的距离，设船从A返回追橡皮艇时间为x时，
则可得出18x＝4.5x+12+6，解得x＝4
3
，即可求出此时距C的距离．
【详解】解：(1)船从B码头返回A码头时的速度27÷3＝9千米/时，
设返回时s关于t的函数表达式为s＝kt，过(3，27)
∴k＝9
∴s关于t函数表达式为s＝9t(0≤t≤3)
答：船从B码头返回A码头时的速度为9千米/时，返回时s关于t的函数表达式为：s＝9t．
(2)船由B 到A 的速度为：27÷3＝9千米/时，由A 到B 的速度为：27÷(4.5﹣3)＝18千米/时，
根据：顺水速﹣逆水速＝水速的2倍得：(18﹣9)÷
2＝4.5千米/时， 故水流的速度为4.5千米/时;
(3)当船到达A 地用时为：12÷9＝43时，此时橡皮艇行至距C 地4.5×43
＝6千米处， 设船从A 返回追橡皮艇时间为x 时，则：18x ＝4.5x +12+6
解得：x ＝43
此时距C 的距离为：4.5×(
43+43)＝12千米． 答：两摄制组相遇时离拍摄中心C 的距离为12千米．
【点睛】此题主要考查利用函数图像求函数解析式，水流的速度公式，相遇问题.
24. 如图1，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，把△BDE 绕点B 旋转，连接AD 、AE 、CD 、CE ，如图2．
(1)求证：△BDE ∽△BAC ．
(2)求△ABE 面积最大时，△ADE 的面积．
(3)在旋转过程中，当点D 落在△ACE 的边所在直线上时，直接写出CE 的长．
【答案】(1)证明见解析;(2)
212
;(3)满足条件的CE 67+17﹣1． 【解析】
【分析】 (1)利用三角形的中位线定理即可解决问题．
()2当EB AB ⊥时，ABE 的面积最大，根据ADE ABE BDE ADB S S S S =--求解即可．
()3分4种情形：①如图32-中，当点D 在线段AE 上时，②如图32-中，当点D 在线段CE 上，分别求解即可．③如图33-中，当点D 在AE 的延长线上时．④如图34-中，当点D 在CE 的延长线上时，分别求解即可．
【详解】解：(1)如图1中，
∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，
∴DE ∥AC ，
∴△BDE ∽△BAC ．
(2)如图2中，作AH ⊥BC 于H ．
当EB ⊥AB 时，△ABE 的面积最大，
S △ADE ＝S △ABE ﹣S △BDE ﹣S △ADB ＝111212212112222
-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. (3)如图3﹣2中，当点D 在AE 上时，
∵∠ABC ＝∠DBE ＝45°，
∴∠ABD ＝∠CBE ，
22
AB BD BC BE ==，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴EC＝2222
-=-=．
BC BE
(22)(2)6
如图3﹣2中，当点D在线段CE上，
在Rt△BDC中，CD＝2222
BC BD
-=-=，
(22)17
∴EC＝1+7．
如图3﹣3中，当点D在AE的延长线上时，易证∠BEC＝90°，CE＝226
-=
BC BE
如图3﹣4中，当点D在CE的延长线上时，
在Rt△BCD中，CD227
-，
BC BD
∴EC7﹣1
综上所述，满足条件的CE67+17﹣1．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角。