高中数学 第二章 解析几何初步本章整合课件 北师大版必修2

解:①当两直线的斜率均不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,
它们在x轴上的截距之差的绝对值为1,满足题意;
②当两直线的斜率均存在时,设它们的斜率均为k,显然k≠0,则两条
直线的方程分别为y=k(x+1),y=kx+2.
2
令 y=0,分别得 x=-1,x=-.
由题意得 -1 +
2

=1,解得 k=1.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
专题3 圆的几何性质的应用
圆是一种特殊图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形,圆心是
对称中心,任意一条直径所在直线都是对称轴.圆具有许多重要的
几何性质,如圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点的
连线垂直于弦;切线长定理;切割线定理;直径所对的圆心角是直角
等.充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量.另外,对于
|-1+-2|
为 k,则 l1 的方程为 kx-y+k-2=0,由直线与圆相切,得
2
+1
4 +2
4
k= .故
的最小值是 .
3 +1
3
=1,解得
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
专题6 对称问题
在解析几何中,经常遇到对称问题,对称问题主要有两大类,一类
是中心对称,一类是轴对称.
1.中心对称
形,由勾股定理求解.
解析:设圆的半径为r,圆心O到直线3x+4y+15=0的距离
|15|
d=
=3 ,由题意得d2+42=r2,所以r2=32+42=25.所以圆的方程
9+16
是x2+y2=25.
答案:D
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用2已知圆C:x2+y2-4x+6y-12=0,求过点A(-1,0)的弦长的最大值
与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关
的,可设直线的斜截式方程或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,
常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用1若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原
点到它的距离为1,求该直线的方程.
未给出图形的题目,要边读题边画图,这样能更好地体会圆的几何
性质,有助于找到解题思路.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用1以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得的弦长为8的圆
的方程是(
)
A.x2+y2=5 B.x2+y2=16
C.x2+y2=4 D.x2+y2=25
提示:利用圆的几何性质,半径、半弦长和弦心距构成直角三角
22 + 12 = 5,圆的半径是 1,且点(2,0)在圆外,所以 (-2)2 + 2 的
最小值是 5-1.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
+2
的几何意义是圆
+1
(2)式子
专题6
x2+(y-1)2=1 上的点 P(x,y)与定点(-
1,-2)连线的斜率.如图所示,当连线为切线 l1 时,斜率最小,设 l1 的斜率
l 的斜率
为 k l,
∵k PQ ·k l =-1, ∴kl =-1.
3-+ 3-+
, 2
2
3-+
- 2 ,
又线段 PQ 的中点坐标为
∴l 的方程为
3-+
y- 2 =-
,
即 x+y-3=0.
点(2,3)关于 x+y-3=0 的对称点为(0,1),
∴圆(x-2)2 +(y-3)2 =1 关于直线 l 对称的圆的方程为 x2 +(y-1)2 =1.
L和最小值l.
解:易知点 A 在圆内,且圆的圆心 C(2,-3),半径 r=5, ∴L=2r=10.
又|AC|=3 2,
∴l=2 2 -||2 =2 25-18=2 7.
பைடு நூலகம்
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
专题4 分类讨论思想
解题过程中,遇到被研究的对象包含多种可能的情形时,就需选
定一个标准,根据这个标准把被研究的对象划分成几个能用不同形
第二章 解析几何初步
本章整合
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
专题1 待定系数法
若所研究的式子(方程)的结构是确定的,但它的全部或部分系数
是待定的,我们可以根据题中的条件来确定这些系数.这种解决问
题的方法就是待定系数法.直线和圆的方程常用待定系数法来求解.
选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,
(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称
的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原
点对称的点为P'(-x,-y).
(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条
直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到
所以两条直线的方程分别为y=x+1,y=x+2,
即x-y+1=0,x-y+2=0.
综上可知,所求的两条直线方程分别为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
专题5 数形结合思想
数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起
来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问
2
提示:(1)式子 (-2) + 2表示点 P 与点(2,0)之间的距离.
+2
(2)式子 表示过点
+1
P(x,y)和点(-1,-2)的直线的斜率.
解:(1)式子 (-2)2 + 2 的几何意义是圆 x2+(y-1)2=1 上的点与
定点(2,0)之间的距离.因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是
常见的直线系方程.
(1)平行直线系:y=kx+b(k为常数,b为变数),表示一组斜率为k的平
行直线.
(2)共点直线系:y-y0=k(x-x0)(定点(x0,y0),k为变数),表示一组过定点
(x0,y0)的直线(不包括直线x=x0).
(3)过直线l1,l2交点的直线系:设
l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则
题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助
“数”,以“数”解“形”.
本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾
斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题
若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用 1 若直线 y=x+b 与曲线 x= 1- 2 恰有一个公共点,则 b 的
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示一组过l1,l2交点的直线
(不包括l2).
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用求满足下列条件的直线的方程:
(1)过点(2,-1)且与直线3x-4y-2=0平行;
(2)与直线3x+4y+2=0垂直且与两坐标轴围成的三角形面积为6.
式去解决的小问题,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想.利
用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热
点问题之一.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用过点P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上
的截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.
提示:要分斜率存在和不存在两种情况讨论.
解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意列出方程组
= 4,
2 + 2 = 2 ,
(-1)2 + (-1)2 = 2 ,解得 = -3,
2 + 3 + 1 = 0,
2 = 25.
所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
专题1
专题2
的圆的方程为
.
提示:若l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1,从而求直线l
的斜率,得出其方程.
求圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆,关键是求出圆心(2,3)关
于l的对称点.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
-(3-)
=1,设直线
-(3-)
解析:由题意知,直线 PQ 的斜率 k PQ =
斜率为 1 的平行直线系,而 b 是直线在 y 轴上的截距.根据题意画出
图形,由图可得-1<b≤1 或 b=- 2.故选 D.
答案:D
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用 2 设点 P(x,y)在圆 x2 +(y-1)2 =1 上.
2
(1)求 (-2) + 2 的最小值;
+2
(2)求 +1的最小值.
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
(2)设直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l1 上任一点
P1(x1,y 1)关于 l 的对称点 P2(x2,y2)一定在 l2 上,反之也成立.
1 +2
+
= 3 × 1 2 + 3,
2
2
则 -
1 2
× 3 = -1,
1 -2
l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;
②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用1若不同的两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的
垂直平分线l的斜率为
;圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称
提示:先利用已知两直线的方程设出所求直线方程,再用点到直
线的距离公式求解.
解:很显然所求直线不为直线3x-y=0,故可设过两条直线交点的直
线系方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,
即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.
∵原点到所求直线的距离为1,
|(1+3)·0+(3-)·0-10|
∴
2
解:(1)设所求直线为3x-4y+m=0, ∵直线过点(2,-1),
∴3×2+4+m=0.
∴m=-10.故所求直线为3x-4y-10=0.
(2)设所求直线为4x-3y+m=0,与两坐标轴交点为

- 4 ,0

A
,B 0, 3 ,
1
∵S△AOB=6,∴2 - 4
·

3
=6.
∴m=±12,即所求直线为4x-3y+12=0或4x-3y-12=0.
答案:-1 x2+(y-1)2=1
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用2已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(1,2)关于l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程;
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
提示:直线关于直线对称可转化为直线上的点关于直线对称.
l1,l2的距离相等.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
2.轴对称
(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,
且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方
程.
(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.
①当三条直线l1 ,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且
2
=1,
(1+3) +(3-)
解得λ2=9,∴λ=±3.
∴所求直线的方程为x=1或4x-3y+5=0.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
应用2根据下列条件求圆的方程:
(1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).
专题3
专题4
专题5
专题6
(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
= -4,
2
2
2
(3-)
+
(-2-)
=

,
则有
|+-1|
=
2
,
= 1,
解得 = -4,
= 2 2.
所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
专题2 直线系方程的应用
4
3
9
1 = - 2 + 2 - ,
5
5
5
解得
3
4
3
1 = 2 + 2 + .
5
5
5
把(x1,y1)代入 y=x-2,
整理得 7x2+y2+22=0,
所以 l2 的方程为 7x+y+22=0.
取值范围是(
)
A.-1<b≤1
B.-1≤b≤1
C.- 2≤b≤-1
D.-1<b≤1 或 b=- 2
提示:首先化曲线方程为我们所熟悉的形式,然后利用数形结合
的思想解题.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题6
解析:曲线 x= 1- 2 可变形为 x2 +y2 =1(x≥0),它表示圆心为(0,0),
半径为 1 的圆在 y 轴右侧的部分(包括端点),如图所示.y=x+b 表示
解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P'(x',y'),则线段 PP'的中点
M 在直线 l 上,且直线 PP'垂直于直线 l,
即
'+2
'+1
=
3
×
2
2
'-2
× 3 = -1,
'-1