探索勾股定理第三课时1.1(3)
北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)
1. 探究勾股定理1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.【重点】勾股定理的探究及应用.【难点】勾股定理的探究过程.【老师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧!一、用测量的方法探究勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探究欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很准确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探究勾股定理1.探究等腰直角三角形的情况.思路一展示教材P2图1 - 2局部图.探究问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜测的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜测如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,老师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算) 生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很擅长动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探究边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3局部图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同讨论如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】假如直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜测的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生考虑、交流,老师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[考虑](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立考虑——小组讨论——合作交流〞的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探究方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,那么ΔABC的斜边AB的长是()C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.应选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,那么周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.应选B.3.(2021·温州模拟)如下图,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,假设BC=10,AD=12,那么AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.4.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,那么S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=1πAB2=12.5π.故填12.5π.8第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【根底稳固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,那么AC=.2.假设三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,那么此三角形的周长为,面积为.3.(2021·凉山中考)直角三角形的两边长分别是3和4,那么第三边长为.4.假如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【才能提升】5.如下图,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c6.如下图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如下图,阴影局部是一个正方形,它的面积为.8.如下图,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中程度飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机间隔这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如下图,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,那么BD=.13.如下图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的间隔是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或√74.12米5.D(解析:两个正数比拟大小,可以按照下面的方法进展:假如a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,那么正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影局部的边长为x,那么它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如下图,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.的间隔为36002010.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC 长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探究活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进展探究的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进展尝试.比方在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的例如进展勾股定理结论探究的时候,一定要立足于“面积相等〞这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探究活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=(46025.4)2+(58025.4)2,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).3.解:此题具有一定的开放性,现给出4种方案:如下图,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d ,⑩的面积为c ,那么(1)a +b +c +d =g ,(2)a +b +f =g ,(3)e +c +d =g ,(4)e +f =g.4.解:过C 点作CD ⊥AB 于D ,因为CA =CB =5 cm,所以AD =BD =12AB =3 cm .在Rt ΔADC 中,CD 2=AC 2-AD 2,所以CD =4 cm,所以S ΔABC =12AB ·CD =12×6×4=12(cm 2).(2021·淮安中考)如左下列图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A ,B 都是格点,那么线段AB 的长度为( )C .7D .25〔解析〕 此题考察勾股定理的知识,解答此题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如下图,利用勾股定理求解AB 的长度即可.由图可知AC =4,BC =3,那么由勾股定理得AB =5.应选A .如下图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,假设a ,c 的面积分别为3和4,那么b 的面积为 .〔解析〕 ∵∠ACB +∠ECD =90°,∠DEC +∠ECD =90°,∴∠ACB =∠DEC.∵∠ABC =∠CDE ,AC =CE ,∴ΔABC ≌ΔCDE ,∴BC =DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.。
《探索勾股定理》第三课时上课课件
B C
动手操作
五巧板的制作： 五巧板的制作：
I H D G
F E
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积 下列阴影部分是一个正方形，
15厘米 厘米 17厘米 厘米
设正方形的边长为x厘米 解：设正方形的边长为 厘米 , 则 x2=172-152 x2=64 正方形的面积是64平方厘米 平方厘米。 答：正方形的面积是 平方厘米。
拓展练习 如图，受台风麦莎影响， 2、如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂 的大树断裂， 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根 折断后有多高 底部6米处，这棵树折断后有多高？ 底部6米处，这棵树折断后有多高？
6米 米
补充练习： 补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 、放学以后，小红和小颖从学校分手， 南方向和西南方向回家， 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 分钟到家， 分钟到家， 是40米/分，小红用 分钟到家，小颖用 分钟到家， 米 分 小红用15分钟到家 小颖用20分钟到家 小红和小颖家的距离为 （ C ） A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定 、 米 、 米 、 米 、 2、直角三角形两直角边分别为 厘米、12厘米，那么 、直角三角形两直角边分别为5厘米 厘米、 厘米 厘米， 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； 、 厘米 厘米； B、 8厘米； 厘米； 、 厘米 D、 60/13厘米； 厘米； 、 厘米 C、 80/13厘米； 、 厘米； 厘米
探索勾股定理ppt课件
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
勾股定理导学案(同名13074)
第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理（1）学习目标：1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。
2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。
学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想：三、合作探究：：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？AB CACB 图1-1图1-2ABCACB图1-3图1-4问题1、你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？问题2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
问题3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。
问题（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系 图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形 等于 ；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ；若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
四、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积如图示:A 代表的正方形面积为它的边长为B 代表的正方形面积为它的边长为64225AB169144AB蚂蚁沿图中所示的折线由A 点爬到B 点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长1、2、2、求出下列各图中x 的值。
新人教版第十七章勾股定理教案
新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。
3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。
教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。
教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。
教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
今天我们就来一同探索勾股定理。
二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。
他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。
下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。
已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理(第3课时)教学设计
八年级学生经过前两年的数学学习，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在此基础上，他们对勾股定理的学习有以下特点：
1.学生已经熟悉了直角三角形的基本概念，能够识别直角三角形，为学习勾股定理奠定了基础。
2.学生在之前的学习中，接触过一些关于三角形边长关系的内容，对于勾股定理的引入具有一定的认知基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握勾股定理是本节课的重点，要求学生能够熟练运用勾股定理解决实际问题。
2.学会运用勾股定理进行直角三角形边长计算，特别是将定理应用于不同情境下的题目，提高解题能力。
3.深入理解勾股定理的推导过程，培养学生的逻辑思维和推理能力。
4.识别和运用勾股数，提高学生解决实际问题的效率。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要注重解题过程的表述，做到简洁、清晰、有条理。
2.勾股定理的应用题要结合实际情境，体现数学与生活的联系。
3.小组作业要求分工明确，每位同学都要参与其中，共同完成任务。
3.八年级学生的抽象思维能力逐渐增强，但仍然需要通过具体实例和形象直观的教具来辅助理解。
4.学生在小组合作学习中表现出较强的交流欲望，有利于他们在探讨勾股定理的过程中相互启发、共同成长。
因此，在教学过程中，教师应充分关注学生的学情，结合他们的认知特点，设计富有启发性和趣味性的教学活动，引导学生在探索勾股定理的过程中，提高数学素养和解决问题的能力。
（2）探索勾股数在三角形中的应用，如等腰直角三角形、等边三角形等，思考勾股数在这些特殊三角形中的特点。
3.小组作业：
以小组为单位，共同完成以下任务：
（1）选择一个生活中的实际例子，运用勾股定理解决问题，并撰写解题报告。
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时
D
北 N
A东
间为 3 h．
B
（2）C 岛在 A 港的什么方向？
分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向
角的定义作答即可．
解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
分析：（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得 出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
B
C
F
D
E
A
解：（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF
上时学校会受噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m）， ∴EF＝100（m）．
第3课时 勾股定理及其 逆定理的综合应用
1．勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2＋b2＝c2．
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角 形是直角三角形．
在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代 数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．
AC CD，
∴△ABC≌△CED（AAS）． ∴AB＝CE，BC＝ED．
∵AB＝6，BC＝8，
D
∴CE＝6，ED＝8．
A
∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14．
∴BD BE2 ED2 142 82 2 65．B
陕西省安康市紫阳县紫阳中学八年级数学下册17.2勾股定理逆定理(第3课时)教案(新人教版)
问题：A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向?
谈谈这节课的收获有哪些?掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形．
先由学生自主独立思考，然后分组讨论， 交流各自的想法．
教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导．
学情分析
本节进一步学习勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，经历将实际问题转化为数学模型的过程，给学生充分交流的时间和空间，学会自主学习
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设问题情境，引入新课
二、讲授新课
活动1问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗?
由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解．
解：BC2＋AB2＝52＋122＝169，
AC2＝132＝169，
所以BC2＋AB2＝AC2，即BC的方向与BA方向成直角，∠ABC＝90°，C地应在B地的正北方向．
通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应 用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力．
在此活动中，教师应重点关注学生，
①能否独立思考，寻找解决问题的途径．
②能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．
③能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣．
先由学生独立完成，然后小组交流．
教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
1.1探索勾股定理(第三课时)教学设计
1.1探索勾股定理（第三课时）教学设计第一章勾股定理1.探索毕达哥拉斯定理（III）一、学生起点分析学生的基本知识和技能：本课程内容选自《北京师范大学义务教育课程标准实验教材》第八版数学教材年级上册的第一章第一节，本节课为第三课时，课题为《拼图与勾股定理》。
在本章的前面几节课中，学生已经学习了勾股定理，了解了勾股定理的广泛使用，学习了利用割补法计算图形的面积来验证勾股定理。
学生活动经验的基础：学生在一年级学习了一些计算基本几何图形面积的方法，如切割法和补偿法，但运用面积法和割补思想解决问题意识和能力还不够，因此，可能还需要教师有意识的引导；在先前的学习过程中，学生已经经历了一些拼图、图案设计的实践活动，如制作七巧板，这些都为本节课的活动（拼图对勾股定理进行无字的证明）奠定了一定的基础。
二、学习任务分析本课题是学生初步认识了“勾股定理”后，对勾股定理探究的加深与提高，具有一定的挑战性。
课本上设计了丰富的拼图活动，让学生经过自己的操作和思考，既经历验证勾股定理的过程，获得相应的数学活动经验，又能了解中外多种方法，开阔视野，感受古代人民的聪明才智。
为此确定如下教学习目标：知识与技能目标：1.通过对几种常见毕达哥拉斯定理验证方法的分析和欣赏，了解数学知识之间的内在联系；2.体验综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整数运算、面积等的理解。
过程与方法目标：1.体验用不同的益智方法验证毕达哥拉斯定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步理解毕达哥拉斯定理的文化价值；2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
3.通过丰富有趣的拼图活动，体验观察、比较、拼图、计算、推理和交流的过程，培养空间概念和有序思考、表达的能力，获得一些研究方法和经验。
情感与态度目标：1.通过丰富有趣的益智活动提高数学学习兴趣；通过探究和总结活动，学生可以获得成功的经验，克服困难，增强数学学习的信心；在合作学习活动中培养学生的合作意识和沟通能力。
初中数学1_探索勾股定理_第三课时
探索勾股定理教学设计第（三）课时教学设计思想：本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论.本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性.设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高.为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提高的目的.教学目标：（一）知识与技能亲身实验勾股定理的验证方法．（二）过程与方法在探索勾股定理的过程中，发展学生动手操作、归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．（三）情感、态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识．2．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．教学重点探索多样的拼图方法．教学难点探索勾股定理．教学方法交流—探索．教具准备学生每人课前准备若干张方格纸、投影片教学安排3课时.教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们通过哪些方法能够验证两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积？[生]测量、数格子和图形分割.[师]那你们能否将这个大正方形通过恰当的剪切后再拼接成两个小的正方形呢？Ⅱ．讲述新课[师]我们将上图中两个正方形分别翻折过来，得到下面图形，同学们年，你们有什么发现呢？教师让学生自己动手操作，引导学生思考．[生]大正方形和两个小正方形有很多重叠的部分．[师]这就是历史上有名的“青朱出入图”．刘徽在他的《九章术注》中给出了注解，大意是：三角形ABC 为直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方．以盈补虚，将朱、青二方并成弦方，依其面积关系有．[师]“青朱出入图”有什么优势呢？[生]它不用运算，单靠移动几块图形就能直观地证出勾股定理．[师]回答的很好，得却用它方便了很多，真是“无字的证明”．下面我们来动手做一做：（1）任作一个Rt△ABC，如图，以其斜边AB为边向直角顶点C所在一侧作正方形ABDE．延长BC交DE于F,过D作BF的垂线DG,G为垂足，在线段CA上截取CH等于BC:过H作AC的垂线HI,交AB于I,如图1-14.沿这些线将正方形剪开，就得到了一幅五巧板．图1-13 图1-14。
18.1.1勾股定理(含探究1、2共3课时)上课用
a
a b
c
c b
a
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a
用 拼 图 法 证 明
b
a b c
b c
a2 +b2 =c2
a
c b a
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem）
命题1 如果直角三角形 两直角边分别为a， b，斜 边为c，那么
a 勾
股 b 弦 c
B
E
C
1 1 1 2 ab ab c 梯形ABCD的面积＝ 2 2 2 1 1 1 1 2 (a b)( a b) ab ab c ∴ 2 2 2 2
∴
a 2 b2 c 2
再 见
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B
C
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
方法 小结
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
试一试:
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角 的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C ) A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
试一试:
A
探索勾股定理优秀教案
探索勾股定理【教学难点】勾股定理的证明。
【教学过程】一、创设问题情景，引入新课。
［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式()()22b a b a b a -=-+；完全平方公式()2222b ab a b a +±=±是非常重要的内容。
谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边。
例如()()2222b a b ab ab a b a b a -=-+-=-+，所以平方差公式是成立的。
［生］还可以用拼图的方法来推出。
例如：()2222b ab a b a ++=+。
我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b 的正方形，两个长和宽分别为a 和b 的长方形可拼成如下图所示的边长为()b a +的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为()2b a +；又可以表示为222b ab a ++。
所以()2222b ab a b a ++=+。
［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观。
上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理。
同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确。
因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系。
二、合作学习，探索新知。
（一）拼一拼。
1．在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形。
并把它们剪下来。
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2．［师］上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形。
［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形。
《勾股定理》PPT优质课件(第3课时)
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
方法点拨 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边 的点表示是正无理数.
解：S△ABC
33
1 1 2 2
1 23 2
1 13 2
7. 2
课堂检测
拓广探索题
若△ABC三边的长分别为 5a,2 2a, 17a (a＞0)，请利用图中的正
方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求
出它的面积．
A
解：如图, AB a2 2a2 5a,
B
BC 2a2 2a2 2 2a,
得x2+ 42=(8－x)2， 解得 x=3. 即EC的长为3cm.
D E FC
链接中考
如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3）， 以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C， 则点C坐标为__(-_1_，__0_)__．
课堂检测
基础巩固题
1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴
巩固练习
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 . 解：如图所示. A C
B
探究新知
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3， 求AM的长.
巩固练习
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勾股定理
勾a
c弦
b股 2 2 2 a b c
a b
c
c a
b
复习旧知
我们学过哪些验证“勾股定理”的方法？ 数形结合
拼正方形图
拼正方形图
拼ห้องสมุดไป่ตู้形图
复习旧知
“勾股定理”的验证方法： 1、数形结合法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。
运用“青朱出入图”割补图形进行证 明。
问题解决
例1、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的 半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧 道吗？ A 过点A作AB⊥OC于点B， 解： ∵∠ABO=90° ∴AB2+OB2=OA2 且OA=3.6，OB=1.5 ∴AB2+1.52=3.62 ∴AB≈3.27 O B C
课堂小结 “勾股定理”的验证方法： 1、数形结合法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。
2、欧氏证明法：
运用欧氏几何基本定理进行证明。 3、无字证明法：
运用“青朱出入图”割补图形进行证 明。
巩固练习
1、一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边 的长度比为3︰4，求两直角边的长。
3x
4x
20
巩固练习
2、观察下图，用数格子的方法判断图中三角形 的三边长是否满足a2+b2=c2 。 非直角三角形， 不满足a2+b2=c2 。
新知探究
Ⅰ、将左图是两个正方形分别翻折过来，得到右 边的图形。通过数格子法，你有什么发现？
新知探究
Ⅱ、将左图是两个正方形分 别翻折过来，得到右边的图 形，你又有什么发现？
朱方
a
朱方
c
b
青方
新知探究
Ⅲ、将图形进行割补，看看会有什么结果？
“青朱出入图”
a
青入
无字证明
朱出
朱方
c
清入
b
青方
朱入 清出
青出
新知归纳
“勾股定理”的验证方法：
2、欧氏证明法：
运用欧氏几何基本定理进行证明。 3、无字证明法：