江苏省泰州市泰兴第五高级中学高三数学理模拟试卷含解析

江苏省泰州市泰兴第五高级中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中与为同一函数的是（）
A、 B、C、D、
参考答案：
B
略
2. 设{a n}是等比数列，下列结论中正确的是（）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
参考答案：
C
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q．
A．由a1+a2＞0，可得a1（1+q）＞0，则当q＜﹣1时，a2+a3=a1q（1+q），即可判断出正误；
B．由a1+a3＜0，可得a1（1+q2）＜0，由a1＜0．则a1+a2=a1（1+q），即可判断出正误；
C．由0＜a1＜a2，可得0＜a1＜a1q，因此a1＞0，q＞1．作差2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2，即可判断出正误；
D．由a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=q（1﹣q）2，即可判断出正误．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q．A．∵a1+a2＞0，∴a1（1+q）＞0，则当q＜﹣1时，a2+a3=a1q（1+q）＜0，因此不正确；
B．∵a1+a3＜0，∴a1（1+q2）＜0，∴a1＜0．则a1+a2=a1（1+q）可能大于等于0或小于0，因此不正确；
C．∵0＜a1＜a2，∴0＜a1＜a1q，∴a1＞0，q＞1．则2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2＜0，因此正确；D．∵a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=q（1﹣q）2可能相应等于0或大于0，因此不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3. 若，则＝
A、1
B、32
C、－1
D、－32
参考答案：
B
4. 组合数（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
【解析】由.
答案：
5. 函数的最小值和最大值分别为（▲）
A.3，1
B.2，2
C.3，
D.2，
参考答案：
C
略
6. 函数f（x）=（3﹣x2）?ln|x|的大致图象为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的图象．
【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值，判断即可．
【解答】解：函数f（x）=（3﹣x2）?ln|x|是偶函数，排除A，D选项，
（3﹣x2）?ln|x|=0，当x＞0时，解得x=1，或x=，是函数f（x）=（3﹣x2）?ln|x|在x＞0时的两个零点，
当x=时，f（）=（3﹣（）2）?ln||=＜0，
可得选项B不正确，
故选：C．
7. 函数（其中）的图象如下图所示，为了得到的图象，则只需将的图象
（A）右移个长度单位（B）右移个长度单位
（C）左移个长度单位（D）左移个长度单位
参考答案：
A
8. 若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）
A． B． C． D．参考答案：
D
9. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
展开，利用向量的数量积公式，解得，进而求解的值.
【详解】因为，解得，
由，得，所以．故选D
【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及向量的夹角，考查了运算求解能力；在解题时要注意两向
量夹角的范围是.
10.
下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的个数为( ).
A. B. C.
D.多于个
参考答案：
答案：C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________．
参考答案：
画出图形易知积分上限为，积分下限为，
易知面积为
．
12. 当实数满足约束条件
（其中为小于零的常数）时，
的最小值为，则实
数
的值是 .
参考答案：
-3 略
13. 观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10
…………
则第__________行的各数之和等于。

参考答案： 1005
14. 在
中，，
点是内心，且
，
则
▲ ．
参考答案：
15. 函数的值域为 .
参考答案：
16. 数轴上有四个间隔为1的点依次记为A 、B 、C 、D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到B 、C 两
点的距离之和小于2的概率为 ．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】求出满足条件的E 点所在的位置，从而求出E 点到B 、C 两点的距离之和小于2的概率即可．
【解答】解：设AB 的中点是M ，CD 的中点是N ， 则E 在MN 上时满足条件，
故E 点到B 、C 两点的距离之和小于2的概率p=， 故答案为：．
17. 已知5cos （45°+x）=3，则sin2x= ．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（I）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（II）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，
试确定t的值
参考答案：
（I）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面
PAD．……………………5分
（II）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；，，
，．
设，则，，
∵，
…………7分
∴ ，∴ ……………………10分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为．
∵二面角M-BQ-C为30°，，
∴
．……………………14分
19. （本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、
两
点，求证：为定值．
参考答案：
（1）因为的焦点在轴上且长轴为，
故可设椭圆的方程为（），
因为点在椭圆上，所以，
解得，（1分）
所以，椭圆的方程为．
（2）设（），由已知，直线的方程是，
由（*）
设，，则、是方程（*）的两个根，
所以有，，
所以，
（定值）．
所以，为定值．
20. 本题满分12分）记函数的定义域为A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a＜1）的定义域为B．
（1）求A；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
参考答案：
解答：由题意(－1, －8)为二次函数的顶点，
∴ f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．
A＝{ x | x＜－3或x＞1}．.........2分(Ⅰ) B＝{ x | |x－1|≤1}＝{ x | 0≤x≤2}． (4)
分
∴ ( R A)∪B＝{ x | －3≤x≤1}∪{ x | 0≤x≤2}＝{ x | －3≤x≤2}．……………6分(Ⅱ) B＝{ x | t－1≤x≤t＋1}．
，………………………………………………………………10分
∴实数t的取值范围是[－2, 0]．………………………………………………12分
略
21. 若，求证：
参考答案：
22. 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P．
（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．利用“超几何分布列”即可得出．
【解答】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P=1﹣
=．
（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．
P（X=5a）===，P（X=6a）===，
P（X=7a）===，P（X=8a）===．
E（X）=5a×+6a×+7a×+8a×=a．。