证明圆中线段相等的几个途径

数学
篇
学思导引
圆的知识是平面几何中的重要内容.它
与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四
边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中
线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对
此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同
学们解题有所帮助.
一、利用“等角对等边”
等角对等边是指在同一三角形中，如果
两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明
线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等
问题时，当所要证明的两条线段是同一个三
角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”
的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证
得这两条线段相等.
例1如图1，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，
以MP为直径的⊙O交MN于点Q，过点Q
作⊙O的切线RS交NP于点S.求证：NS=QS
.
图1
分析：观察图形，不难看出，NS、QS这两
条线段同在△NQS中，因此，在求证时不妨
考虑等腰三角形，利用“等角对等边”的性质
得到NS=QS.
证明：如图1所示，连接PQ.
因为MP为⊙O的直径，
所以∠MQP=∠NQP=90°，
所以∠PQS+∠SQN=90°，
∠N+∠QPN=90°.
又因为∠MPN=90°，MP为⊙O的直径，
所以NP与⊙O相切于点P.
因为RS与⊙O相切于点Q，
所以QS=SP，
所以∠PQS=∠QPN，∠N=∠SQN，
所以NS=QS.
评注：利用“等角对等边”证明圆中线段
相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两
个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、
内错角相等，以及全等三角形等方面予以考
虑.
二、利用“全等三角形对应边相等”
我们都知道，全等三角形的对应边相等.
在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的
线段不在同一个三角形中，此时同学们要注
意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是
否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们
的对应边相等，即所证的目标线段相等.
例2如图2，在⊙O中，P、Q分别是半径
OM、ON上的点，且MP=NQ，点R为弧MN
的中点，连接RP、RQ.求证：RP=RQ
.
图2
分析：线段RP、RQ在同一个圆中，但并
不在同一个三角形中，直接证明行不通.不妨证明圆中线段相等的几个途径
江苏省盐城市新洋第二实验学校孙鸽林
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添加辅助线，连接OR ，这样圆中四边形OPRQ 就被分割为△OPR 和△OQR 两个三角形，只要证明△OPR ≌△OQR ，再根据全等三角形对应边相等，即可得到目标线段相等.
证明：如图2所示，连接OR .
因为MP =NQ ，OM =ON ，所以OP =OQ .
因为点R 为弧MN 的中点，
所以有 MR =
NR ，所以∠MOR =∠NOR .
在△OPR 和△OQR 中，ìíîï
ï
OP =OQ ,∠MOR =∠NOR OR =OR ,，
所以△OPR ≌△OQR （SAS ），所以RP =RQ .评注：利用“全等三角形对应边相等”是证明圆中线段相等的一种有效方法.它的关键点是在圆中寻找或构造全等三角形，再利用“全等三角形对应边相等”这一性质证明线段相等.
三、利用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”
由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可知，在同圆或等圆中，倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量是相等的，那么它们所对应的其余各组量也是相等的.因此，在求证圆中线段相等时，若题目涉及圆心角、弧、弦、弦心距等时，同学们要注意结合已知条件，巧用圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及推论来解答问题.
例3如图3所示，MN 是☉O 的直径，MP 为弦，过弧MP 的中点Q 作QR ⊥MN 于
点S .求证：
QR =MP
.图3
分析：根据题意和图形，很容易看出QR 、
MP 是圆中的两条弦，所以要证明QR =MP ，
可以从圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系入手.
证明：因为直径MN ⊥QR ，
所以 MQ =
MR （根据垂径定理），
又因为 MQ =
QP ，
所以 MR = MR = PC ，
所以 QR = MP ，
所以 QR = MP .评注：利用“圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及推论”是证明圆中线段相等的常用方法之一.如果所证明的相等线段是弦、弦心距、弓形高中的一种，就可以通过证明其他的量相等，从而证得所需要的结论.
上期《<不等式与不等式组>巩固练习》参考答案
1.C ；
2.A ；
3.D ；
4.D ；
5.B ；
6.0；
7.≥-12
；
8.m >-1；9.2（答案不唯一）；10.-2<x <3，a ≥2；11.解：（1）设A 型电动公交车的单价为x 万元，B 型电动公交车的单价为y 万元．
依题意，得ìíî2x +y =112,x +y =76,解得ìí
îx =36,
y =40;答：A 型电动公交车的单价是36万元，B
型电动公交车的单价是40万元．
（2）设购买A 型电动公交车m 辆，则购买B 型电动公交车（30-m ）辆．
依题意得36m +40（30-m ）≤1128，解得m ≥18.又m ≤20，∴18≤m ≤20．
设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w 万元，
依题意，得w =36m +40（30-m ）=-4m +1200.∵-4<0，∴w 随m 的增大而减小．∴当m =20时，w 取得最小值.此时30-m =30-20=10．
∴最省钱的购买方案为：购买A 型电动公交车20辆，B 型电动公交车10辆．
29。