矩阵的秩及其求法

第五节：矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的
阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。

例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而
为 A 的一个三阶子式。

显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

2. 矩阵的秩
定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全
为0 ,
称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。

规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .
(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。

解
由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——
非零行的行数。

()
n m ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1
10145641321A 182423=C C 43334=C C 101
22--=
D 1
015643
213-=D n m ⨯k
n k m c
c ()
n
m ij a A ⨯=0,
r D ≠()().
T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=000007204321B 0
2
021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭2
123508153000720
000
0E ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3
R E =
例2 设 如果 求 a .
解
或 例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

即 则 注： 只改变子行列式的符号。

是 A 中对应子式的 k 倍。

是行列式运算的性质。

求矩阵A 的秩方法：
1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B
2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩。

例4 求
解 R(A ) = 2
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R a
a a
A 1111
1
1=0)1)(2(2
=-+=a a 1=∴a 2-=a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=K K K K A 1
11111111111()3=A R
=K 3-()3
11111113(1)(3)111
111K A K K K K K
=+=-+B A →)
()(B R A R =j i r r ↔.1i r k .2j
i kr r +.3⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=211163124201A ().A R −−→
−-1
22r r A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----211021104201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000021104201
例5
三、满秩矩阵
定义3 A 为 n 阶方阵时， 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见： 对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E , 又根据初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,
由此得到下面的定理. 定理3 设A 是满秩方阵，则存在初等方阵
使得
对于满秩矩阵A ，它的行最简形是 n 阶单位阵 E . 例如
A 为满秩方阵。

关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5 R (AB ) R (A ),
R (AB ) R (B ), 即R (AB ) min{R (A )，R (B )}
设A 是 矩阵，B 是 矩阵， 性质1 性质2 如果 A B = 0 则 性质3 如果 R (A )= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。

性质4 设A,B 均为 矩阵，则 例8 设A 为n 阶矩阵，证明R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E
∴ R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n 而 R （ E-A ）=R （ A-E ）
∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥n
μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=A R A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6352132111μλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→458044302111μλ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----+-→01504430211
1μλλ,
2)(=A R 1
,5==∴μλ0
1,05=-=-∴μλ(),n A R =(),n
A R <()0
≠⇔=A n A R .
,,,21s P P P E
A P P P P s s =-121, ()E
A n
A R ~= ()n
E A n A R ~⇔=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→320430321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→320110001E
=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→100010001()3
=∴A R ≤
≤≤
n m ⨯t n ⨯).
()()(AB R n B R A R ≤-+.
)()(n B R A R ≤+n m ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。